2020-2021学年江西省赣州市高二（下）6月月考数学（文）试卷北师大版

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这是一份2020-2021学年江西省赣州市高二（下）6月月考数学（文）试卷北师大版，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题p：∀x∈R，x2−2x+4>0，则¬p是（）
A.∀x∈R，x2−2x+4<0B.∃x∈R，x2−2x+4<0
C.∀x∈R，x2−2x+4≤0D.∃x∈R，x2−2x+4≤0

2. 下列不等式中成立的是( )
A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2
C.若ab，则a3>b3

3. 若复数z满足z⋅i=1−3i(i是虚数单位)，则z=( )
A.3−iB.3+iC.−3+iD.−3−i

4. 已知全集U=R，集合A=x|18，则A∩∁UB=( )
A.1,3B.(1,3] C.(2,3]D.3,4

5. 已知实数a，b，则“ab≥2”是“a2+b2≥4”的（）条件.
A.充分不必要B.必要不充分
C.充要D.既不充分也不必要

6. 已知fx为二次函数，且fx=x2+f′x−1，则fx=( )
A.x2−2x+1B.x2+2x+1C.2x2−2x+1D.2x2+2x−1

7. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x（每分钟鸣叫的次数）与气温y（单位：∘C）存在着较强的线性相关关系．某地观测人员根据下表的观测数据，建立了y关于x的线性回归方程y=0.25x+k，
则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为( )
A.34∘CB.34.5∘CC.35∘CD.35.5∘C

8. 函数y=2x2−e|x|在[−2, 2]的图象大致为( )
A.B.
C.D.

9. 已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a=−flg215，b=f(lg24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A.a
10. 若直线l:x=2t,y=1−4t（t为参数）与曲线C:x=5csθ,y=m+5sinθ（θ为参数）相切，则实数m为（）
A.−4或6B.−6或4C.−1或9D.−9或1

11. 已知函数f(x)=|x−2|+1，g(x)=kx．若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A.(0, 12)B.(12, 1)C.(1, 2)D.(2, +∞)

12. 已知函数fx=a2x2−xlnxa∈R，若对任意x1>x2>0，fx1>fx2恒成立，则a的取值范围为( )
A.1,eB.(−∞,1]C.[e,+∞)D.[1,+∞)
二、填空题

在极坐标系中，点A在圆ρ2−2ρcsθ−4ρsinθ+4=0上，点P的坐标为1,0，则|AP|的最小值为________．
三、解答题

设函数f(x)=5−|x+a|−|x−2|．
(1)当a=1时，求不等式f(x)≥0的解集；

(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为x=tcsα,y=−1+tsinα（t为参数，α为直线的倾斜角）．
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点，求直线l倾斜角的大小．

已知p：函数fx=x2+2a−1x+2在区间(−∞,3]上不是减函数；q:∃x∈R，x2−4x+a≤0.
(1)若“p且q”为真，求实数a的最大值；

(2)若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0, 5)，且f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是12．
(1)求f(x)的解析式；

(2)设函数f(x)在[t, t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式．

近几年，随着大众鲜花消费习惯的转变，中国进入一个鲜花消费的增长期．根据以往统计，某地一鲜花店销售某种B级玫瑰花，在连续统计的320天的玫瑰花售卖中，每天的玫瑰花的销售量（单位：支）与特殊节日的天数如下表：

(1)填写上表，判断是否有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”？

(2)若按分层抽样的方式，从上述表格的特殊节日中抽取5天作为一个样本，再从这个样本中抽取2天加以分析研究，求这两天玫瑰花的销售量在120,160内的概率．
附： K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d

设函数fx=x2+mlnx，其中m∈R，且m≠0．
(1)当m=−4时，求fx的单调区间；

(2)若x=12是fx的极值点，且对任意x≥1，不等式fx≥ax恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省赣州市高二（下）6月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．
【解答】
解：全称命题的否定为特称命题，
命题p：∀x∈R，x2−2x+4>0，
则¬p是∃x∈R，x2−2x+4≤0.
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的性质，这个判断即可.
【解答】
解：A，若c=0，则ac2=bc2，故该选项错误；
B，若a=0，b=−1，则a2C，若aab，故该选项错误；
D，若a>b，无论a，b取何值，都有a3>b3，故该选项正确.
故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
复数的运算
【解析】
直接运算，得出答案即可.
【解答】
解：∵ z⋅i=1−3i，
∴ z=1−3ii=1−3i⋅ii⋅i
=i−3i2−1=−3−i.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
指、对数不等式的解法
交、并、补集的混合运算
【解析】
直接求出补集，再求交集即可.
【解答】
解：∵ B=x∣2x>8=x∣x>3，
∴ ∁UB=x|x≤3，
又A={x∣1∴ A∩∁UB=x|1故选B.
5.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先判断p⇒q与q⇒p的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【解答】
解：当ab≥2时，
a2+b2≥2ab≥4，
故充分性成立，
而a2+b2≥4时，
当a=−1，b=3时成立，
但ab=−3<2，
显然ab≥2不成立，
故必要性不成立．
故“ab≥2”是“a2+b2≥4”的充分不必要条件.
故选A.
6.
【答案】
B
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
导数的运算
【解析】
利用待定系数法，即可得出解析式.
【解答】
解：设f(x)=ax2+bx+c，a≠0，
则f′x=2ax+b，
由题意得，ax2+bx+c=x2+2ax+b−1，
则有a=1,b=2a,c=b−1,解得a=1,b=2,c=1,
故f(x)=x2+2x+1.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
暂无
【解答】
解：由题意，得x¯=40，y¯=30，
则k=y¯−0.25x¯=30−0.25×40=20；
当x=56时，y=34．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
函数图象的作法
【解析】
根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．
【解答】
解：∵ f(x)=y=2x2−e|x|，
∴ f(−x)=2(−x)2−e|−x|=2x2−e|x|，
故函数为偶函数.
当x=±2时，y=8−e2∈(0, 1)，故排除A，B；
当x∈[0, 2]时，f(x)=2x2−ex，
又f(0)=−1，f(12)=12−e<−1，f(1)=2−e>−1，
故函数y=2x2−e|x|在[0, 2]不是单调的，故排除C.
故选D.
9.
【答案】
C
【考点】
对数值大小的比较
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数f(x)为奇函数，
∴ a=−flg215=f(lg25)．
∵ lg25>lg24.1>2>20.8，且函数f(x)在R上是增函数，
∴ f(20.8)∴ c故选C．
10.
【答案】
A
【考点】
参数方程与普通方程的互化
直线与圆的位置关系
点到直线的距离公式
【解析】
把参数方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值．
【解答】
解：直线l:x=2t,y=1−4t（t为参数）即 2x+y−1=0．
曲线C:x=5csθ,y=m+5sinθ（θ为参数）即 x2+(y−m)2=5，
表示以(0, m)为圆心，半径等于5的圆．
再根据圆心到直线的距离等于半径，
可得 |0+m−1|4+1=5，求得 m=−4或6，
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
函数的零点
【解析】
画出函数f(x)、g(x)的图象，由题意可得函数f(x)的图象（蓝线）和函数g(x)的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．
【解答】
解：由题意可得：函数f(x)的图象（蓝线）和函数g(x)的图象（红线）有两个交点，
如图所示：kOA=12，
数形结合可得： 12故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】

【解答】
解：由题意知函数fx在0,+∞上单调递增.
因为f′x=ax−lnx−1，
所以转化为f′x≥0在0,+∞上恒成立.
因为x∈0,+∞，
所以a≥lnx+1x在0,+∞上恒成立，即转化为a≥lnx+1xmax .
令gx=lnx+1x，则g′x=−lnxx2，
所以当x∈0,1时，g′x>0；当x∈1,+∞时，g′x<0，
所以gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以gxmax=g1=1，
所以a≥1．
故选D．
二、填空题
【答案】
1
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
点与圆的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：设圆ρ2−2ρcsθ−4ρsinθ+4=0为圆C，将圆C的极坐标方程化为：
x2+y2−2x−4y+4=0,
再化为标准方程：x−12+y−22=1；

如图，当A在CP与⊙C的交点Q处时，|AP|最小为：
|AP|min=|CP|−rC=2−1=1.
故答案为：1．
三、解答题
【答案】
解：(1)当a=1时，
f(x)=5−|x+1|−|x−2|
=2x+4，(x≤−1)，2，(−1当x≤−1时，f(x)=2x+4≥0，
解得−2≤x≤−1，
当−1即−1当x≥2时，f(x)=−2x+6≥0，
解得2≤x≤3，
综上所述不等式f(x)≥0的解集为[−2, 3].
(2)∵ f(x)≤1，
∴ 5−|x+a|−|x−2|≤1，
∴ |x+a|+|x−2|≥4，
∴ |x+a|+|x−2|=|x+a|+|2−x|
≥|x+a+2−x|=|a+2|，
∴ |a+2|≥4，
解得a≤−6或a≥2，
故a的取值范围(−∞, −6]∪[2, +∞)．
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
【解析】
（1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可，
（2）由题意可得|x+a|+|x−2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出
【解答】
解：(1)当a=1时，
f(x)=5−|x+1|−|x−2|
=2x+4，(x≤−1)，2，(−1当x≤−1时，f(x)=2x+4≥0，
解得−2≤x≤−1，
当−1即−1当x≥2时，f(x)=−2x+6≥0，
解得2≤x≤3，
综上所述不等式f(x)≥0的解集为[−2, 3].
(2)∵ f(x)≤1，
∴ 5−|x+a|−|x−2|≤1，
∴ |x+a|+|x−2|≥4，
∴ |x+a|+|x−2|=|x+a|+|2−x|
≥|x+a+2−x|=|a+2|，
∴ |a+2|≥4，
解得a≤−6或a≥2，
故a的取值范围(−∞, −6]∪[2, +∞)．
【答案】
解：(1)当α=π2时，直线l的普通方程为x=0，
当α≠π2时，直线l的普通方程为y=tanα⋅x−1
由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，所以x2+y2−2y=0,即曲线C的直角坐标方程．
(2)把x=tcsα，y=−1+tsinα代入x2+y2−2y=0中，整理得t2−4tsinα+3=0，
由Δ=16sin2α−12=0得，sin2α=34,sinα=32，
因为α∈[0,π)，所以α=π3或α=2π3．故直线l的倾斜角α为π3或2π3．
【考点】
圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程与普通方程的互化
直线的倾斜角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当α=π2时，直线l的普通方程为x=0，
当α≠π2时，直线l的普通方程为y=tanα⋅x−1
由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，所以x2+y2−2y=0,即曲线C的直角坐标方程．
(2)把x=tcsα，y=−1+tsinα代入x2+y2−2y=0中，整理得t2−4tsinα+3=0，
由Δ=16sin2α−12=0得，sin2α=34,sinα=32，
因为α∈[0,π)，所以α=π3或α=2π3．故直线l的倾斜角α为π3或2π3．
【答案】
解：(1)当p为真时，−a−1<3，解得a>−2，
当q为真时，Δ=42−4a≥0，解得a≤4，
若“p且q”为真，则a>−2且a≤4，所以−2所以若“p且q”为真，实数a的最大值是4.
(2)若“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假．
当p真q假时， a>−2且a>4，解得a>4，
当p假q真时，a≤−2且a≤4，解得a≤−2，
综上，所求实数a的取值范围是(−∞,−2]∪(4,+∞)．
【考点】
复合命题及其真假判断
命题的真假判断与应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当p为真时，−a−1<3，解得a>−2，
当q为真时，Δ=42−4a≥0，解得a≤4，
若“p且q”为真，则a>−2且a≤4，所以−2所以若“p且q”为真，实数a的最大值是4.
(2)若“p或q”为真，“p且q”为假，则p与q一真一假．
当p真q假时， a>−2且a>4，解得a>4，
当p假q真时，a≤−2且a≤4，解得a≤−2，
综上，所求实数a的取值范围是(−∞,−2]∪(4,+∞)．
【答案】
解：(1)f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0, 5)，
∴ 可设f(x)=ax(x−5)(a>0)，
可得在区间f(x)在区间[−1, 52]上函数是减函数，区间[52, 4]上函数是增函数，
∵ f(−1)=6a，f(4)=−4a，f(−1)>f(4)
∴ f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是f(−1)=6a=12，得a=2．
因此，函数的表达式为f(x)=2x(x−5)=2x2−10x．
(2)由(1)得f(x)=2x2−10x=2(x−52)2−252，函数图象的开口向上，对称轴为x=52
①当t+1≤52时，即t≤32时，f(x)在[t, t+1]上单调递减，
此时f(x)的最小值g(t)=f(t+1)=2(t+1)2−10(t+1)=2t2−6t−8；
②当t≥52时，f(x)在[t, t+1]上单调递增，
此时f(x)的最小值g(t)=f(t)=2t2−10t；
③当32此时，g(t)=f(52)=−252；
综上所述，得g(t)的表达式为：
g(t)=2t2−6t−8(t≤32)−252(32【考点】
二次函数在闭区间上的最值
二次函数的性质
一元二次不等式与二次函数
一元二次不等式的解法
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
（1）根据题意，设f(x)=ax(x−5)(a>0)，可得函数图象的对称轴x=52，恰好位于区间[−1, 4]，得f(x)的最大值是f(−1)=6a=12，得a=2，可得函f(x)数的表达式；
（2）分t+1≤52时、t≥52时和32【解答】
解：(1)f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0, 5)，
∴ 可设f(x)=ax(x−5)(a>0)，
可得在区间f(x)在区间[−1, 52]上函数是减函数，区间[52, 4]上函数是增函数，
∵ f(−1)=6a，f(4)=−4a，f(−1)>f(4)
∴ f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是f(−1)=6a=12，得a=2．
因此，函数的表达式为f(x)=2x(x−5)=2x2−10x．
(2)由(1)得f(x)=2x2−10x=2(x−52)2−252，函数图象的开口向上，对称轴为x=52
①当t+1≤52时，即t≤32时，f(x)在[t, t+1]上单调递减，
此时f(x)的最小值g(t)=f(t+1)=2(t+1)2−10(t+1)=2t2−6t−8；
②当t≥52时，f(x)在[t, t+1]上单调递增，
此时f(x)的最小值g(t)=f(t)=2t2−10t；
③当32此时，g(t)=f(52)=−252；
综上所述，得g(t)的表达式为：
g(t)=2t2−6t−8(t≤32)−252(32【答案】
解：(1)填表如下：
K2=320×160×30−120×102170×150×40×280≈14.521>6.635，
故有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”．
(2)根据分层抽样，抽取销售量在120,160内的特殊节日有4天，记为A，B，C，D，销售量(160,200]内的特殊节日有1天，记为a，
则从中抽取2天的结果为A,B,A,C,A,D,A,a,B,C,B,D,B,a,C,D,
C,a,D,a，共10种．
其中这两天玫瑰花的销售量在120,160内的结果有A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D，共6种，
所以所求概率为610=35．
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
分层抽样方法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)填表如下：
K2=320×160×30−120×102170×150×40×280≈14.521>6.635，
故有99%的把握认为“每天的玫瑰花的销售量与特殊节日有关”．
(2)根据分层抽样，抽取销售量在120,160内的特殊节日有4天，记为A，B，C，D，销售量(160,200]内的特殊节日有1天，记为a，
则从中抽取2天的结果为A,B,A,C,A,D,A,a,B,C,B,D,B,a,C,D,
C,a,D,a，共10种．
其中这两天玫瑰花的销售量在120,160内的结果有A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D，共6种，
所以所求概率为610=35．
【答案】
解：(1)当m=−4时， fx=x2−4lnx定义域为0,+∞，
f′x=2x−4x=2x−2x+2x，
当02时，f′x>0，
因此fx的单增区间是2,+∞，单减区间是0,2．
(2)因为f′x=2x+mx，所以f′12=0，即 1+m12=0,m=−12，
于是fx≥ax就是x2−12lnx≥ax，即a≤x−lnx2x在[1,+∞)上恒成立．
令gx=x−lnx2x，则g′x=1−1−lnx2x2=2x2−1+lnx2x2，
当x≥1时，2x2−1>0,lnx≥0，所以g′x>0,gx在[1,+∞)上单增．
因此gx≥g1=1, a≤1．故实数a的取值范围是(−∞,1]．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当m=−4时， fx=x2−4lnx定义域为0,+∞，
f′x=2x−4x=2x−2x+2x，
当02时，f′x>0，
因此fx的单增区间是2,+∞，单减区间是0,2．
(2)因为f′x=2x+mx，所以f′12=0，即 1+m12=0,m=−12，
于是fx≥ax就是x2−12lnx≥ax，即a≤x−lnx2x在[1,+∞)上恒成立．
令gx=x−lnx2x，则g′x=1−1−lnx2x2=2x2−1+lnx2x2，
当x≥1时，2x2−1>0,lnx≥0，所以g′x>0,gx在[1,+∞)上单增．
因此gx≥g1=1, a≤1．故实数a的取值范围是(−∞,1]．x（次数/分钟）
20
30
40
50
60
y∘C
25
27.5
29
32.5
36
非特殊节日的天数
特殊节日的天数
总计
销量120,160天数
160
销量(160,200]天数
10
40
总计
170
320
PK2≥k
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
非特殊节日的天数
特殊节日的天数
总计
销量120,160天数
160
120
280
销量(160,200]天数
10
30
40
总计
170
150
320
非特殊节日的天数
特殊节日的天数
总计
销量120,160天数
160
120
280
销量(160,200]天数
10
30
40
总计
170
150
320