初中数学苏科版九年级上册2.7 弧长及扇形的面积课时训练

这是一份初中数学苏科版九年级上册2.7 弧长及扇形的面积课时训练，共21页。试卷主要包含了如图，已知等内容，欢迎下载使用。
（1）EM与BE的数量关系是 ；
（2）求证：＝；
（3）若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积．
2．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积．
3．如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．
（1）求∠AOC的度数；
（2）若弦BC＝2cm，求图中阴影部分的面积．
4．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，以B为圆心，BC为半径画弧，交AD于点E．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求图中阴影部分的面积．
5．如图：已知AB为圆O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠ACO＝∠BCD；
（2）若EB＝5cm，CD＝10cm，求圆O的直径；
（3）求劣弧BC的长．
6．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）
7．如图，AB是⊙O的直径，延长弦BC到点D，使得CD＝BC，AD交⊙O于点E，连接BE．
（1）求证：AB＝AD；
（2）若AB＝8，∠DBE＝22.5°，求阴影部分的面积．
8．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝6，∠ABC＝30°，求图中阴影部分的面积．
10．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的⊙O交对角线AC于H，AH＝2，如图，点K为下半圆上一点．
（1）求∠HAB的度数；
（2）求CH的长；
（3）求图中阴影部分的面积；
（4）若圆上到直线AK距离等于3的点有且只有一个，请直接写出线段AK的长．
11．如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C．若A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（6，2），
（1）根据题意，画出平面直角坐标系；
（2）在图中标出圆心M的位置，写出圆心M点的坐标 ．
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
（4）求弧AC的长．
12．已知在⊙O中，点C为上的中点，连接AC并延长至D，使CD＝CA，连接DB并延长交⊙O于点E，连接AE．
（1）如图1，连接AB，求证：AE是⊙O的直径；
（2）如图2，连接EC，若AC＝4，DE＝10，求阴影部分的面积之和．
13．如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线AC为直径作⊙O，分别交AB，AD于点P，Q，若∠B＝70°，AC＝12cm，求扇形OPQ的面积．
14．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的度数；
（2）若⊙O的半径为4cm，求劣弧BD的长．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若AB＝2，AC＝．
（1）求∠BAC的度数．
（2）求的长．
（3）求阴影部分的面积．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，CD＝2．
（1）求直径AB的长；
（2）求阴影部分图形的周长和面积．
17．如图，以BC为直径，在半径为2，圆心角为90°的扇形内作半圆，交弦AB于点D，连接CD，求图中阴影部分的面积．
18．如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后（折痕为AB）半圆弧的中点M与圆心O重合，求图中阴影部分的面积．
19．如图，BC是⊙O的直径，四边形ABCD是矩形，AD交⊙O于M、N两点，AB＝3，BC＝12．
（1）求MN的长；
（2）求阴影部分的面积．
20．如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
参考答案
1．解：（1）∵AC为⊙O的直径，点E是的中点，
∴∠ABE＝45°，
∵AB⊥EN，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴BE＝EM，
故答案为BE＝EM；
（2）连接EO，AC是⊙O的直径，E是的中点，
∴∠AOE＝90°，
∴∠ABE＝∠AOE＝45°，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠EMB＝90°
∴∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴＝，
∵点E是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴﹣＝﹣，
∴＝；
（3）连接AE，OB，ON，
∵EN⊥AB，垂足为点M，
∴∠AME＝∠EMB＝90°，
∵BM＝1，由（2）得∠ABE＝∠BEN＝45°，
∴EM＝BM＝1，
又∵BE＝EM，
∴BE＝，
∵在Rt△AEM中，EM＝1，AM＝，
∴∠EAB＝30°，
∵∠EAB＝∠EOB，
∴∠EOB＝60°，
又∵OE＝OB，
∴△EOB是等边三角形，
∴OE＝BE＝，
又∵＝，
∴BE＝CN，
∴△OEB≌△OCN（SSS），
∴CN＝BE＝
又∵S扇形OCN＝＝，S△OCN＝CN•CN＝×＝，
∴S阴影＝S扇形OCN﹣S△OCN＝﹣．
2．解：（1）过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵CB＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠ADB＝∠CDB．
在△ABD和△FBD中，
，
∴△ABD≌△FBD（AAS），
∴BF＝BA，则点F在圆B上，
∴CD与⊙B相切；
（2）∵∠BCD＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CBD＝60°
∵BF⊥CD，
∴∠ABD＝∠DBF＝∠CBF＝30°，
∴∠ABF＝60°，
∵AB＝BF＝，
∴AD＝DF＝AB·tan30°＝2，
∴阴影部分的面积＝S△ABD﹣S扇形ABE
＝
＝．
3．解：（1）连接OB，
∵BC⊥OA，
∴BE＝CE，，
又∵∠ADB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB＝2∠ADB，
∴∠AOC＝60°．
（2）∵，
∴，
∵∠AOC＝60°，
∴∠C＝30°，
设OE＝x，OC＝2x，
∵OE2+EC2＝OC2，
∴OE＝x＝1，OC＝2x＝2，
∴S阴影＝S扇形OBC﹣S△OBC＝＝（π﹣）（cm2）．
4．解：（1）∵BE＝BC＝4，AB＝2
∴AE＝＝＝2，
∴AB＝AE，
∴∠ABE＝45°；
（2）∵∠ABC＝90°，
∴∠EBC＝45°
则阴影部分的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S扇形BCE
＝2×4﹣×2×2﹣
＝8﹣4﹣2π．
5．解：（1）∵CE＝ED，
∴∠BCD＝∠BAC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠ACO＝∠BCD；
（2）设⊙O的半径为Rcm，则OE＝OB﹣EB＝（R﹣5）cm，
CE＝CD＝×10＝5cm，
在Rt△CEO中，由勾股定理可得：
OC2＝OE2+CE2，
即R2＝（R﹣5）2+（5）2，
解得R＝10．
∴圆O的直径2R＝20cm；
（3）在Rt△OEC中，OE＝10﹣5＝5＝OC，
∴∠OCE＝30°，
∴∠EOC＝60°，
∴劣弧BC的长是＝cm．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
7．（1）证明：连接AC，
∵AB为⊙O直径，
∴AC⊥BC，
又∵BC＝CD，
∴AC垂直平分BD，
∴AB＝AD；
（2）解：连接OE，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵AB为⊙O直径，
∴∠BED＝90°，
∵∠DBE＝22.5°，
∴∠D＝67.5°＝∠ABC，
∴∠ABE＝45°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠ABE＝45°，
∴∠AOE＝∠OEB+∠ABE＝45°+45°＝90°，
∵AB＝8，
∴BO＝EO＝4，
∴S阴＝S△BOE+S扇形OAE＝+＝8+4π．
8．解；（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°；
（2）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
∴AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝﹣＝﹣＝π﹣2．
9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE＝ED，
（2）解：连接CD，OD，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝∠OCB+∠ABC＝60°，
∵OC⊥AD，
∴＝，
∴∠COD＝∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵AB＝6，
∴BD＝3，AD＝3，
∵OA＝OB，AE＝ED，
∴OE＝＝，
∴S阴影＝S扇形AOD﹣S△AOD＝﹣×＝3π﹣．
10．解：（1）连接OH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝4，AH＝2，
∴OA＝OH＝AH，
∴∠HAB＝60°；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
又∠BAH＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝8，
∴CH＝AC﹣AH＝6；
（3）过H作HE⊥AO于E，
∵∠HAB＝60°，AH＝2，
∴HE＝AH＝，
∵AC＝8，CD＝AB＝4，
∴AD＝＝4，
∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣（S扇形HAO﹣S△AOH）＝×4﹣（﹣）＝9﹣π；
（4）过O作MN⊥AK于N．交⊙O于M，由题意可知MN＝3，
∵OM＝OA＝2，
∴ON＝1，
∴AN＝＝，
∴AK＝2AN＝2．
11．解：（1）平面直角坐标系如图所示：
（2）由平面直角坐标系可知，
圆心M点的坐标为（2，0），
故答案为：（2，0）．
（3）由图形可知，点D（5，﹣2）关于x轴的对称点D′（5，2）在⊙M内，
∴点D（5，﹣2）在⊙M内；
（4）AM＝＝2，
∵∠AMC＝90°，
∴弧AC的长为：＝π．
12．（1）证明：如图1，连接CB，CE，
∵点C为劣弧AB上的中点，
∴CB＝CA，
又∵CD＝CA，
∴AC＝CD＝BC，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠EAD，
∴∠D＝∠EAD，
∴EA＝ED，
∵CD＝CA，
∴EC⊥AD，
∴∠ACE＝90°，
∴AE是⊙O的直径；
（2）解：如图2，∵AE＝ED＝10，AC＝4，EC⊥AD，
∴根据勾股定理得：CE＝2，
∴S阴影＝S半圆﹣S△ACE＝12.5π﹣×4×2＝12.5π﹣4．
13．解：如图，连接PC，CQ．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B+∠BAD＝180°，
∵∠B＝70°，
∴∠BAD＝110°，
∵四边形APCQ是⊙O的内接四边形，
∴∠PCQ+∠PAQ＝180°，
∴∠PCQ＝70°，
∴∠POQ＝2∠PCQ＝140°，
∵AC＝12cm，
∴OA＝OC＝6cm，
∴S扇形POQ＝＝14π．
14．解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣∠C＝22.5°；
（2）连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠ABC＝67.5°，
∴∠BOD＝180°﹣67.5°×2＝45°，
则劣弧BD的长＝＝π，
答：劣弧BD的长为πcm．
15．解：（1）连接BC，BD，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝2，AC＝，
∴BC＝1，
∴∠BAC＝30°；
（2）连接OC，OD，
∵CD⊥AB、AB是直径，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠COD＝120°，
∴的长是：＝π；
（3）∵OC＝OA＝1，∠BOC＝60°，
∴CP，OP＝，
∴CD＝2CP＝，
∴弓形阴影部分的面积是：﹣×＝﹣．
16．解：（1）设CD交AB于E．
∵∠BOC＝2∠CDB，∠CDB＝30°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠CBO＝60°，
∵CD⊥AB，CD＝2，
∴CE＝ED＝，
∴OC＝2，
∴AB＝2OC＝4．
（2）连接BC，OD，
∵∠CBO＝∠BOD＝60°，
∴BC∥OD，
∴S△BCD＝S△BCO，
∴S阴＝S扇形OBC＝＝π，
阴影部分的周长＝2+2+＝2+2+π．
17．解：∵∠ACB＝90°，AC＝CB，
∴∠CBD＝45°，
又∵BC是直径，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝45°，
∴DC＝DB，
∴S弓形CD＝S弓形BD，
∴S阴影＝S弓形ACB+S△BCD
＝S扇形ACB﹣S△ACD
＝S扇形ACB﹣S△ABC
＝π×22﹣××2×2
＝π﹣1．
18．解：如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，
由题意知，OM⊥AB，且OC＝MC＝，
在Rt△AOC中，∵OA＝1，OC＝，
∴＝，AC＝＝，
∴∠AOC＝60°，AB＝2AC＝，
∴∠AOB＝2∠AOC＝120°，
则S弓形ABM＝S扇形OAB﹣S△AOB
＝﹣××＝﹣，
S阴影＝S半圆﹣2S弓形ABM
＝π×12﹣2（﹣）
＝﹣．
19．解：（1）作OE⊥AB于E，连接OM，
则ME＝EN＝MN，
∵BC＝12，
∴OM＝6，
在矩形ABCD中，OE⊥AD，
∴OE＝AB＝3，
∵在△OEM中，∠OEM＝90°，
ME＝＝＝3，
∴线段MN的长度为6；
（2）连接ON，
在Rt△OME中，∵＝，
∴∠MOE＝60°，
∴∠MON＝120°，
∴∠BOM＝∠CON＝30°，
∴阴影部分的面积＝+×6×3＝6π+9．
20．解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，
∴∠ABC＝45°；
（2）∵AB＝2，
∴OA＝OB＝OC＝1，BC＝，
∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣