04含参数的极值点偏移问题

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★例1.已知函数有两个不同零点，求证：.
【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与专题三(不含参数的极值点偏移问题)例题完全等价，专题三例题的四种方法全都可以用；
思路2：也可以利用参数a这个媒介去构造出新的函数.
解答如下：
因为函数有两个零点，
所以，
由（1）+（2）得：，
要证明，只要证明，
由（1）-（2）得：，即，
即证：，
不妨设，记，则，
因此只要证明：，
再次换元令，即证
构造新函数，
求导，得在上递增，
所以，因此原不等式获证.
★例2.已知函数，为常数，若函数有两个零点，证明：.
【解析】法一：消参转化成无参数问题：
，
是方程的两根，也是方程的两根，
则是方程的两根，
设，，则，
从而，此问题等价转化成为专题三例题，下略.
法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数：
不妨设，
∵，∴，
∴，欲证明，即证.
∵，∴即证，
∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例1中思路2的解答，下略.
法三：直接换元构造新函数：
设，
则，
反解出：，
故，转化成法二，下同，略.
★例3.已知是函数的两个零点，且.
（1）求证：；
（2）求证：.
【解析】（1）问题可以转化为：与有两个交点，由圆知，
且即，∴，
故要证：，即证：，也即证：，
也即，令，则
设，则，
∴在单调递增，即.
∴在单调递增，即，故原不等式得证.
（2）要证：，即证：，等价于，
也即，等价于，令
等价于，也等价于，等价于即证：
令，则，
又令，得，∴在单调递减，
，从而，在单调递减，∴，即证原不等式成立.
【点评】从消元的角度，消掉参数，得到一个关于的多元不等式证明，利用换元思想，将多元不等式变成了一元不等式，并通过构造函数证明相应不等式.
★例4.已知函数，若存在，使，求证：.
【解析】函数的零点等价于方程的实根，令，
求导可知，在上单调递增，在上单调递减，.
(ⅰ)下证：当时，方程有两个实根.
①当时，是减函数，∵
∴当为增函数，，
∴当时，有一解，记为.
②当时，为减函数，，
先证：，即证：，令，
求导由的单调性可得：，故不等式即证，
也即原不等式成立.
∴当时，有一解，记为.
再证：.
∵，
而，
∴.证毕.
【招式演练】
1. 已知
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的极值点，，证明:.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）当时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值；
（2）对函数求导，则，即为方程的两个不同的正根，表示出，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立．
【详解】（1）当时，，
所以，则在上是单调递减函数，且有，
当时，，即为上的增函数，
当时，，即为上的减函数，
所以.
（2）证明：由题意知：由，
则，即为方程的两个不同的正根，
故而需满足：，解得，
所以
令，，
令，所以；
则为上的减函数，且，
所以当时，，即为上的增函数；
当时，，即为上的减函数，
所以，
所以，证毕.
【点睛】本题考查导数证明不等式问题，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
2. 已知函数（a为常数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求不等式的解集；
（Ⅲ）若存在两个不相等的整数，满足，求证：.
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）设，根据函数的单调性求出不等式的解集即可；
（Ⅲ）求出，不妨设，则，根据函数的单调性得到，由，替换即可.
【详解】（Ⅰ）的定义域为，
，
（1）当时，恒有，故在上单调递增；
（2）当时，由，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上（1）（2）可知：当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（Ⅱ）的定义域为，所以，且，而，；
设，
，且当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，又因为时，，
所以当时，，当时，，
故的解集为；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知时，在上单调递增，若，
则不合题意；
故，而在上单调递增，在上单调递减，
若存在两个不相等的正数，满足，
则，必有一个在上，另一个在，
不妨设，则，
又由（Ⅱ）知时，，即，
所以，
因为，所以，
又因为在上单调递减，所以，
即.
【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，考查分类讨论思想和转化思想，属于中档题．
3. 已知.
（1）当时，求函数在区间，上的最大值；
（2）当时，若存在正数，满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）对函数求导，求得的单调性，对参数进行分类讨论，即可容易求得函数最大值；
（2）根据已知条件，求得与之间的等量关系，构造函数，利用导数求得其最小值，即可证明不等式.
【详解】（1）.，令，则，
在上单调递增，在上单调递减.
当时，在,上单调递减，的最大值为；
当时，在区间上为增函数，在区间上为减函数，
的最大值为．
综上，．
（2），
即，
令，
，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，即，
即有，
因为，所以.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性和最值，以及利用导数证明不等式，属综合中档题.
4. 已知函数．
若在上不单调，求a的取值范围；
当时，记的两个零点是，.
①求的取值范围；
②证明：．
【答案】；①；②证明见解析.
【解析】
【分析】
先对函数求导整理得出，结合研究的区间，对的范围进行讨论，结合函数在某个区间上不单调的条件，即既有增区间，又有减区间，即在区间上存在极值点，得到结果；
①将函数在区间上有两个零点转化为方程有两个解，构造新函数，利用导数求得结果；②结合①，求得两个零点所属的区间，利用不等式的性质证得结果.
【详解】解：因为，所以，
当，即时，可知在上恒成立，
即在上单调递增，不合题意，
当，即时，可知时，单调递减，
当时，，单调递增，所以满足在上不单调，
所以的取值范围是.
①令，得，即有两个解，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，当时，，且，
所以当时，记的两个零点，时，的取值范围是；
②证明：由①知，所以，
所以
【点睛】本题考查函数在某个区间上不单调求参数的取值范围，利用导数结合函数的零点的个数求参数的取值范围，利用导数证明不等式，考查分析问题能力，运算能力，属于难题.
5. 已知函数．
（1）若时，函数有最大值为-1，求b的值；
（2）若时，设，为的两个不同的极值点，证明：；
（3）设，为的两个不同零点，证明．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的导函数，对参数分两种情况讨论，当时，，函数单调递增，不存在最大值；当时，函数在时取得最大值，由最大值为，即可求出参数的值；
（2）求出函数的导数，由，为的两个不同极值点，则，是方程的两不等正根，则，，且，则，利用基本不等式即可得证；
（3）要证明，即证：，由（1）知只需证明：成立，因为，为的两个不同零点，不妨设，则，，令，则，即证，构造函数，利用导数研究函数的单调性，即可得证；
【详解】解：（1）当时，，
从而，
①当时，，此时，在上单调递增，函数不存在最大值，不合题意；
②当时，，当时，，此时，单调递增，当时，，此时，单调递增，
故当时，，解得，
（2）当时，，所以，
因为，为的两个不同极值点，所以，是方程的两不等正根，故，，且，
所以，当且仅当时等号成立，因为，所以．
（3）要证明，
即证：，
由（1）得，故只需证明：成立．
因为，为的两个不同零点，不妨设，
① ②
所以①-②可得，
两边同时乘以，可得，
即，
令，则，
即证
即
即证．
令函数．
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，
所以．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，构造函数是解决本题的关键，考查等价转化能力，数学计算能力，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，综合性强，属于难题.
6. 已知函数，．其中，为常数．
（1）若函数在定义域内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）已知，是函数的两个不同的零点，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）首先求函数的导数，根据题意转化为在内有且仅有一个变号零点，根据二次函数的单调性，列式求解的取值范围；（2）求出当函数有两个零点时，求出，再构造函数，利用导数判断函数的单调性，得到，再通过构造得到，利用函数的单调性证明结论.
【详解】（1），因为函数在定义域有且仅有一个极值点，
所以在内有且仅有一个变号零点，
由二次函数的图象和性质知，解得，
即实数的取值范围为．
（2），
当时，，在上单调递增，函数至多有一个零点，不符合题意，
当时，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故当时，函数取得最小值，
当时，，，函数无零点，不合题意，
当时，，，函数仅有一个零点，不合题意，
当时，，，
又，所以在上只有一个零点，
令，则，
故当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，所以，
所以，
又，所以在上只有一个零点．
所以满足题意．
不妨设，则，，
令，
则，
，
当时，，所以在上单调递减，
所以当时，，即，
因为，所以，
所以，
又，，且在上单调递增，
所以，故得证．
【点睛】本题考查利用导数证明函数的单调性，极值，最值，零点，函数与方程，不等式的综合应用，重点考查逻辑推理，转化与变形，计算能力，属于难题.
7. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）如果方程有两个不相等的解，且，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导得，再对进行分类讨论，解不等式，即可得答案；
（2）当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；当时，在单调递减，在单调递增，则.不妨设，只要证，再利用函数的单调性，即可证得结论.
【详解】（1）.
①当时，单调递增；
②当时，单调递减；
单调递增.
综上：当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）由（1）知，
当时，在单调递增，至多一个根，不符合题意；
当时，在单调递减，在单调递增，则.
不妨设，
要证，即证，即证，即证.
因为在单调递增，即证，
因为，所以即证，即证.
令
，
.
当时，单调递减，又，
所以时，，即，
即.
又，所以，所以.
【点睛】思路点睛：用导数证明不等式的基本思路：构造函数φ(x)，将不等式转化为φ(x)＞0(或＜0)的形式，然后研究φ(x)的单调性、最值，判定φ(x)与0的关系.
8. 已知函数在上有个零点、．
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）令可得，将问题等价于直线与函数在区间上的图象有两个交点，利用导数分析函数在区间上的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；
（2）由题意可知，且有，可得，于是可将所证不等式等价于证明不等式，令，即证，令，利用导数证明出即可.
【详解】（1），等价于，
设，则，
令得，当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，即.
而且时，时，
如下图所示：
由图象可知，当时，直线与函数在区间上的图象有两个交点，
所以实数的取值范围是；
（2）由（1）知，当函数有个零点时，
一定有，且，
两边取对数得，所以．
要证明的不等式等价于．
等价于，等价于证明，
令，等价于证明，其中，
设函数，
则，
故函数在上是增函数，所以，
即成立，所以原不等式成立．
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了极值点偏移问题，考查利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于较难题.
9. 已知函数．
（1）当时，函数在上是减函数，求b的取值范围；
（2）若方程的两个根分别为，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由在上是减函数，可知对恒成立，然后分离参数得，所以只要即可；
（2）由已知得，即，两式相减得，由知，设，可得，再利用导数研究其单调性可得结论
【详解】（1）∵在上递减，
∴对恒成立.
即对恒成立，所以只需.
∵，∴，
当且仅当时取“=”，∴.
（2）由已知，得，
∴两式相减，
得.
由知
，
设，则.
∴.
∴在上递增，∴.
∵，
∴.
即.
【点睛】此题考查利用导数研究函数单调性极值与最值，考查基本不等的性质，考查推理能力和计算能力，属于难题
10. 已知函数，.
（1）若为上的增函数，求的取值范围；
（2）若，，且，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由在上为增函数，可得恒成立，即恒成立，构造函数，利用导数求此函数的最小值即可；
（2）由于，且在上单调递增，，且，不妨设，令，利用函数可判断在上为减函数，所以有，，而在上为增函数，从而可得，从而，
【详解】（1）.
若在上为增函数，则恒成立，
即恒成立，
设，则，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，故，
∴实数的取值范围为；
（2）证明：若，由（1）知在上单调递增，由于，
已知，，不妨设，
设函数，则
，
则，设，则
，
由于，故在上为增函数，
∴，∴在上为减函数，
∴，
∴，
而在上为增函数，
∴，故，从而，
即.
【点睛】此题考查导数的应用，考查由导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数判断函数的单调性，考查转化思想和计算能力，属于中档题
11. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）设是的两个零点，证明：．
【答案】（1）见解析（2）见解析
【解析】
【详解】分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证.
详解：（1），
当时，，则在上单调递增．
当时，令，得，则的单调递增区间为，
令，得，则的单调递减区间为．
（2）证明：由得，设，则．
由，得；由，得．
故的最小值．
当时，，当时，，
不妨设，则，
等价于，且在上单调递增，
要证：，只需证，
，
只需证，即，
即证；
设，
则，
令，则，，
在上单调递减，即在上单调递减，
，在上单调递增，
，
从而得证．
点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明.
12. 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，如果方程有两个不等实根，求实数t的取值范围，并证明.
【答案】（1）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出，对分类讨论，分别求出的解，即可得出结论；
（2）由（1）得出有两解时的范围，以及关系，将，等价转化为证明，不妨设，令，则，即证，构造函数，只要证明对于任意恒成立即可.
【详解】（1）的定义域为R，且.
由，得；由，得.
故当时，函数的单调递增区间是，
单调递减区间是；
当时，函数的单调递增区间是，
单调递减区间是.
（2）由（1）知当时，，且.
当时，；当时，.
当时，直线与的图像有两个交点，
实数t的取值范围是.
方程有两个不等实根，
，，，，
，即.
要证，只需证，
即证，不妨设.
令，则，
则要证，即证.
令，则.
令，则，
在上单调递增，.
，在上单调递增，
，即成立，
即成立..
【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，涉及到函数单调性、极值、零点、不等式证明，构造函数函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
13. 已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若存在两个不同的零点，求证：.
【答案】（1）增区间为，，减区间为 （2）见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出的定义域,求得导函数,令可解得或,分类讨论判断或,进而解得单调区间；
（2）整理函数为,则令,当时,,则分别讨论和两种情况,利用零点存在性定理判断零点个数；
（3）由（2）可知,构造函数,利用导数可得在单调递增,则,整理即可得证
【详解】解：（1）函数的定义域为,
,
令,得或,
因为,当或时,,单调递增；
当时,,单调递减,
所以的增区间为,；减区间为
（2）取,则当时,,,
所以；
又因为,由（1）可知在上单调递增,因此,当,恒成立,即在上无零点.；
下面讨论的情况：
①当时,因为在单调递减,单调递增,且,,,
根据零点存在定理,有两个不同的零点；
②当时,由在单调递减,单调递增,且，
此时有唯一零点；
③若,由在单调递减,单调递增,,
此时无零点；
综上,若,有两个不同的零点；若,有唯一零点；若,无零点
（3）证明：由（2）知,,且,
构造函数,,
则,
令,,
因为当时,,,
所以
又,所以恒成立,即在单调递增,
于是当时,,即 ,
因为,所,
又,所以,
因为,,且在单调递增,
所以由,可得,即
【点睛】本题考查利用导数求单调区间,考查利用导数判断函数的零点个数,考查零点存在性定理的应用,考查分类讨论思想和转化思想
14. 已知函数.
（1）若存在单调减区间，求a的取值范围；
（2）若为的两个不同极值点，证明：.
【答案】（1）.（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意知有解，则有解，利用导数判断函数的单调性从而确定最大值，即可得解；（2）根据题意可得，联立可得，问题转化为证明成立，令，利用导数研究函数的单调性及最值，由即可得证.
【详解】（1）函数定义域为，根据题意知有解，
即有解，令，
且当时，，单调递增；时，单调递减
；
（2）由是的不同极值点，知是两根(设)
即，①②联立可得：③
要证，即证，即
由③可得
令，问题转化为证明成立(*)
在上单调递增，，(*)成立，得证.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式成立，极值点的定义，属于较难题.
15. 已知函数，.
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，正数，满足，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求得导数，令，则，分和两种情况分类讨论，结合导数的符号，即可求解；
（2）当时，得到，根据函数的单调性，不妨设，得到，构造函数﹐，结合导数求得函数的单调性和极值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数的定义域为，
可得，
令，则.
①当时，，可得对恒成立，
则在区间上单调递增.
②当或时，，令，得，
（i）当时，，
所以对恒成立.则在区间上单调递增.
（ⅱ）当时，.
若，，函数单调递增；
若，，函数单调递减；
若，，函数单调递增.
综上所述：当时，在区间上单调递增.当时，在和，上单调递增；在单调递减.
（2）当时，函数，
由（1）可知在区间上单调递增，
又易知，且，不妨设，
要证，只需证，
只需证，即证，
即证，
构造函数﹐，
所以，，
则，
当时，，所以函在区间（0，1]上单调递增，
则，
所以得证，从而.
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
16. 已知
(1)求的单调区间;
(2)设，为函数的两个零点，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【详解】分析：（1）由函数，求得，通过讨论实数的取值范围，即可求出函数的单调区间；
（2）构造函数，与图象两交点的横坐标为，问题转化为，令，根据函数的单调性即可作出证明.
详解：（1）∵，∴
当时，∴，
即的单调递增区间为，无减区间；
当时，∴，
由，得，
时，，
时，，
∴时，易知的单调递增区间为，
单调递减区间为，
（2）由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为，
不妨设，由条件知，即
构造函数，与图象两交点的横坐标为
由可得
而，∴
知在区间上单调递减，在区间上单调递增，
可知
欲证，只需证，即证，
考虑到在上递增，只需证
由知，只需证
令 ，
则
，
所以为增函数，又，
结合知，即成立，
即成立.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
17. 已知函数.
（1）当时，证明：有唯一零点；
（2）若函数有两个极值点，（），求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先对函数f(x)求导，再对a分类讨论即可判断函数f(x)的单调性，进而求得最值;
(2)由函数的极值点得关于,的关系式以及参数a的范围,构造函数,将问题转化为该函数的最值问题，再进行适当放缩即可证明.
【详解】（1）（）
∵，，所以在，上递增，在递减，
又，时，
所以有唯一零点；
（2）（）
.
若有两个极值点，（），
则方程的判别式且，，
因而，
又，∴，即，
设，其中，
由得，由于，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即的最大值为，
从而成立.
【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式，考查了分类讨论思想，转化思想，属于难题.
18. 已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）若函数有两个零点，且，证明：.
【答案】（1）答案详见解析；（2）证明详见解析.
【解析】
【分析】（1）求出，分两种情况讨论的范围，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间，根据单调性可得函数的极值；
（2），为函数零点，可得，要证，只需证，，构造函数利用单调性可得结论.
【详解】（1）函数的定义域为，.
当时，，在上是减函数，所以在上无极值；
当时，若，，在上是减函数.
当，，在上是增函数，
故当时，在上的极小值为，
无极大值.
（2）当时，，
由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，
又，为函数零点，所以，要证，只需证.
∵ ，又
∵，∴，
令，则，
∴在上是增函数，∴，∴，
∴，即得证.
【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，
19. 已知函数有两个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）设、是的两个零点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）令可得出，构造函数，可得出直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；
（2）依题意，设，有，构造函数利用导数研究可得，结合，即可得证.
【详解】（1），当时，令，可得，
令，其中，则，
令，可得，列表如下：
所以，函数的极小值为，
当时，，当时，，如下图所示：
由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
综上所述，实数的取值范围是；
（2）由（1）中的图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且一个交点的横坐标为正、另一个交点的横坐标为负，
即当时，函数有两个零点，一个零点为正、另一个零点为负，
设函数的两个零点分别为、，不妨设，有.
由，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，.
又，所以，即.
当且时，，则函数在区间上单调递增，
又，，所以，所以.
又，所以，所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题.
20. 设函数，其图象与轴交于，两点，且.
（1）求的取值范围；
（2）证明：.
【答案】（1）（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）先求出，易得当不符合题意，当时，当时，取得极小值，所以，得到的范围，再由，，结合零点存在定理，得到答案.（2）由题意，，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得到，再由是单调增函数，得到.
【详解】解：（1）因为，
所以.
若，则，
则函数是单调增函数，这与题设矛盾.
所以，令，则.
当时，，是单调减函数；
时，，是单调增函数；
于是当时，取得极小值.
因为函数的图象与轴交于两点，，
所以，即.
此时，存在，；
存在，，
又在上连续，故.
（2）因为
两式相减得.
记，
则，
设，则，
所以是单调减函数，
则有，而，所以.
又是单调增函数，且；
所以.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，换元法构造新函数，涉及知识点较多，题目较综合，属于难题.单调递减
单调递减
极小值
单调递增