07极值点偏移问题的函数选取

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★已知函数有两个不同的零点，，其极值点为．
（1）求的取值范围；
（2）求证：；
（3）求证：；
（4）求证：．
解：（1），若，则，在上单调递增，至多有一个零点，舍去；则必有，得在上递减，
在上递增，要使有两个不同的零点，则须有．
（严格来讲，还需补充两处变化趋势的说明：当时，；当时，）．
（2）由所证结论知这是的极值点偏移问题，选取函数来做，下面按对称化构造的三个步骤来写．
（ⅰ）在上，在上，有；
（ⅱ）构造函数，则
，当时，
，则在上，得，有．
（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，
在上，故，即．
（3）由所证结论可以看出，这已不再是的极值点偏移问题，谁的极值点会是1呢？回到题设条件：
，记函数，则有．
求导得，则1是的极小值点，我们选取函数来证（3）中结论；
顺带地，也可证（4）中结论．
（ⅰ）在上递减，在上递减，在上递增；与x的符号相同；当时，；
当时，；
当时，，
由不妨设．
（ⅱ）构造函数，则
当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，得在上，当时，，
即，则，则，，得在上，有，即．
（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，．
（4）（ⅰ）同上；
（ⅱ）构造函数，则
当时，，但因式的符号不容易看出，引进辅助函数，则，当时，，得在上递增，有，则，得在上递增，有，即；
（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，上递增，故，．
点评：虽然做出来了，但判定因式及的正负时，均需要辅助函数的介入，费了一番功夫，虽然的极值点是1，理论上可以用来做（3）、（4）两问，但实践发现略显麻烦，我们还没有找到理想的函数．
再次回到题设条件：
，记函数，则有．接下来我们选取函数再解（3）、（4）两问．
（3）（ⅰ），得在上递减，在上递增，有极小值，又当时，；当时，，
由不妨设．
（ⅱ）构造函数，则
当时，，，则，得在上递减，有，即
（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，故，
又，，在上，故，．
（4）（ⅰ）同上；
（ⅱ）构造函数，则
当时，，得在上，有，即；
（ⅲ）将代入（ⅱ）中不等式得，又，，在上，故，．
【点评】用函数来做（3）、（4）两问，过程若行云流水般，格外顺畅．这说明在极值点偏移问题中，若函数选取得当，可简化过程，降低难度．
注1：第（2）问也可借助第（4）问来证：将，相加得．
注2：在第（ⅱ）步中，我们为什么总是给定的范围？这是因为的范围较的范围小，以第（3）问为例，若给定，因为所构造的函数为，这里，且，得，则当时，无意义，被迫分为两类：
①若，则，结论成立；
②当时，类似于原解答．
而给字，则不会遇到上述问题．当然第（4）问中给定或的范围均可，请读者自己体会其中差别．
【思考】
练习1：（查看热门文章里极值点偏移（1））应该用哪个函数来做呢？
提示：用函数来做，用函数来做．
练习2：（安徽合肥2017高三第二次质量检测）已知
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数两个零点，求证．
提示：将，两边取对数转化为指数方程处理．
【招式演练】
1. 已知函数.
（1）若函数在定义域上单调递减，求实数的取值范围；
（2）设函数有两个极值点，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意得在上恒成立，即在上恒成立，再求函数的最大值即可得答案；
（2）根据题意得，不妨设，令，则问题转化为证明在上恒成立，再转化为在上恒成立，进一步令，只需求在的最小值大于零即可证毕.
【详解】解：（1）函数的定义域为，
∵ 函数在定义域上单调递减，
∴ 在上恒成立，
∴ 在上恒成立，即：在上恒成立，
令，则，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，
∴ 当时，函数有极大值，也是最大值，
∴ ，
故实数的取值范围为：
（2）证明：∵ 函数有两个极值点，，
∴ 根据（1）得：，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ 不妨设，令，
则，设
故问题转化为证明在上恒成立，
∴ 只需证在上恒成立，
令，，
∴ 在上单调递增，由于，
∴ ，即函数在上单调递增，
∴ ，即在上恒成立
∴ 成立.
【点睛】本题考查已知函数的单调区间求参数范围，利用导数证明不等式恒成立问题，考查分析问题与解决问题的能力，是难题.
2. 设函数，其中.
（1）证明：恰有两个零点；
（2）设为的极值点，为的零点，且，证明.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）首先求出函数的导函数，令，由，可知：可得存在唯一解．可得是函数的唯一极值点．令，可得时，．．．可得函数在，上存在唯一零点．又函数在上有唯一零点1．即可证明结论．
（2）由题意可得：，，即，，可得，由，可得．又，可得，取对数即可证明．
【详解】证明：（1）因为，定义域为
所以；
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，.
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以函数在内单调递减，因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点
（2）由题意，，即，
从而，即，
因为当时，，又，故.
两边取对数，得
于是，整理得.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
3. 已知函数．
（1）若，求函数在处的切线方程；
（2）若有两个不同的零点．
①求的取值范围；
②证明：当时，．
【答案】（1）（2）①②见解析
【解析】
【分析】
（1）求导得到，计算，，得到切线方程.
（2）①求导得到，导函数单调递增，故存在使.故，解得或，计算得到答案.
②构造函数，证明函数单调递增，，，代入数据计算到，，相减化简得到答案.
【详解】（1），故，
故，，故切线方程为：.
（2）①，.
易知在时单调递增，
且，时，，
故存在使.
在上单调递减，在上单调递增，故，
当时，时，，不成立；
当时，时，，只需满足，
即，解得或.
当时，，即；
当时，，即.
综上所述：.
②构造函数，故，函数单调递增，
，故，，
，故.
故，
，整理得到：，
同理可得：，相减得到：，
故.
【点睛】本题考查了函数的切线问题，零点问题，计算量大，综合性强，意在考查学生的综合应用能力，是难题.
4. 已知函数
（1）若时在上的最小值是，求a；
（2）若，且x1，x2是的两个极值点，证明：（其中e为自然对数的底数）
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数得出函数的单调性，再由最值，解出的值；
（2）由题意结合韦达定理得出，，，将化简为，构造函数，利用导数得出其最大值，进而得出.
【详解】解：（1）定义域是，.
令，对称轴
因为，，所以当时，，即
所以在上单调递增.
解得.
（2）由有两个极值点，，则在有2个不等的实根
即在有2个不等的实根，则，解得.
，，
当时，
令，
令
，当时，，所以在单调递减.
所以
即
所以在单调递减
所以所以原式成立.
即.
【点睛】本题主要考查了已知函数的最值求参数，利用导数证明不等式，将不等式的恒成立问题转化为求最值的问题是解题的关键，属于较难题.
5. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【答案】（1），；（2）0；（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由已知可得，，求出，可得的方程组，求解即可；
（2）先求出的负根，进而求出切线方程，求出函数，进而求出单调区间，即可得出结论；
（3）根据（2）可得的图像在的上方，同理可证出的图像也在以的另一零点为切点的切线上方，求出与两切线交点的横坐标为，则有，即可证明结论.
【详解】（1）将代入切线方程中，
得，所以，
又或，
又，
所以，
若，则（舍去）；
所以，则；
（2）由（1）可知，，
所以，
令，有或，
故曲线与轴负半轴的唯一交点为
曲线在点处的切线方程为，
则，
因为，
所以，
所以，．
若，，
若，，，
所以.
若，，
，
，所以在上单调递增，
，函数在上单调递增．
当时，取得极小值，也是最小值，
所以最小值．
（3），设的根为，
则，又单调递减，
由（2）知恒成立．
又，所以，
设曲线在点处的切线方程为，则，
令，
．
当时，，
当时，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故．
又，所以．
【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、极值最值、不等式的证明，要注意利用数形结合找到解题的突破口，考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
6. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，求证：.
【答案】（1）当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求定义域，再求导，，设，再分类讨论得到的符号，得到的单调性；
（2）由（1）得到存在两个极值点，时的取值范围，再得到应满足的关系式，用表示出，再由导数求最小值，证明不等式.
【详解】（1）的定义域为，，
设，则，
若，即时，，
∴，所以在上单调递增.
若，即时，令，
则，
当时，.，
当时，，
所以在，上单调递增，
在上单调递减.
综上可得：当时，在，上单调递增，
在上单调递减；当时，在上单调递增；
（2）由（1）知时存在两个极值点，
则方程有两根，，所以，，
.
令，，
则，
所以在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】本题考查了利用导数研究含参函数的单调性，利用导数研究函数的极值、最值，考查了学生的分析能力，推理能力，运算能力，分类讨论思想，转化与化归思想.
7. 设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，
①证明：函数有两个零点，；
②求证：，注：为自然对数的底数.
【答案】（1）增区间为和，减区间为；（2）①证明见解析；②证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求导数，再根据导函数符号确定单调区间；
（2）①先求导函数零点，再结合单调性以及零点存在定理确定零点个数；
②令，转化研究零点，再构造函数，利用导数研究单调性，再根据单调性证明不等式.
【详解】（1），
，当时，，
由得或，由得，
因此函数增区间为和，减区间为；
（2）①由（1）可得当时，函数增区间为和，减区间为；又
因此当时，函数有且仅有一个零点，
当时，函数有且仅有一个零点，即当时，函数有且仅有一个零点，
令
当时，
因此当时，，即当时，函数无零点，
综上，函数有两个零点，；
②由①得，，令，则
所以
因为，所以当时
即在上单调递增；
令，则
因为为凹函数，所以
即在上单调递增，因此；
因为所以
因为所以
因为在上单调递增；
所以
【点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力，属难题.
8. 已知函数．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）若函数有两个不同的零点、，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，求得和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）设，令可得出，由题意得出，变形可得，令，由此将所求不等式转化为证明，然后构造函数，利用导数证明出即可.
【详解】（1），定义域为，，，.
因此，函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）令，得，由题意可得，
两式相加得，两式相减得，
设，可得，，
要证，即证，即，
令，即证.
构造函数，其中，，
所以，函数在区间上单调递增.
当时，，所以，.
因此，.
【点睛】本题考查利用导数求解函数图象的切线方程，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计算能力与推理能力，属于中等题.
9. 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先求导，再对分和两种情况即得函数的单调性；
（2）分析得到所以，，再化简得到，构造函数，得到，不等式即得证.
【详解】（1）．
因为.
当时，，此时在上单调递减；
当时，由解得或，
∵是增函数，
∴此时在和单调递减，在单调递增．
（2）由（1）知，∴，所以，所以，
∵，∴，
，
令，
∴，
∴在上是减函数，，
∴，即．
所以原不等式得证.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
10. 已知函数
（1）若，求函数的单调递减区间;
（2）若关于x的不等式恒成立，求整数 a的最小值:
（3）若，正实数满足，证明:
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用导数求函数单调区间，注意首先明确定义域，正确求导：因为，所以，由，得，（2）不等式恒成立问题一般利用变量分离法：问题等价于在上恒成立．再利用导数求函数最大值，令根为，在上是增函数；在上是减函数．
，所以整数的最小值为2．（3）转化为关于的不等式即可：由，即
从而，利用导数求左边函数最小值1，所以，解得
试题解析：（1）因为，所以， 1分
此时，
2分
由，得，
又，所以．
所以的单调减区间为． 4分
（2）方法一：令，
所以．
当时，因为，所以．
所以在上是递增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立． 6分
当时，，
令，得．
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数．
故函数的最大值为． 8分
令，
因为，，又因为在是减函数．
所以当时，．
所以整数的最小值为2． 10分
方法二：（2）由恒成立，得在上恒成立，
问题等价于在上恒成立．
令，只要． 6分
因为，令，得．
设，因为，所以在上单调递减，
不妨设的根为．
当时，；当时，，
所以在上是增函数；在上是减函数．
所以． 8分
因为，
所以，此时，即．
所以，即整数的最小值为2． 10分
（3）当时，
由，即
从而 13分
令，则由得，
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以， 15分
所以，
因此成立． 16分
考点：利用导数求函数单调区间、函数最值
11. 已知函数．
（1）的导函数记作，且在上有两不等零点，求的取值范围；
（2）若存在两个极值点，记作，，求证：．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）先求，令，转化为二次方程根的分布问题，结合二次函数的性质即可得出结论；
（2）由（1）知，，，是的两个不同实根，由韦达定理可得，的关系式，把要证明的结论等价化简变形后换元转化为证明不等式，构造函数，利用导数判断单调性即可证明结论成立.
【详解】解：（1），，
，令．
由题意，，解得：.所以的取值范围为．
（2）由（1）知，，
由，
即，得，
，
要证明，则只需证明，
令，由可得，
当时，，，
所以在上是减函数，所以，适合题意.
综上，．
【点睛】本题考查函数的零点分布和极值不等式证明，关键在于等价变形转化为常见的问题，属于难题.
12. 已知函数是上的增函数.
（1）求的取值范围；
（2）已知：，且，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）要使在上递增，只需在上恒成立即可，将问题转化为讨论函数的最小值；
（2）当，且时，或，针对和两种情况进行分类讨论，计算的最小值.
【详解】（1）由题意，对，恒成立，
①时，不合题意，舍去；
②时，，在上，；在上，，
所以在上递减，在上递增，
故的最小值为，
综上所述，的取值范围为.
（2）不妨设，，与1的大小关系可分为：或，
若，由是增函数可知：，符合题意；
若且，可得：，故
，
只需证：，
只需，
令，
则，
故为增函数，而，故，
即得证，由前面分析过程可知，不等式成立.
【点睛】本题考查根据函数单调性求参数的取值范围、不等式的证明问题，难度较大.导数与函数的综合问题中，导数与单调性的讨论、导数与极值最值是解题的核心，合理分类，针对不同情况进行讨论即可.
13. 已知函数，其中.
（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若函数有三个极值点，，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由题意求得,函数在上单调递增，可转化为恒成立,将参数与变量分离,构造新函数,判断单调性求出最值,即可得实数的取值范围；
（2）求出,由题意得有三个根，则有两个零点、，且、，由有一个零点，则，再利用分析法证明即可.
【详解】解：（1）由函数，其中，
得，
由函数在上单调递增，
故，
即恒成立，即恒成立.
令，则，
因此在区间上单调递增，
所以.
（2）由，则.
由题意则有三个根，则有两个零点、，且、，
由有一个零点，则，
令，则，
∴当时取极值，时单调递增，
∴，则时有两零点，且，
要证：，
即证（其中），即证：，即，
由，，则，
即证：；
等价于，等价于，
由在上单调递增，即证：，
又，则证，
令，，
∴.
∴恒成立，
则为增函数，
∴当时，，
∴，∴原结论成立.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题,考查分析法的证明,考查学生逻辑推理能力与转化思想的应用.
14. 已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）对函数进行求导得，再将问题转化为二次函数函数值的正负问题讨论；
（2）由（1）知，当，有极小值点和极大值，且，，利用消元法将变成关于的函数，再利用导数研究函数的最值，即可证明不等式；
【详解】（1）∵，
∴
令则
∵，∴对称轴
①当时，，，
∴，故在单调递减．
②当时，，
方程有两个不相等的正根，
不妨设，则当时，，
当）时，，这时不是单调函数．
综上，a的取值范围是．
（2）由（1）知，当，有极小值点和极大值，
且，，
，
令
则当时，
∴在单调递减，
所以
故．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、不等式的证明，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.
15. 已知函数．
（1）当时，判断函数是否有极值，并说明理由；
（2）若函数有两个极值点，，且，证明：．
【答案】（1）没有极值，理由见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）通过二次求导可得函数在内单调递减，因此函数无极值；
（2）由题意知，有两个不同的零点，所以，，作差可得，再将所证不等式转化为，令,即证，设，利用导数证明即可.
【详解】（1）当时，，，
令，则，
由，得，由，得，
所以在内单调递增，在内单调递减，
所以时，取得最大值为，
所以，
所以在内单调递减，所以函数没有极值.
（2）因为，所以有两个不同的零点，所以，，所以，
因为，所以，
要证，
等价于证明，
等价于证明，
等价于证明，
等价于证明，
因为，所以，
所以等价于证明，
设，即证，
设，
则，当时， ，
所以在内单调递减，所以，即，
所以.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了运算求解能力，考查了化归思想，将所证不等式转化为是解题关键，属于中档题.
16. 已知函数（）.
（1）若是定义域上的增函数，求a的取值范围；
（2）若，若函数有两个极值点，（），求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由题得，化为恒成立，即得解；
（2）先求出，，再求出，令，则，得，求出即得解.
【详解】（1）的定义域为，，
∵在定义域内单调递增，
∴，即对恒成立.
则恒成立. ∴，
∵，∴.
所以，a的取值范围是.
（2）设方程，即得两根为，，且.
由且，得，
∵，， ∴， ∴.
，
∵，
∴代入得，
令，则，得，，，
∴而且上递减，从而，
即， ∴.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值和双变量问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.