2020-2021学年江西省上饶市高三(上)9月月考数学(理)试卷北师大版
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1. 2+i3−7i=( )
A.13−11iB.−13−11iC.13+11iD.−13+11i
2. 已知集合A=x|12x<14,B={−3,−2,2,3},则A∩B=( )
A.{2,3}B.{3}C.{−3,−2}D.{−3}
3. 某市2020年4月18日−5月5日“新冠肺炎”的新增确诊病例和新增疑似病例的统计如下图所示,则从中任取1天,新增确诊病例和新增疑似病例之差的绝对值超过10的概率为( )
A.12B.13C.49D.718
4. 函数fx=3x+lnx的零点个数为( )
A.0B.1C.2D.3
5. 记等差数列an的前n项和为Sn,若S10=20a4,则a9a4=( )
A.13B.3C.133D.313
6. 若csα−sinα=34,则cs3π2+2α=( )
A.916B.−916C.716D.−716
7. 已知双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的焦点到距离较近的顶点的距离为4,到渐近线的距离为42,则双曲线C的渐近线方程为( )
A.y=±2xB.y=±22xC.y=±22xD.y=±24x
8. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1中,点E,F分别是线段BC,BB1的中点,则异面直线DE与D1F所成角的余弦值为( )
A.255B.55C.35D.45
9. 已知函数fx=3x−2,x>0,−3−x+2,x<0,现有如下说法:
①函数fx是奇函数;②函数fx在定义域上单调递增;③函数fx无最值.
则上述说法正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
10. 已知正三棱柱ABC−A1B1C1的体积为54,AB=6,记三棱柱ABC−A1B1C1的外接球和内切球分别为球O1,球O2,则球O1上的点到球O2上的点的距离的最大值为( )
A.23B.15+23C.15−3D.15+3
11. 已知△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足2b−c=acsCcsA,b=6,若D为线段BC的中点,且AD=33,则△ABC的面积为( )
A.63B.83C.93D.123
12. 已知关于x的不等式eλx+1lneλxx+1>lnx在0,+∞上恒成立,则实数λ的取值范围为( )
A.1e,+∞B.e,+∞C.0,1eD.0,e
二、填空题
已知|m→|=5,|n→|=3,若m→−n→⊥n→,则|2m→+n→|=_________.
已知实数x,y满足2x−3y≥0,2x+y≤4,y+2≥0, 则z=3x−y的最大值为________.
函数fx=sin2x+π3+32在0,π2上的值域为________.
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点分别为F1,F2,点M,N是椭圆C上关于原点对称的两点,若∠MF1N≥150∘恒成立,则椭圆C的离心率的取值范围为________.
三、解答题
某工厂测试一款新型机器,随机抽取该机器生产的部分产品,将质量指标值统计如下表所示:
(1)完善表格中的数据并估计产品质量指标值的平均数;
(2)以频率估计概率,若从所有的产品中随机抽取3件,记质量指标值在[70,80)内的数量为X,求X的分布列以及数学期望EX.
记首项为1的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an+12,数列{bn}满足bn=lg9Sn.
(1)求证:数列{Sn}是等比数列;
(2)求满足i=2k+11bibi+1>9925成立的最小正整数k的值.
如图所示,四棱锥S−ABCD中,∠DAB=∠ABC=90∘,BC=2AD,SB=SC=2,CD=SD=3,且平面ABCD⊥平面SBC,M为线段SB的中点.
(1)求证:SC⊥AM;
(2)求二面角D−AS−B的正弦值.
已知函数fx=mex−x,m>0.
(1)求fx的极值;
(2)若曲线y=fx+x与y=x2存在两条公切线,求实数m的取值范围.
已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l与抛物线C交于A,B两点,其中点A在第一象限,AD→=DB→.
(1)若kOD=49(O为坐标原点),求直线l的方程;
(2)点P在x轴上运动,若∠FAP∈0,π2,求点P横坐标的取值范围.
已知极坐标系中,点M1,π2,曲线C1的极坐标方程为ρ=1,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为x=2+2ty=3−t’(t为参数).
(1)求直线l的极坐标方程;
(2)把曲线C1上各点的横坐标扩大到原来的5倍,纵坐标扩大到原来的6倍,得到曲线C2,N为C2上的动点,求线段MN的中点P到直线l距离的最小值.
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省上饶市高三(上)9月月考数学(理)试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
【解析】
【解答】
解:依题意,(2+i)(3−7i)=6−14i+3i+7=13−11i.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
其他不等式的解法
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:依题意,A=x|12x<14={x|x>2},
故A∩B={3}.
故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
古典概型及其概率计算公式
【解析】
【解答】
解:由图可知,新增确诊病例和新增疑似病例之差的绝对值超过10的天数为7,
则概率P=718.
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
函数的零点与方程根的关系
函数的零点
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:令f(x)=0,故3x=−ln x,
在同一直角坐标系中分别作出y=3x,y=−ln x的大致图象如图所示,
观察可知,它们有1个交点,即函数fx=3x+ln x的零点个数为1.
故选B.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列的前n项和
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:设等差数列公差为d,
依题意得,10a1+45d=20a1+60d,
化简得a1=−32d,
故a9a4=a1+8da1+3d=132d32d=133.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
二倍角的正弦公式
运用诱导公式化简求值
同角三角函数间的基本关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:依题意,(csα−sinα)2
=cs2α+sin2α−2sinαcsα
=916,
故sin2α=716,
则cs3π2+2α=sin2α=716.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
双曲线的渐近线
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:依题意,c−a=4,b2=c2−a2=32,
解得a=2,b=42,c=6,
故双曲线C的渐渐线方程为y=±abx=±24x.
故选D.
8.
【答案】
A
【考点】
余弦定理
异面直线及其所成的角
【解析】
无
【解答】
解:作出图形如下所示,延长B1B至点G,使得BG=FB,
连结GE,GD,
则∠GDE即为直线DE,D1F所成角.
设AD=2,
故DG=3,DE=5,EG=2,
故cs∠GDE=9+5−22×3×5=255.
故选A.
9.
【答案】
C
【考点】
分段函数的应用
函数奇偶性的判断
函数的最值及其几何意义
函数单调性的判断与证明
函数图象的作法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:当x>0时,即−x<0,
得f−x=−3−(−x)+2=−(3x−2)=−f(x),
所以函数f(x)是奇函数,故①正确;
作出函数fx的大致图象如下所示,
观察可知,函数f(x)无最值,且在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递增,故②错误,③正确.
故选C.
10.
【答案】
D
【考点】
多面体的内切球问题
球内接多面体
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
无
【解答】
解:因为ABC−A1B1C1为正三棱柱,且AB=6,
所以S△ABC=12×6×33=93.
设该三棱柱的高为ℎ,
93×ℎ=54,解得ℎ=23.
三棱柱ABC−A1B1C1的外接球半径R=3+12=15,内切球半径r=3,
故球O1上的点到球O2上的点的距离的最大值为15+3.
故选D.
11.
【答案】
C
【考点】
两角和与差的正弦公式
诱导公式
余弦定理
正弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:依题意,(2b−c)cs A=acs C,
故(2sin B−sin C)cs A=sin Acs C,
故2sin Bcs A=sinA+C=sinB,则cs A=12.
因为A∈0,π,故A=π3.
延长AD至点E,使得D是AE的中点,
由题画图:连接EB,EC,
则四边形ABEC是平行四边形,
在△ACE中,∠ACE=π−A=2π3,AC=6,AE=63,CE=AB=c,
由余弦定理,得c2+36+6c=108,解得c=6,
故△ABC的面积为12×62×32=93.
故选C.
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
函数恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:令f(x)=(x+1)lnx,
则f′(x)=1x+1+lnx=g(x),
则g′(x)=x−1x2.
故当x∈(0,1)时,g′(x)<0,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,
故f′(x)≥f′(1)=2,
则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
而(eλx+1)lneλxx+1>lnx
⇒(eλx+1)lneλx>(x+1)lnx⇔f(eλx)>f(x),
即λ>lnxx.
令ℎ(x)=lnxx,
故ℎ′(x)=1−lnxx2,
故当x∈(0,e)时,ℎ′(x)>0,
当x∈(e,+∞)时,ℎ′(x)<0,故ℎ(x)max=1e,
故λ>1e.
故选A.
二、填空题
【答案】
35
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
向量的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:依题意,m→−n→⋅n→=0,故m→⋅n→=3,
则|2m→+n→|=4m→2+4m→⋅n→+n→2
=20+12+3=35.
故答案为:35.
【答案】
11
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影部分所示,
观察可知,
当直线z=3x−y过点B时,z有最大值,
联立2x+y=4,y+2=0,
解得x=3,y=−2,
故z=3x−y的最大值为11.
故答案为:11.
【答案】
0,1+32
【考点】
正弦函数的定义域和值域
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:因为x∈0,π2,故2x+π3∈π3,4π3,
故sin2x+π3∈−32, 1,
故fx∈0,1+32,
即函数fx的值域为0,1+32.
故答案为:0,1+32.
【答案】
0,6−24
【考点】
椭圆的离心率
椭圆的定义和性质
椭圆的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:由题画图:连接MF2,NF2,
∵ MN,F1F2互相平分,
∴ 四边形MF1NF2为平行四边形,
∴ ∠MF1N+∠F1NF2=180∘.
∵ ∠MF1N≥150∘,
∴ ∠F1NF2≤30∘,
由椭圆性质知,当N在短轴端点B2(或B1)时,∠F1NF2最大,
此时在Rt△B2OF2中,∠OB2F2=15∘,
∴ e=sin∠OB2F2=sin15∘=6−24,
∴ 0
三、解答题
【答案】
解:(1)完善表格如下所示:
故估计所求平均数为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82.
(2)依题意,X∼B3,310,X的可能取值为0,1,2,3,
故PX=0=7103=3431000,
PX=1=C31×310×7102=4411000,
P(X=2)=C32×3102×710=1891000,
P(X=3)=3103=271000.
故X的分布列为:
故E(X)=3×310=910.
【考点】
众数、中位数、平均数
频率分布表
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)完善表格如下所示:
故估计所求平均数为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82.
(2)依题意,X∼B3,310,X的可能取值为0,1,2,3,
故PX=0=7103=3431000,
PX=1=C31×310×7102=4411000,
P(X=2)=C32×3102×710=1891000,
P(X=3)=3103=271000.
故X的分布列为:
故E(X)=3×310=910.
【答案】
(1)证明:依题意,an+1=2Sn,
则Sn+1−Sn=2Sn,
故Sn+1=3Sn,则Sn+1Sn=3,
故数列{Sn}是以1为首项,3为公比的等比数列.
(2)解:由(1)可得Sn=3n−1,
故bn=lg93n−1=n−12,
故1bnbn+1=4(n−1)n=41n−1−1n(n≥2),
故i=2k+11bibi+1=41−12+12−13+⋯+1k−1k+1
=41−1k+1,
则41−1k+1>9925,解得k>99,
故最小正整数k的值为100.
【考点】
数列与函数最值问题
数列的求和
数列递推式
等比数列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明:依题意,an+1=2Sn,
则Sn+1−Sn=2Sn,
故Sn+1=3Sn,则Sn+1Sn=3,
故数列{Sn}是以1为首项,3为公比的等比数列.
(2)解:由(1)可得Sn=3n−1,
故bn=lg93n−1=n−12,
故1bnbn+1=4(n−1)n=41n−1−1n(n≥2),
故i=2k+11bibi+1=41−12+12−13+⋯+1k−1k+1
=41−1k+1,
则41−1k+1>9925,解得k>99,
故最小正整数k的值为100.
【答案】
(1)证明:取SC的中点G,连接GM和GD,
∴ GM//BC,且GM=12BC.
又∵ ∠DAB=∠ABC,
∴ AD//BC.
∵ AD=12BC,
∴ GM//AD,且GM=AD,
∴ 四边形ADGM为平行四边形,
∴ DG//AM.
又∵ CD=SD=3,
∴ DG⊥SC.
又∵ DG//AM,
∴ SC⊥AM.
(2)解:∵ 平面ABCD⊥平面SBC,平面 ABCD∩平面SBC=BC,
AB⊥BC,AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥平面SBC.
又∵ SC⊂平面SBC,
∴AB⊥SC.
又∵ AM⊥SC,AB∩AM=A,
∴SC⊥平面ABS.
∴SC⊥SB.
∵SB=SC=2,可得BC=22,AD=2.
取BC的中点O,连接OD和OS,
∵ 四边形ABCD为直角梯形,则OD//AB,
∵ AB⊥平面SBC
∴ OD⊥平面SBC,
故OD⊥BC,OD⊥OS.
∵ SB=SC,OS⊥BC
∴以OS为x轴,OB为y轴,OD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
∵ CD=SD=3,
∴OD=1,
则A0,2,1,D0,0,1,S2,0,0,C(0,−2,0),
SA→=(−2,2,1),SD→=(−2,0,1),CS→=(2,2,0),
易知CS→=2,2,0为平面SAB的一个法向量.
设平面SAD的法向量为n→=x,y,z,
则n→⋅SA→=0,n→⋅SD→=0,
即−2x+2y+z=0,−2x+z=0,
令x=1,则n→=1,0,2.
设二面角D−AS−B为θ,
则|cs θ|=|n→⋅CS→||n→||CS→|=66,
故二面角D−AS−B的正弦值为306.
【考点】
用空间向量求平面间的夹角
两条直线垂直的判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明:取SC的中点G,连接GM和GD,
∴ GM//BC,且GM=12BC.
又∵ ∠DAB=∠ABC,
∴ AD//BC.
∵ AD=12BC,
∴ GM//AD,且GM=AD,
∴ 四边形ADGM为平行四边形,
∴ DG//AM.
又∵ CD=SD=3,
∴ DG⊥SC.
又∵ DG//AM,
∴ SC⊥AM.
(2)解:∵ 平面ABCD⊥平面SBC,平面 ABCD∩平面SBC=BC,
AB⊥BC,AB⊂平面ABCD,
∴AB⊥平面SBC.
又∵ SC⊂平面SBC,
∴AB⊥SC.
又∵ AM⊥SC,AB∩AM=A,
∴SC⊥平面ABS.
∴SC⊥SB.
∵SB=SC=2,可得BC=22,AD=2.
取BC的中点O,连接OD和OS,
∵ 四边形ABCD为直角梯形,则OD//AB,
∵ AB⊥平面SBC
∴ OD⊥平面SBC,
故OD⊥BC,OD⊥OS.
∵ SB=SC,OS⊥BC
∴以OS为x轴,OB为y轴,OD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
∵ CD=SD=3,
∴OD=1,
则A0,2,1,D0,0,1,S2,0,0,C(0,−2,0),
SA→=(−2,2,1),SD→=(−2,0,1),CS→=(2,2,0),
易知CS→=2,2,0为平面SAB的一个法向量.
设平面SAD的法向量为n→=x,y,z,
则n→⋅SA→=0,n→⋅SD→=0,
即−2x+2y+z=0,−2x+z=0,
令x=1,则n→=1,0,2.
设二面角D−AS−B为θ,
则|cs θ|=|n→⋅CS→||n→||CS→|=66,
故二面角D−AS−B的正弦值为306.
【答案】
解:(1)依题意f′x=mex−1.
令f′x=0,解得x=−lnm,
故当x∈−∞,−lnm时,f′x<0,f(x)单调递减;
当x∈−lnm,+∞时,f′x>0,f(x)单调递增,
故函数fx有极小值f−lnm=1+lnm,无极大值.
(2)设曲线y1=f(x)+x=mex,y2=x2.
设公切线在曲线y1=mex上的切点为x1,mex1,
在曲线y2=x2上的切点为x2,x22,显然x1≠x2.
由于y1′=mex,y2′=2x,故mex1=2x2=mex1−x22x1−x2.
由于m>0,故x2>0,且2x2=2x2−x22x1−x2,得x2=2x1−2>0,
所以x1>1,此时m=2x2ex1=4x1−1ex1,x1>1.
设Fx=4x−1ex,x>1,F′x=42−xex,
令F′x=0,解得x=2,故Fx在1,2上单调递增,在2,+∞上单调递减,
而F2=4e2,F1=0,当x→+∞时,Fx→0,则Fx的值域为(0,4e2].
因为曲线y=fx+x与y=x2存在两条公切线,
所以方程Fx=m有两个不同的实根,
故实数m的取值范围为0,4e2.
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
斜率的计算公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)依题意f′x=mex−1.
令f′x=0,解得x=−lnm,
故当x∈−∞,−lnm时,f′x<0,f(x)单调递减;
当x∈−lnm,+∞时,f′x>0,f(x)单调递增,
故函数fx有极小值f−lnm=1+lnm,无极大值.
(2)设曲线y1=f(x)+x=mex,y2=x2.
设公切线在曲线y1=mex上的切点为x1,mex1,
在曲线y2=x2上的切点为x2,x22,显然x1≠x2.
由于y1′=mex,y2′=2x,故mex1=2x2=mex1−x22x1−x2.
由于m>0,故x2>0,且2x2=2x2−x22x1−x2,得x2=2x1−2>0,
所以x1>1,此时m=2x2ex1=4x1−1ex1,x1>1.
设Fx=4x−1ex,x>1,F′x=42−xex,
令F′x=0,解得x=2,故Fx在1,2上单调递增,在2,+∞上单调递减,
而F2=4e2,F1=0,当x→+∞时,Fx→0,则Fx的值域为(0,4e2].
因为曲线y=fx+x与y=x2存在两条公切线,
所以方程Fx=m有两个不同的实根,
故实数m的取值范围为0,4e2.
【答案】
解:(1)依题意,F1,0,
因为AD→=DB→,故D是线段AB的中点.
设直线l:x=ty+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),
联立x=ty+1,y2=4x,
整理得y2−4ty−4=0,
所以y1+y2=4t,y1y2=−4,
故y0=2t,x0=ty0+1=2t2+1,
故D2t2+1,2t,则2t2t2+1=49,
解得t=14或t=2,
故直线l的方程为4x−y−4=0或x−2y−1=0.
(2)因为∠FAP∈0,π2,故AF→⋅AP→>0,
设Ax,y,F1,0,Pxp,0,
则AP→=xp−x,−y,AF→=1−x,−y,
故AP→⋅AF→=xp−x1−x+y2
=x2+3−xpx+xp>0x>0,
即x2+3−xpx+xp>0对任意的x>0恒成立.
令ℎx=x2+3−xpx+xp,
①xp−32>0,Δ<0,解得3
又xp≠1,故0≤xp<1或1
【考点】
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
直线与抛物线结合的最值问题
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)依题意,F1,0,
因为AD→=DB→,故D是线段AB的中点.
设直线l:x=ty+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),
联立x=ty+1,y2=4x,
整理得y2−4ty−4=0,
所以y1+y2=4t,y1y2=−4,
故y0=2t,x0=ty0+1=2t2+1,
故D2t2+1,2t,则2t2t2+1=49,
解得t=14或t=2,
故直线l的方程为4x−y−4=0或x−2y−1=0.
(2)因为∠FAP∈0,π2,故AF→⋅AP→>0,
设Ax,y,F1,0,Pxp,0,
则AP→=xp−x,−y,AF→=1−x,−y,
故AP→⋅AF→=xp−x1−x+y2
=x2+3−xpx+xp>0x>0,
即x2+3−xpx+xp>0对任意的x>0恒成立.
令ℎx=x2+3−xpx+xp,
①xp−32>0,Δ<0,解得3
又xp≠1,故0≤xp<1或1
【答案】
解:(1)依题意,直线l的普通方程为x+2y−8=0,
则直线l的极坐标方程为ρcsθ+2ρsinθ−8=0.
(2)依题意,曲线C1的参数方程为x=csθ,y=sinθ(θ为参数),
设Nx,y,则由条件知点x5,y6在曲线C1上,
所以 x5=csθ,y6=sinθ,
即x=5csθ,y=6sinθ,而M0,1,
又因为P为线段MN的中点,
所以P52csθ,6sinθ+12,
则点P到直线l的距离为:
52csθ+6sinθ−75=|13sin(θ+φ)−14|25,
当sinθ+φ=1时,点P到直线l的距离取得最小值510.
【考点】
直线的极坐标方程
直线的参数方程
参数方程的优越性
点到直线的距离公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:(1)依题意,直线l的普通方程为x+2y−8=0,
则直线l的极坐标方程为ρcsθ+2ρsinθ−8=0.
(2)依题意,曲线C1的参数方程为x=csθ,y=sinθ(θ为参数),
设Nx,y,则由条件知点x5,y6在曲线C1上,
所以 x5=csθ,y6=sinθ,
即x=5csθ,y=6sinθ,而M0,1,
又因为P为线段MN的中点,
所以P52csθ,6sinθ+12,
则点P到直线l的距离为:
52csθ+6sinθ−75=|13sin(θ+φ)−14|25,
当sinθ+φ=1时,点P到直线l的距离取得最小值510.质量指标值
频数
频率
[60,70)
20
0.1
[70,80)
60
[80,90)
0.4
90,100
40
质量指标值
频数
频率
[60,70)
20
0.1
[70,80)
60
0.3
[80,90)
80
0.4
[90,100)
40
0.2
X
0
1
2
3
P
3431000
4411000
1891000
271000
质量指标值
频数
频率
[60,70)
20
0.1
[70,80)
60
0.3
[80,90)
80
0.4
[90,100)
40
0.2
X
0
1
2
3
P
3431000
4411000
1891000
271000
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