2020-2021学年江西省瑞金市高二（下）4月月考数学（理）试卷北师大版

这是一份2020-2021学年江西省瑞金市高二（下）4月月考数学（理）试卷北师大版，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知命题p:|x+1|>2；命题q:x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围( )
A.a0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )

A.y=±3xB.y=±33xC.y=±xD.y=±2x

7. 已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )

A.24π+72B.24π+4C.2+14π+72D.2+14π+4

8. 双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与抛物线y2=2px(p>0)相交于A，B两点，公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为( )
A.2B.1+2C.22D.2+2

9. 一只昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，则其到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率为( )
A.3π27B.3π54C.54−3π27D.54−3π54

10. 定义在[0,+∞)的函数fx，对任意x≥0，恒有fx>f′x，a=f1e，b=f2e2，则a与b的大小关系为( )
A.a>bB.a0恒成立，则实数t的取值范围是( )
A.−∞,2B.−∞,52C.−∞,103D.2,+∞

12. 若函数fx=x−lnx+ex−1+e−x+1+m有零点，则实数m的取值范围是( )
A.(−∞,−3]B.(−∞,−1]C.[−1,+∞)D.[3,+∞)
二、填空题

某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=________.


−4416−x2dx+−π2π2x3dx=________．

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E是线段A1B1的中点，则直线BE与DA1所成角的余弦值是________.


已知球O的半径为3，正三棱锥S−ABC的四个顶点都在球O的表面上，且SA=2，则正三棱锥S−ABC的体积为________.
三、解答题

已知函数f(x)=3ex−12x2−ax．
(1)若函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；

(2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的最大值．

如图，函数fx=sinωx+φ （其中ω>0，|φ|≤π2）的图象与坐标轴的三个交点为P，Q，R，且Pπ6,0，Q2π3,0，M为QR的中点，且M的纵坐标为−34．

(1)求fx的解析式；

(2)求线段QR与函数fx图象围成的图中阴影部分的面积．

从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，⋯，第八组[190,195]，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人.

(1)求第七组的频率；

(2)估计该校的800名男生的身高的中位数；

(3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中任取两名男生，记他们的身高分别为x，y，事件E={|x−y|≤5}，求P(E).

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，点D，E分别为BC1，AC的中点，AB=BC，AC=CC1=3AB.

(1)求证： DE//平面A1B1BA；

(2)求平面BDE与平面A1BC所成锐二面角的正弦值．

已知动圆M过点F1−2,0，且动圆M内切于定圆F2：x−22+y2=32，记动圆M圆心的轨迹为曲线Γ．
(1)求曲线Γ的方程；

(2)若A，B是曲线Γ上两点，点P0,23满足PF2→+PA→+PB→=0→，求直线AB的方程．

已知函数fx=3x−2sinx+3−1x>0，gx=23x−5sinx−3csx+3．
(1)求fx在0,π上的最小值；

(2)证明：gx>fx．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江西省瑞金市高二（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
先求出，p={x|x>1或x2，
∴ p={x|x>1或x0，b>0)的下焦点0,−c
到渐近线ax±by=0的距离为2，且离心率为2，
所以bca2+b2=2,ca=2,a2+b2=c2,
解得a=233，b=2，
所以渐近线方程为y=±abx=±33x.
故选B.
7.
【答案】
D
【考点】
由三视图求表面积
【解析】
该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体，且四分之一圆锥底面半径为1，高为1.
三棱锥为墙角三棱锥，三条直角边长分别为1,1,2．另外三条边长分别为5,5,2
故该几何体的表面积为14⋅π⋅2+14π⋅12+12⋅1⋅1+12⋅1⋅2+12⋅1⋅2+12⋅2⋅5−12
=2+14π+4
故选：D.
【解答】
解：由三视图可知，该几何体为四分之一个圆锥与三棱锥的组合体，如图，
且四分之一圆锥底面半径为1，高为1，
三棱锥为墙角三棱锥，三条直角边长分别为1，1，2，
另外三条边长分别为5，5，2，
故该几何体的表面积为14⋅1⋅π⋅2+14π⋅12
+12⋅1⋅1+12⋅1⋅2+12⋅1⋅2+12⋅2⋅5−12
=2+14π+4.
故选D.
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
利用条件可得A(p2,p)在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，p2=a2+b2=c，从而可得(c, 2c)在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，代入化简，即可得到结论．
【解答】
解：∵ 双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与
抛物线y2=2px(p>0)相交于A，B两点，
且公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，
∴ A(p2,p)在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)上，
且p2=a2+b2=c，
∴ A(c, 2c)在双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，
即c2a2−4c2b2=1，
∴ c4−6a2c2+a4=0，
∴ e4−6e2+1=0，
解得e2=6±422=3±22，
∵ e>1，
∴ e=1+2.
故选B.
9.
【答案】
D
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
利用几何概型的概率公式可求昆虫到三角形任意一个顶点的距离不小于1的概率，从而可得正确的选项．
【解答】
解：如图，
昆虫在边长为6的等边三角形区域内随机爬行，
其到三角形任意一个顶点的距离不小于1对应的点的集合为阴影部分对应的区域，
其面积为34×62−12×π×12=93−π2，
故所求的概率为93−π293=54−3π54.
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
不等式比较两数大小
【解析】
解：令gx=fxex，则g′x=fx−fxex，
因为fx>f′x，所以g′xf2e2，
所以a>b，
故选A．
【解答】
解：令gx=fxex，则g′x=f′x−fxex，
因为fx>f′x，所以g′xf2e2，
所以a>b.
故选A．
11.
【答案】
B
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
求导函数f′x，化简f′(x)+f(x)x>0得x+1x−1>0，x∈[2,3]恒成立，参变分离即可求参数范围．
【解答】
解：∵ f′x=x2−2lnx+2−t2x2，
∴ 对任意的x∈[2,3]，f′x+f(x)x>0恒成立，
即对任意的x∈2,3，xf′x+fx>0恒成立，
∴ x2−xt+1>0恒成立，
对任意的x∈[2,3]，x+1x−t>0恒成立，
即x+1x>t恒成立，
又gx=x+1x在[2,3]上单调递增，
∴ gxmin=g2=52，
∴ t4，输出S=95.
故答案为：95.
【答案】
8π
【考点】
定积分
【解析】
本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值．考查定积分的计算，属于基础题．
【解答】
解：∵ y=16−x2是圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，
∴ −4416−x2dx=12×π×42=8π，
又−π2π2x3dx=0，
∴ 原式=8π．
故答案为：8π.
【答案】
105
【考点】
用空间向量求直线间的夹角、距离
异面直线及其所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为
x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设正方体边长为1，
则A11,0,1，B1,1,0，E1,12,1，
∴ DA1→=1,0,1，BE→=0,−12,1，
∴ cs⟨DA1→,BE→⟩=DA1→⋅BE→|DA1→||BE→|=11+1×14+1
=210=105.
又异面直线所成的角的范围是(0,π2]，
∴ 直线BE与DA1所成角的余弦值是105.
故答案为：105.
【答案】
16327
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
球内接多面体
【解析】
根据外接球的性质可知球心○在正三棱锥底面ABC的垂线SG上，且在底面ABC的投影为G，在RtΔG中，利用勾股
定理构造方程可求得正三棱锥底面边长，由此得到三棱锥的高，利用三棱锥体积公式可求得结果．
【解答】
解：取BC中点D，连接AD，作SG⊥平面ABC，垂足为G，如图，
则G为△ABC的中心，所以AG=23AD，
由球的性质可知，球心O在直线SG上，
设正三棱锥S−ABC底面正三角形ABC的边长为a，
则AG=23AD=23a2−14a2=33a，
所以SG=4−13a2，所以OG=3−4−13a2.
因为OG2+AG2=OA2，
所以9−64−13a2+4−13a2+13a2=9，
解得a2=323，
所以VS−ABC =13S△ABC ⋅SG
=13×12×a2×32×4−13a2=16327.
故答案为：16327.
三、解答题
【答案】
解：(1)由题意，得f′(x)=3ex−x−a，
则f′(0)=3−a，
又函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，
则3−a=2，
解得a=1．
又∵ f(x)=3ex−12x2−x，
则f(0)=3，
即2×0+b=3，
解得b=3．
∴ a=1，b=3．
(2)由题意可知，f′(x)≥0，
即3ex−x−a≥0恒成立，
∴ a≤3ex−x恒成立．
设g(x)=3ex−x，
则g′(x)=3ex−1．
令g′(x)=3ex−1=0，
解得x=−ln3．
令g′(x)−ln3，
∴ g(x)在(−∞, −ln3)上单调递减，在(−ln3, +∞)上单调递增，
∴ g(x)在x=−ln3处取得极小值，
∴ g(x)min =g(−ln3)=1+ln3．
∴ a≤1+ln3，
∴ a的最大值为1+ln3．
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
本题第（1）题先对函数f(x)求导，再根据在x＝0处的切线斜率可得到参数a的值，然后代入x＝0，求出f(0)的值，则b即可得出；第（2）题根据函数f(x)在R上是增函数，可得f′(x)≥0，即3ex−x−a≥0恒成立，再进行参变分离a≤3ex−x，构造函数g(x)＝3ex−x，对g(x)进行求导分析，找出最小值，即实数a的最大值．
【解答】
解：(1)由题意，得f′(x)=3ex−x−a，
则f′(0)=3−a，
又函数f(x)的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，
则3−a=2，
解得a=1．
又∵ f(x)=3ex−12x2−x，
则f(0)=3，
即2×0+b=3，
解得b=3．
∴ a=1，b=3．
(2)由题意可知，f′(x)≥0，
即3ex−x−a≥0恒成立，
∴ a≤3ex−x恒成立．
设g(x)=3ex−x，
则g′(x)=3ex−1．
令g′(x)=3ex−1=0，
解得x=−ln3．
令g′(x)−ln3，
∴ g(x)在(−∞, −ln3)上单调递减，在(−ln3, +∞)上单调递增，
∴ g(x)在x=−ln3处取得极小值，
∴ g(x)min =g(−ln3)=1+ln3．
∴ a≤1+ln3，
∴ a的最大值为1+ln3．
【答案】
解：(1)∵ Pπ6,0，Q2π3,0，
∴ 周期T=22π3−π6=π，
∴ ω=2.
又yM=−34，
∴ yR=−32，
∴ sinφ=−32，
∴ φ=−π3，
∴ f(x)=sin(2x−π3).
(2)由图可知，设x轴上方的阴影部分面积为S1，x轴下方的阴影部分面积为S2，
则S1=π62π3sin(2x−π3)dx
=−12cs(2x−π3)​π62π3=−12csπ−cs0=1，
S2=S△OQR−S曲边ORP=12×2π3×32
−−0π6sin2x−π3dx
=3π6+−12cs2x−π3​0π6=3π6−14，
∴ S阴=1+3π6−14=3π6+34.
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的周期性
定积分在求面积中的应用
【解析】
（1）由Pπ6,0，Q2π3,0，则周期T=22π3−π6=π⇒ω=2
ym=−34，则yR=−32，故sinφ=32⇒φ=−π3
∴fx=sin2x−π3
【解答】
解：(1)∵ Pπ6,0，Q2π3,0，
∴ 周期T=22π3−π6=π，
∴ ω=2.
又yM=−34，
∴ yR=−32，
∴ sinφ=−32，
∴ φ=−π3，
∴ f(x)=sin(2x−π3).
(2)由图可知，设x轴上方的阴影部分面积为S1，x轴下方的阴影部分面积为S2，
则S1=π62π3sin(2x−π3)dx
=−12cs(2x−π3)​π62π3=−12csπ−cs0=1，
S2=S△OQR−S曲边ORP=12×2π3×32
−−0π6sin2x−π3dx
=3π6+−12cs2x−π3​0π6=3π6−14，
∴ S阴=1+3π6−14=3π6+34.
【答案】
解：(1)第六组的频率为450=0.08，
所以第七组的频率为
1−0.08−5×0.008×2+0.016+0.04×2+0.06
=0.06.
(2)身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04，
身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08，
身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2，
身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2，
由于0.04+0.08+0.2=0.320.5，
估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m，
则170|F1F2|=4，
则点M的轨迹是以F1，F2为焦点，长轴长为42的椭圆，
则a=22，c=2，
∴ 曲线Γ的方程是x28+y24=1．
(2)∵ PF2→+PA→+PB→=0→，
∴ 点P0,23是△F2AB的重心，易得直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
∴ x1+x2+23=0 ，y1+y2+03=23，
∴ x1+x2=−2，y1+y2=2，
联立y=kx+m,x28+y24=1,
消y得2k2+1x2+4kmx+2m2−8=0，
∴ Δ=16k2m2−4(2k2+1)(2m2−8)
=8(8k2−m2+4)>0，
即8k2−m2+4>0，且x1+x2=−4km2k2+1=−2①，
∴ y1+y2=kx1+m+kx2+m
=kx1+x2+2m=−2k+2m=2②，
由①②解得k=12，m=32，
∴ 直线AB的方程为y=12x+32，即x−2y+3=0．
【答案】
(1)解：f′(x)=3−2csx，令f′x=0，得csx=32，
所以在区间[0,π]上，f′x的唯一零点是x=π6，
当x∈[0,π6)时，f′x0，fx单调递增，
故在区间[0,π]上，fx的最小值为fπ6=3π6+3−2．
(2)证明：当x>0时，
23x−5sinx−3csx+3>3x−2sinx+3−1，
即证：当x>0时，3x−3sinx−3csx+4−3>0，
令φx=3x−3sinx−3csx+4−3，
∴ φ′x=3−3csx+3sinx=3+23sinx−π3，
∴ x∈(0,π6)时，x−π3∈−π3,−π6，
∴ sin(x−π3)∈(−32,−12)，
∴ φ′x0，
∴ φ(x)在0,π6上单调递减，在π6,π上单调递增，
∴ φ(x)≥φ(π6)=3π6−32−32+4−3
=1+3π6−3>0，
∴ x∈0,π时，φx>0，
而x∈π,+∞时，
φx=3x−23sinx+π6+4−3
>3π−23+4−3>0，
综上，x>0时，φx>0，即gx>fx．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
本题考查用导数求函数的最值，证明不等式．解题方法是不等式变形后，引入新函数，利用导数求得新函数的最值，从而得证不等式成立．
(2)答案未提供解析．
【解答】
(1)解：f′(x)=3−2csx，令f′x=0，得csx=32，
所以在区间[0,π]上，f′x的唯一零点是x=π6，
当x∈[0,π6)时，f′x0，fx单调递增，
故在区间[0,π]上，fx的最小值为fπ6=3π6+3−2．
(2)证明：当x>0时，
23x−5sinx−3csx+3>3x−2sinx+3−1，
即证：当x>0时，3x−3sinx−3csx+4−3>0，
令φx=3x−3sinx−3csx+4−3，
∴ φ′x=3−3csx+3sinx=3+23sinx−π3，
∴ x∈(0,π6)时，x−π3∈−π3,−π6，
∴ sin(x−π3)∈(−32,−12)，
∴ φ′x0，
∴ φ(x)在0,π6上单调递减，在π6,π上单调递增，
∴ φ(x)≥φ(π6)=3π6−32−32+4−3
=1+3π6−3>0，
∴ x∈0,π时，φx>0，
而x∈π,+∞时，
φx=3x−23sinx+π6+4−3
>3π−23+4−3>0，
综上，x>0时，φx>0，即gx>fx．