高中人教版 (2019)3 万有引力理论的成就学案设计

这是一份高中人教版 (2019)3 万有引力理论的成就学案设计，共17页。学案主要包含了“称量”地球的质量，计算天体的质量，天文现象的预测等内容，欢迎下载使用。

3．万有引力理论的成就
一、“称量”地球的质量
1．地球质量的测量思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的万有引力。
阿基米德在研究杠杆原理后曾经说过一句名言：给我一个支点，我可以撬动地球。那么是否真的可以用这种方法称量地球的质量？为什么？
提示：不能；没有这样稳定的支点和足够长的杠杆。
2．关系式：mg＝G eq \f(Mm,R2) 。
3．结果：M＝ eq \f(gR2,G) ，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量。
二、计算天体的质量
1．思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力。
2．关系式： eq \f(GMm,r2) ＝m eq \f(4π2,T2) r。
3．结论：M＝ eq \f(4π2r3,GT2) ，只要知道引力常量G、行星绕太阳运动的周期T和轨道半径r就可以计算出太阳的质量。
三、天文现象的预测
1．发现未知天体：亚当斯和勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。德国的伽勒在预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。
2．预言哈雷彗星的回归：英国天文学家哈雷，计算出哈雷彗星的周期为76年，并成功预言这颗彗星将于1759年回归。
3．其他成就：
(1)解释潮汐现象：海水受到月亮和太阳的万有引力。
(2)推测地球形状：赤道略鼓，两极略扁的椭球体。
(3)重力探矿。
某同学学习了“万有引力理论的成就”后，总结出以下结论：
①绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。
②地球表面的物体，重力就是物体所受的万有引力。
③已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量。
④海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。
你的判断：正确的结论有①④。
1．天文学家发现天王星后，观测到天王星的轨道比较“古怪”，因此预言在天王星的轨道外还有一颗未发现的行星。
思考：由于海王星的存在，天王星的公转周期比没有海王星时会如何变化？
提示：由于海王星对天王星的万有引力，天王星绕太阳转动的向心力减小，周期变大。
2.“重力探矿”是万有引力在日常生活中一个很重要的应用。图为某型号相对重力探矿仪。
思考：若某地地下发现了天然气，则此处的重力加速度比正常位置偏大还是偏小？
提示：偏小。
一、测量天体的质量
万有引力与重力的关系
(物理观念——相互作用观念)
表格为地球上一些地点的纬度和重力加速度。你能从表中发现什么规律吗？能够尝试解释这个规律吗？
提示：纬度越高，重力加速度越大。与地球的形状以及地球的自转有关。
1.万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G eq \f(Mm,R2) 。引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。
2．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大。
(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G eq \f(Mm,R2) ＝mrω2＋mg，所以mg＝G eq \f(Mm,R2) －mrω2。
(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G eq \f(Mm,R2) 。
(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg3．重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G eq \f(Mm,R2) ，若距离地面的高度为h，则mg＝G eq \f(Mm,（R＋h）2) (R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。
【典例1】假设地球可看作质量分布均匀的球体，已知地球的半径R＝6.4×106 m，质量M＝6.0×1024 kg。如果某一天，因某种原因地球自转加快，当角速度等于多少时，赤道上的物体重力为零？(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)
【解题探究】
1．地球上的物体，所受的重力和万有引力有什么关系？
提示：万有引力一部分提供物体随地球自转的向心力，剩下的一部分为重力。
2．赤道上的物体重力恰好为零，说明什么？
提示：万有引力完全提供向心力。
【解析】在赤道上的物体，F向＝mω2R，且F向、重力G、万有引力F均指向地心O，在同一直线上，故：
G＝F－F向＝G eq \f(Mm,R2) －mω2R
令G＝0
则ω＝ eq \r(\f(GM,R3)) ＝ eq \r(\f(6.67×10－11×6×1024,（6.4×106）3)) rad/s
≈1.2×10－3 rad/s。
所以当地球自转角速度为1.2×10－3 rad/s时，赤道上的物体重力为零。
答案：1.2×10－3 rad/s
【典例加练】2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
【解析】选C。毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G eq \f(Mm,R2) ＝m eq \f(4π2R,T2) ，M＝ρ· eq \f(4,3) πR3，得ρ＝ eq \f(3π,GT2) ，代入数据解得ρ≈5.6×1015 kg/m3，故C项正确。
中心天体质量的计算(科学思维——科学推理)
1．天体质量的计算：
2.天体密度的计算：
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3) ，将质量代入可求得密度。
(2)特殊情况：
①已知天体表面的重力加速度为g，则ρ＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3) ＝ eq \f(3g,4πRG) 。
②卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝ eq \f(M,\f(4,3)πR3) ，将M＝ eq \f(4π2r3,GT2) 代入得：ρ＝ eq \f(3πr3,GT2R3) 。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝ eq \f(3π,GT2) 。
【典例2】(2021·广东选择考)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是( )
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
【解析】选D。根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供可得，G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r) ＝mω2r＝m eq \f(4π2,T2) r，则M＝ eq \f(v2r,G) ＝ eq \f(ω2r3,G) ＝ eq \f(4π2r3,GT2) ，故已知核心舱的质量和绕地半径、已知核心舱的质量和绕地周期以及已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，都不能求解地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径可求解地球的质量。故选D。
求解天体质量的注意事项：
(1)根据公式求得的质量是中心天体的质量，无法求出环绕天体的质量。
(2)计算天体质量的方法：M＝ eq \f(gR2,G) 和M＝ eq \f(4π2r3,GT2) 。不仅适用于计算地球和太阳的质量，也适用于其他中心星体。
(3)注意R、r的区分。R指中心天体的球体半径，r指行星或卫星的轨道半径。有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。
1．将物体由赤道向两极移动，则( )
A．它的重力减小
B．它随地球转动的向心力增大
C．它随地球转动的向心力减小
D．向心力方向、重力的方向都指向地心
【解析】选C。地球表面上所有物体所受地球的万有引力，按其作用效果分为重力和向心力，向心力使物体得以随地球一起绕地轴自转，所以说重力是地球对物体的万有引力的一个分力。万有引力、重力和向心力三个力遵循力的平行四边形定则，只有万有引力的方向指向地心，故D项错误；物体由赤道向两极移动时，万有引力大小不变，向心力减小，重力增大，当到达两极时，重力等于万有引力，故A、B项错误，C项正确。
2．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )
A． eq \f(R3T2,r3t2) B． eq \f(R3t2,r3T2) C． eq \f(R3t2,r2T3) D． eq \f(R2T3,r2t3)
【解析】选B。地球绕太阳公转，由太阳的万有引力提供地球的向心力，则得：G eq \f(M日m地,R2) ＝m地( eq \f(2π,T) )2R，解得太阳的质量为：M日＝ eq \f(4π2R3,GT2) 。月球绕地球公转，由地球的万有引力提供月球的向心力，则得：G eq \f(m地m月,r2) ＝m月( eq \f(2π,t) )2r ，解得地球的质量为：m地＝ eq \f(4π2r3,Gt2) 。所以太阳质量与地球质量之比 eq \f(M日,m地) ＝ eq \f(R3t2,r3T2) ，故B项正确。
【拔高题组】
1．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R。同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )
A． eq \f(GMT2,GMT2－4π2R3) B． eq \f(GMT2,GMT2＋4π2R3)
C． eq \f(GMT2－4π2R3,GMT2) D． eq \f(GMT2＋4π2R3,GMT2)
【解析】选A。在南极时物体受力平衡，支持力等于万有引力，即FN＝G eq \f(mM,R2) ；在赤道上物体由于随地球一起自转，万有引力与支持力的合力提供向心力，即G eq \f(mM,R2) －FN′＝mR eq \f(4π2,T2) ，两式联立可得A项正确。
2．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。(地球表面重力加速度g取10 m/s2，空气阻力不计)
(1)求该星球表面附近的重力加速度g′。
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地。
【解析】(1)在地球表面竖直上抛小球时有t＝ eq \f(2v0,g)
在某星球表面竖直上抛小球时有5t＝ eq \f(2v0,g′)
所以g′＝ eq \f(1,5) g＝2 m/s2
(2)由G eq \f(Mm,R2) ＝mg，得M＝ eq \f(gR2,G)
所以 eq \f(M星,M地) ＝ eq \f(g′R eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(星)) ,gR eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ＝ eq \f(1,5) ×( eq \f(1,4) )2＝ eq \f(1,80) 。
答案：(1)2 m/s2 (2)1∶80
二、天体运动的定性分析和定量计算
(科学思维——科学推理)
如图所示，行星在围绕太阳做匀速圆周运动。
(1)行星绕恒星做匀速圆周运动时线速度的大小是由什么因素决定的？
(2)行星、卫星绕中心天体运动时的线速度、角速度、周期和向心加速度与自身质量有关吗？
提示：(1)由G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r) 得v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，线速度的大小决定于恒星的质量和行星的轨道半径。
(2)无关。
1．解决天体运动问题的基本思路：一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供。
2．四个重要结论：
【典例】(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为
v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
【解析】选A。由万有引力提供向心力G eq \f(Mm,R2) ＝ma可知轨道半径越小，向心加速度越大，故知A项正确，B错误；由G eq \f(Mm,R2) ＝m eq \f(v2,R) 得v＝ eq \r(\f(GM,R)) ，可知轨道半径越小，运行速率越大，故C、D都错误。
1. (2021·金华高一检测)如图，A、B为地球的两颗卫星，它们绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径满足rA＜rB。v、an、T、ω分别表示它们的环绕速度大小、向心加速度大小、周期和角速度，下列判断正确的是( )
A．vA＜vB B．anA＜anB
C．TA＜TB D．ωA＜ωB
【解析】选C。由 eq \f(GMm,r2) ＝man＝m eq \f(v2,r) ＝mω2r＝mr eq \f(4π2,T2) 得：v＝ eq \r(\f(GM,r)) ，ω＝ eq \r(\f(GM,r3)) ，an＝ eq \f(GM,r2) ，T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) ，故r越大，v、ω、an越小，T越大，故C正确。
2．(2021·湖州高一检测)2019年1月3日，嫦娥四号成功登陆月球背面，全人类首次实现月球背面软着陆。嫦娥四号登陆月球前，在环月轨道上做匀速圆周运动，其与月球中心连线在单位时间内扫过的面积为S，已知月球的质量为M，引力常量为G，不考虑月球的自转，则环月轨道的半径大小为( )
A． eq \f(4S2,GM) B． eq \f(3S2,GM) C． eq \f(2S2,GM) D． eq \f(S2,GM)
【解析】选A。根据万有引力提供向心力 eq \f(GMm,r2) ＝m eq \f(4π2r,T2) ，解得嫦娥四号做圆周运动的周期为T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) 。嫦娥四号绕月球做匀速圆周运动的圆的面积为πr2，所以嫦娥四号与月心连线在单位时间内所扫过的面积为S＝ eq \f(πr2,2π\r(\f(r3,GM))) ，解得环月轨道的半径大小为r＝ eq \f(4S2,GM) ，故选项A正确。
【补偿训练】如图所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造地球卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)。下列说法中正确的是( )
A．a、b的线速度大小之比是 eq \r(2) ∶1
B．a、b的周期之比是1∶2 eq \r(2)
C．a、b的角速度大小之比是3 eq \r(6) ∶4
D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2
【解析】选C。两卫星均做匀速圆周运动，F万＝F向。由 eq \f(GMm,r2) ＝m eq \f(v2,r) 得 eq \f(v1,v2) ＝ eq \r(\f(r2,r1)) ＝ eq \r(\f(3R,2R)) ＝ eq \r(\f(3,2)) ，故A项错误；由 eq \f(GMm,r2) ＝mr( eq \f(2π,T) )2得 eq \f(T1,T2) ＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) )) ＝ eq \f(2,3) eq \r(\f(2,3)) ，故B项错误；由 eq \f(GMm,r2) ＝mrω2得 eq \f(ω1,ω2) ＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) )) ＝ eq \f(3\r(6),4) ，故C项正确；由 eq \f(GMm,r2) ＝man得 eq \f(an1,an2) ＝ eq \f(r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(9,4) ，故D项错误。
【拓展例题】考查内容：数量级估算
【典例】土星最大的卫星叫“泰坦”，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km，已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则土星的质量约为( )
A．5×1017 kg B．5×1026 kg
C．7×1033 kg D．4×1036 kg
【解析】选B。卫星绕土星运动，土星对卫星的引力提供卫星做圆周运动的向心力。设土星质量为M，则有 eq \f(GMm,R2) ＝m eq \f(4π2,T2) R，解得M＝ eq \f(4π2R3,GT2) ，代入计算可得：M＝ eq \f(4×（3.14）2×（1.2×106×103）3,6.67×10－11×（16×24×3 600）2) kg≈5×1026 kg，故B项正确。
银河系中央大黑洞——人马座A*黑洞
人类生活的银河系无论体积还是质量都非常巨大，它的直径达到了约15万光年，其中有着数千亿恒星，但其中最庞大而又最神秘的，无疑就是银河系中心黑洞——人马座A*黑洞了。
虽然黑洞无法直接观察，但是它附近的恒星却会在不经意间暴露它的“行踪”。为了观测人马座A*黑洞，欧洲南方天文台从1996年至今二十多年的时间里，对银河系中心数十颗恒星进行了持续的观测，并将几颗主要的恒星轨道拟合如图。观测数据显示，它们都在围绕一个看不见的天体高速旋转，其中一颗编号为S0—2(图中最小的椭圆轨道)的恒星仅用了16年便完成了一次闭环公转，而它的轨道长轴长达3×1011 km，其近心点的速度高达光速的3%。黑洞的强大引力使得S0—2恒星始终处于崩溃的边缘，然而由于它极快的速度，使得自己每次都可以“逃出生天”。
通过这次观测，科学家最终确定了人马座A*黑洞的位置以及质量。请尝试通过以上参数，计算出黑洞的质量(忽略广义相对论效应)。
解释：结合万有引力定律和开普勒第三定律得：M＝ eq \f(4π2a3,GT2) ，其中a＝1.5×1011 km，代入数据得，黑洞的质量约为8×1036 kg。
1．(水平1)已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，重力加速度取g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是( )
A．1018 kg B．1020 kg C．1022 kg D．1024 kg
【解析】选D。根据万有引力定律有：F＝G eq \f(Mm,R2) ①；而在地球表面，物体所受的重力约等于地球对物体的吸引力：F＝mg②；联立①②解得：g＝G eq \f(M,R2) 。则M＝ eq \f(gR2,G) ＝ eq \f(9.8×（6.4×106）2,6.67×10－11) kg＝6.02×1024 kg，即地球质量的数量级是1024 kg，故D项正确。
2．(水平1)假如地球自转角速度增大，关于物体的万有引力及物体重力，下列说法错误的是( )
A．放在赤道地面上物体的万有引力不变
B．放在两极地面上物体的重力不变
C．放在赤道地面上物体的重力减小
D．放在两极地面上物体的重力增大
【解析】选D。地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，故A项正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其万有引力和重力不变，故B项正确、D项错误；而对放在赤道地面上的物体，F万＝G重＋mω2R，由于ω增大，则G重减小，故C项正确。
3．(水平2)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高。2018年5月9日发射的“高分五号”轨道高度约为705 km，之前已运行的“高分四号”轨道高度约为36 000 km，它们都绕地球做圆周运动。与“高分四号”相比，下列物理量中“高分五号”较小的是( )
A．周期 B．角速度
C．线速度 D．向心加速度
【解析】选A。“高分五号”的运动半径小于“高分四号”的运动半径，即r五ω四，故B项错误；v＝ eq \r(\f(GM,r)) ∝ eq \r(\f(1,r)) ，v五>v四，故C项错误；an＝ eq \f(GM,r2) ∝ eq \f(1,r2) ，an五>an四，故D项错误。
4．(水平2)有的天文学家倾向于把太阳系外较小的天体叫作“矮行星”，而另外一些人把它们叫作“小行星”，谷神星就是小行星之一。现有两个这样的天体，它们的质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的万有引力之比；
(2)它们的公转周期之比。
【解析】(1)设太阳质量为M，由万有引力定律得，两天体与太阳间的万有引力之比 eq \f(F1,F2) ＝ eq \f(G\f(Mm1,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ),G\f(Mm2,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )) ＝ eq \f(m1r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,m2r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) 。
(2)两天体绕太阳的运动可看成匀速圆周运动，向心力由万有引力提供，则有
G eq \f(Mm,r2) ＝m( eq \f(2π,T) )2r，
所以，天体绕太阳运动的周期T＝2π eq \r(\f(r3,GM)) ，
则两天体绕太阳的公转周期之比 eq \f(T1,T2) ＝ eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) )) 。
答案：(1) eq \f(m1r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,m2r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) (2) eq \r(\f(r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1)) ,r eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2)) ))
重力加速度的数值g/(m·s－2)
标准值g＝9.806 65 m/s2
地点
纬度
重力加速度
赤道
0°
9.780
广州
23°06′
9.788
武汉
30°12′
9.794
上海
31°12′
9.794
东京
35°43′
9.798
北京
39°56′
9.801
纽约
40°40′
9.803
莫斯科
55°45′
9.816
北极
90°
9.832
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝G eq \f(Mm,R2)
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r)
或G eq \f(Mm,r2) ＝mω2r
或G eq \f(Mm,r2) ＝m( eq \f(2π,T) )2r
结果
天体(如地球)质量：M＝ eq \f(gR2,G)
中心天体质量：M＝ eq \f(rv2,G) 或M＝ eq \f(r3ω2,G) 或M＝ eq \f(4π2r3,GT2)
项目
推导式
关系式
结论
v与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝m eq \f(v2,r)
v＝ eq \r(\f(GM,r))
r越大，
v越小
ω与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝mrω2
ω＝ eq \r(\f(GM,r3))
r越大，
ω越小
T与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝mr
T＝2π eq \r(\f(r3,GM))
r越大，
T越大
a与r
的关系
G eq \f(Mm,r2) ＝ma
a＝ eq \f(GM,r2)
r越大，
a越小