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高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律导学案及答案
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这是一份高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律导学案及答案，共17页。学案主要包含了行星与太阳间的引力，月—地检验，万有引力定律等内容，欢迎下载使用。
2．万有引力定律
一、行星与太阳间的引力
太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力和反作用力。
二、月—地检验
月球绕着地球进行圆周运动，受到哪个方向的力？苹果落到地球上，又受到哪个方向的力？
提示：均受到指向地球的力。
1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。
2．检验方法：
(1)物体在月球轨道上运动时的加速度：a＝g。
(2)月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度：a＝。
(3)对比结果：月球在轨道高度处的加速度近似等于月球的向心加速度。
3．结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(选填“相同”或“不同”)的规律。
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G eq \f(m1m2,r2) 。
3．引力常量：
(1)测量者：卡文迪什。
(2)数值：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
某同学学习了万有引力定律后，总结出以下结论：
①行星绕太阳运动的原因是它们受到太阳的引力。
②由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。
③万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。
④引力常量是牛顿首先测出的。
⑤物体间的万有引力与它们间的距离成反比。
你的判断：正确的结论有①③。
根据万有引力定律，一切物体之间都存在这样的引力。
思考：为什么通常两个人间的万有引力我们却感受不到
提示：任意两个物体间都存在着万有引力，但由于两个人的质量一般很小(与天体质量相比)，两个人的万有引力远小于地面对物体的摩擦力，人通常感受不到。
P53【拓展学习】
实际生活中，物体之间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来，因此卡文迪什巧妙地设置了扭秤实验。扭秤实验的物理方法是什么，我们还接触过哪些实验应用了这种物理方法？
提示：放大法；通过平面镜观察桌面的微小形变。
一、对太阳和行星间引力的理解
(物理观念——相互作用观念)
1．两个理想化模型：
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程：
3．太阳与行星间引力的特点：太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
4．公式F＝G eq \f(Mm,r2) 的适用范围：在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，所得出的结论不但适用于行星与太阳之间的作用力，而且对其他天体之间的作用力也适用。
【典例】(多选)下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝ eq \f(mv2,r) ，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝ eq \f(2πr,T) ，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式 eq \f(r3,T2) ＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D.在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
【解析】选A、B。向心力公式是牛顿结合向心加速度公式和牛顿第二定律推导出来、并被实验验证的公式，故A项正确；公式v＝ eq \f(2πr,T) 是速度的定义式在匀速圆周运动中的表达形式，故B项正确；开普勒的三大定律是通过对行星运动的观察而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，所以开普勒的三大定律都是在实验室中无法验证的规律，故C、D项错误。
1．牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的( )
A．理想实验——理论推导——实验检验
B．假想——理论推导——实验检验
C．假想——理论推导——规律形成
D．实验事实——假想——理论推导
【解析】选B。牛顿发现万有引力定律的思维过程是先假想维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”定律，然后通过理论推导得到理论上的结果，最后通过实验测得的数据计算实际结果，并将两种结果加以对比，从而得出结论，故B项正确。
2．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 eq \f(1,602)
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 eq \f(1,602)
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 eq \f(1,6)
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 eq \f(1,60)
【解析】选B。若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G eq \f(Mm,r2) ＝ma，因此加速度a与距离r的二次方成反比，故B项正确。
【拔高题组】
1．(多选)牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的
是( )
A．开普勒研究了第谷的行星观测记录，提出了开普勒行星运动定律
B．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律
C．卡文迪什在实验室中准确地得出了引力常量G的数值
D．牛顿推导出了引力常量G的数值
【解析】选A、B、C。开普勒总结出了行星运动的三大规律，故A项正确；牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律，故B项正确；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什在实验室中准确地得出了引力常量G的数值，故C项正确，D项错误。
2．(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是( )
A．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的向心力，这个力就是太阳对行星的吸引力
B．行星运动的半径越大，其做圆周运动的周期越大
C．行星运动的轨道是一个椭圆
D．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力
【解析】选A、D。牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力是太阳对它的引力，故A、D项正确；行星运动的周期随半径的增大而增大，这是开普勒第三定律的推论，不属于牛顿的猜想，故B项错误；行星的运动轨道是一个椭圆，这是开普勒第一定律，不属于牛顿的猜想，故C项错误。
二、对万有引力定律的理解
(物理观念——相互作用观念)
李华认为两个人距离非常近时，根据公式F＝G eq \f(m1m2,r2) 得出：r→0时，F→∞ 。李华同学的想法正确吗？为什么？
提示：不正确，因为两个人距离非常近时，不能视为质点，此公式不成立。
1．对万有引力定律表达式F＝G eq \f(m1m2,r2) 的说明：
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G eq \f(m1m2,r2) 的适用条件：
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的特性：
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关。
【典例】有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为 eq \f(R,2) 的球体，如图所示，则剩下部分对m的万有引力F为多大(引力常量为G)。
【解题探究】
1．万有引力公式F＝G eq \f(m1m2,r2) 的适用条件是什么？
提示：适用于质点间、质量均匀球体间、质点与质量均匀球体间的万有引力。
2．题目中阴影部分怎样转化可以适用万有引力公式？
提示：挖去的部分为球体，满足万有引力公式；补全后仍为球体，满足万有引力公式。
【解析】假设将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，F1可以看作是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即F1＝F＋F2。设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′，
由题意知M′＝ eq \f(\f(4,3)π（\f(R,2)）3,\f(4πR3,3)) M＝ eq \f(M,8) ，
r′＝R＋ eq \f(R,2) ＝ eq \f(3R,2) ，
由万有引力定律得F1＝G eq \f(Mm,（2R）2) ＝G eq \f(Mm,4R2)
F2＝G eq \f(M′m,r′2) ＝G eq \f(Mm,18R2)
故F＝F1－F2＝ eq \f(7GMm,36R2)
答案： eq \f(7GMm,36R2)
割补法在万有引力计算中的应用
一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式F＝G eq \f(Mm,R2) 直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于剩余部分形状不规则，公式F＝G eq \f(Mm,R2) 不再适用，此时可以用“割补法”求解万有引力。
(1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。
(2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用割补法。若所割去部分不是规则球体，则不适合应用割补法。
【典例加练】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝ eq \f(R,2) ，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A． eq \f(F,2) B． eq \f(F,8) C． eq \f(7F,8) D． eq \f(F,4)
【解析】选C。利用割补法来分析此题。原来物体间的万有引力为F，挖去半径为 eq \f(R,2) 的球的质量为原来球的质量的 eq \f(1,8) ，其他条件不变，故剩余部分对质点P的引力为F－ eq \f(F,8) ＝ eq \f(7,8) F。
1．对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G eq \f(m1m2,r2) ，下列说法正确的是( )
A．m1和m2所受引力总是大小相等的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．当有第3个物体m3放入m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
【解析】选A。物体间的万有引力是一对相互作用力，是同种性质的力，且始终等大反向，故A项正确，D项错误；当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，故B项错误；物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C项错误。
2．某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A．G eq \f(Mm,R2) B．G eq \f(Mm,（R＋h）2)
C．G eq \f(Mm,h2) D．G eq \f(Mm,R2＋h2)
【解析】选B。万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h，故B项正确。
【拔高题组】
1．(多选)对于太阳与行星间的引力表达式F＝G eq \f(Mm,r2) ，下列说法正确的是( )
A．公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
B．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，太阳和行星都处于平衡状态
D．太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
【解析】选A、B、D。公式中的G为比例系数，与太阳、行星均没有关系，A正确；太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力与反作用力，不能进行合成，故B、D项正确，C项错误。
2．(多选)要使两个物体之间的万有引力减小到原来的 eq \f(1,4) ，可采用的方法是( )
A．使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变
B．使两物体的质量各减少一半，距离保持不变
C．使其中一个物体的质量减为原来的 eq \f(1,4) ，距离保持不变
D．使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的 eq \f(1,4)
【解析】选A、B、C。根据F＝G eq \f(m1m2,r2) 可知，当两物体质量不变，距离增至原来的2倍时，两物体间的万有引力F′＝ eq \f(Gm1m2,（2r）2) ＝ eq \f(1,4) · eq \f(Gm1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) F，故A项正确；当两物体的距离保持不变，质量各减少一半时，万有引力F′＝ eq \f(G·\f(1,2)m1×\f(1,2)m2,r2) ＝ eq \f(1,4) · eq \f(Gm1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) F，故B项正确；当只有一个物体的质量减为原来的 eq \f(1,4) 时，万有引力F′＝ eq \f(G·\f(1,4)m1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) · eq \f(Gm1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) F，故C项正确；当两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的 eq \f(1,4) 时，万有引力F′＝ eq \f(G·\f(1,4)m1×\f(1,4)m2,（\f(1,4)r）2) ＝ eq \f(Gm1m2,r2) ＝F，故D项错误。
【拓展例题】考查内容：万有引力与平抛运动综合问题
【典例】航天员站在某一星球，从距离星球表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面重力加速度g的大小。
(2)该星球的质量。
【解析】(1)由平抛运动的知识知，在竖直方向小球做自由落体运动，h＝ eq \f(1,2) gt2，所以g＝ eq \f(2h,t2) 。
(2)在星球表面，物体的重力和所受的万有引力相等。故有：mg＝G eq \f(Mm,R2) ，所以M＝ eq \f(gR2,G) ＝ eq \f(2hR2,Gt2)
答案：(1) eq \f(2h,t2) (2) eq \f(2hR2,Gt2)
测量引力常量的先驱——马斯基林与“称山实验”
牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中提出过一种测量引力常量G的方法：一根挂在大山附近的铅垂线，会同时受到地球的吸引力和大山的吸引力，从而向稍微朝着大山的方向倾斜。只要精准地测量出铅垂线倾斜的角度以及大山的质量，便可以计算万有引力常量。
在这个理论的指导下，英国人马斯基林开始对位于苏格兰的一座大山进行测量。他测量出了山上尽可能多的位置的高度，然后用这些数据勾勒出大山的形状，并且计算出大山的体积。为方便起见，马斯基林在山脚下捡了一块石头，假设这个石头的密度与山的密度相等，这样，一座山的质量便称量完成。
虽然马斯基林的测量艰辛而又认真(有些点的高度他甚至测量了几十遍)，然而这个实验的结果却并不尽如人意。引力常量的测量结果与实际值相差悬殊，推导出的其他结论也都不符合实际情况。人类测量引力常量的早期实验最终以失败而告终。
那么，大家思考一下，为什么马斯基林的实验出现了如此大的误差呢？
解释：万有引力常量极小，即使是大山对铅垂线角度的影响也微乎其微，直接测量偏转角度误差很大；大山不是质点，不能用万有引力定律直接计算；山的密度和山脚下的石头的密度不相等。
1.(水平1)如图是八大行星绕太阳运动的情境，关于太阳对行星的引力说法中正确的是( )
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．开普勒通过对大量行星运动数据的分析，总结得出了万有引力定律
【解析】选A。太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做圆周运动的向心力，故A项正确；它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，故B项错误；太阳对行星的引力规律是牛顿由开普勒三定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，故C、D项错误。
2．(水平1)对于万有引力定律的表达式F＝ G eq \f(m1m2,r2) ，下面说法正确的是( )
A．公式中G是常量，第一次由卡文迪什较为准确地测出来
B．当r趋近于0时，万有引力趋于无限大
C．m1与m2受到的引力若大小相等， m1与m2质量也一定相等
D．m1与m2受到的引力是一对平衡力
【解析】选A。公式中G是常量，第一次由卡文迪什较为准确地测出来，选项A正确；当r趋近于0时，万有引力定律不再适用，选项B错误；无论m1与m2质量是否相等， m1与m2受到的引力是一对相互作用力，总是大小相等，选项C错误； m1与m2受到的引力是一对相互作用力，不是平衡力，选项D错误。
3．(水平2)火星是地球的近邻，已知火星的轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍，火星的质量和半径分别约为地球的0.1倍和0.5倍，则太阳对地球的引力和太阳对火星的引力的比值为( )
A．10 B．20 C．22.5 D．45
【解析】选C。由F＝ eq \f(GMm,r2) 可得：F地＝ eq \f(GMm地,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ，F火＝ eq \f(GMm火,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(火)) ) ，则： eq \f(F地,F火) ＝ eq \f(m地r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(火)) ,m火r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ＝ eq \f(1,0.1) × eq \f(1.52,12) ＝22.5，故C项正确。
4．(水平2)事实证明，行星与恒星间的引力规律也适用于其他物体间。已知地球质量约为月球质量的81倍，宇宙飞船从地球飞往月球，当飞至某一位置时(如图)，宇宙飞船受到地球与月球引力的合力为零。问：此时飞船在空间什么位置？(已知地球与月球中心间距离是3.84×105 km)
【解析】设地球、月球和飞船的质量分别为M地、M月和m，x表示飞船到地球球心的距离，
则F月＝F地，
即 eq \f(GM地m,x2) ＝ eq \f(GM月m,（l－x）2) ，
代入数据解得x≈3.46×105 km。
答案：在地球与月球的连线上，距地球球心约3.46×105 km处
引力
规律
太阳对行
星的引力
太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F∝ eq \f(m,r2)
行星对太
阳的引力
行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F′∝ eq \f(M,r2)
太阳与行
星间的
引力
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝G eq \f(Mm,r2) ，G为比例系数，其大小与太阳和行星无关，引力的方向沿两者的连线
普遍性
宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
2．万有引力定律
一、行星与太阳间的引力
太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是作用力和反作用力。
二、月—地检验
月球绕着地球进行圆周运动，受到哪个方向的力？苹果落到地球上，又受到哪个方向的力？
提示：均受到指向地球的力。
1．猜想：维持月球绕地球运动的力与使得苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”的规律。
2．检验方法：
(1)物体在月球轨道上运动时的加速度：a＝g。
(2)月球围绕地球做匀速圆周运动的加速度：a＝。
(3)对比结果：月球在轨道高度处的加速度近似等于月球的向心加速度。
3．结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同(选填“相同”或“不同”)的规律。
三、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。
2．表达式：F＝G eq \f(m1m2,r2) 。
3．引力常量：
(1)测量者：卡文迪什。
(2)数值：G＝6.67×10－11N·m2/kg2。
某同学学习了万有引力定律后，总结出以下结论：
①行星绕太阳运动的原因是它们受到太阳的引力。
②由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。
③万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。
④引力常量是牛顿首先测出的。
⑤物体间的万有引力与它们间的距离成反比。
你的判断：正确的结论有①③。
根据万有引力定律，一切物体之间都存在这样的引力。
思考：为什么通常两个人间的万有引力我们却感受不到
提示：任意两个物体间都存在着万有引力，但由于两个人的质量一般很小(与天体质量相比)，两个人的万有引力远小于地面对物体的摩擦力，人通常感受不到。
P53【拓展学习】
实际生活中，物体之间的引力非常小，很难用实验的方法将它测量出来，因此卡文迪什巧妙地设置了扭秤实验。扭秤实验的物理方法是什么，我们还接触过哪些实验应用了这种物理方法？
提示：放大法；通过平面镜观察桌面的微小形变。
一、对太阳和行星间引力的理解
(物理观念——相互作用观念)
1．两个理想化模型：
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动。
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上。
2．推导过程：
3．太阳与行星间引力的特点：太阳与行星间引力的大小，与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比。太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向。
4．公式F＝G eq \f(Mm,r2) 的适用范围：在已有的观测结果(开普勒行星运动定律)和理论引导(牛顿运动定律)下进行推测和分析，所得出的结论不但适用于行星与太阳之间的作用力，而且对其他天体之间的作用力也适用。
【典例】(多选)下列说法正确的是( )
A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式F＝ eq \f(mv2,r) ，这个关系式实际上是牛顿第二定律，是可以在实验室中得到验证的
B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式v＝ eq \f(2πr,T) ，这个关系式实际上是匀速圆周运动的一个公式，它是由速度的定义式得来的
C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式 eq \f(r3,T2) ＝k，这个关系式是开普勒第三定律，是可以在实验室中得到证明的
D.在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的
【解析】选A、B。向心力公式是牛顿结合向心加速度公式和牛顿第二定律推导出来、并被实验验证的公式，故A项正确；公式v＝ eq \f(2πr,T) 是速度的定义式在匀速圆周运动中的表达形式，故B项正确；开普勒的三大定律是通过对行星运动的观察而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律，所以开普勒的三大定律都是在实验室中无法验证的规律，故C、D项错误。
1．牛顿发现万有引力定律的思维过程是下列的( )
A．理想实验——理论推导——实验检验
B．假想——理论推导——实验检验
C．假想——理论推导——规律形成
D．实验事实——假想——理论推导
【解析】选B。牛顿发现万有引力定律的思维过程是先假想维持月球绕地球运动的力与使苹果下落的力是同一种力，同样遵从“平方反比”定律，然后通过理论推导得到理论上的结果，最后通过实验测得的数据计算实际结果，并将两种结果加以对比，从而得出结论，故B项正确。
2．若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要验证( )
A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的 eq \f(1,602)
B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的 eq \f(1,602)
C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的 eq \f(1,6)
D．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的 eq \f(1,60)
【解析】选B。若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律——万有引力定律，则应满足G eq \f(Mm,r2) ＝ma，因此加速度a与距离r的二次方成反比，故B项正确。
【拔高题组】
1．(多选)牛顿时代的科学家们围绕万有引力的研究，经历了大量曲折顽强而又闪烁智慧的科学实践。在万有引力定律的发现历程中，下列叙述符合史实的
是( )
A．开普勒研究了第谷的行星观测记录，提出了开普勒行星运动定律
B．牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律
C．卡文迪什在实验室中准确地得出了引力常量G的数值
D．牛顿推导出了引力常量G的数值
【解析】选A、B、C。开普勒总结出了行星运动的三大规律，故A项正确；牛顿将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出了万有引力定律，故B项正确；牛顿发现了万有引力定律，卡文迪什在实验室中准确地得出了引力常量G的数值，故C项正确，D项错误。
2．(多选)在探究太阳与行星间的引力的思考中，属于牛顿的猜想的是( )
A．使行星沿圆轨道运动，需要一个指向圆心的向心力，这个力就是太阳对行星的吸引力
B．行星运动的半径越大，其做圆周运动的周期越大
C．行星运动的轨道是一个椭圆
D．任何两个物体之间都存在太阳和行星之间存在的这种类型的引力
【解析】选A、D。牛顿认为任何方式改变速度都需要力(这种力存在于任何两物体之间)，行星沿圆或椭圆运动，需要指向圆心或椭圆焦点的力，这个力是太阳对它的引力，故A、D项正确；行星运动的周期随半径的增大而增大，这是开普勒第三定律的推论，不属于牛顿的猜想，故B项错误；行星的运动轨道是一个椭圆，这是开普勒第一定律，不属于牛顿的猜想，故C项错误。
二、对万有引力定律的理解
(物理观念——相互作用观念)
李华认为两个人距离非常近时，根据公式F＝G eq \f(m1m2,r2) 得出：r→0时，F→∞ 。李华同学的想法正确吗？为什么？
提示：不正确，因为两个人距离非常近时，不能视为质点，此公式不成立。
1．对万有引力定律表达式F＝G eq \f(m1m2,r2) 的说明：
(1)引力常量G：G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义为：引力常量在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力。
(2)距离r：公式中的r是两个质点间的距离，对于质量均匀分布的球体，就是两球心间的距离。
2．F＝G eq \f(m1m2,r2) 的适用条件：
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力。
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离。
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离。
3．万有引力的特性：
两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与它们所在空间的性质无关。
【典例】有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为 eq \f(R,2) 的球体，如图所示，则剩下部分对m的万有引力F为多大(引力常量为G)。
【解题探究】
1．万有引力公式F＝G eq \f(m1m2,r2) 的适用条件是什么？
提示：适用于质点间、质量均匀球体间、质点与质量均匀球体间的万有引力。
2．题目中阴影部分怎样转化可以适用万有引力公式？
提示：挖去的部分为球体，满足万有引力公式；补全后仍为球体，满足万有引力公式。
【解析】假设将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的万有引力为F1，F1可以看作是剩余部分对质点的万有引力F与被挖小球对质点的万有引力F2的合力，即F1＝F＋F2。设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′，
由题意知M′＝ eq \f(\f(4,3)π（\f(R,2)）3,\f(4πR3,3)) M＝ eq \f(M,8) ，
r′＝R＋ eq \f(R,2) ＝ eq \f(3R,2) ，
由万有引力定律得F1＝G eq \f(Mm,（2R）2) ＝G eq \f(Mm,4R2)
F2＝G eq \f(M′m,r′2) ＝G eq \f(Mm,18R2)
故F＝F1－F2＝ eq \f(7GMm,36R2)
答案： eq \f(7GMm,36R2)
割补法在万有引力计算中的应用
一个质量均匀分布的球体与球外一个质点间的万有引力可以用公式F＝G eq \f(Mm,R2) 直接进行计算，但当球体被挖去一部分后，由于剩余部分形状不规则，公式F＝G eq \f(Mm,R2) 不再适用，此时可以用“割补法”求解万有引力。
(1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力、剩余部分所受的万有引力之间的关系。
(2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用割补法。若所割去部分不是规则球体，则不适合应用割补法。
【典例加练】如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F。如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r＝ eq \f(R,2) ，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )
A． eq \f(F,2) B． eq \f(F,8) C． eq \f(7F,8) D． eq \f(F,4)
【解析】选C。利用割补法来分析此题。原来物体间的万有引力为F，挖去半径为 eq \f(R,2) 的球的质量为原来球的质量的 eq \f(1,8) ，其他条件不变，故剩余部分对质点P的引力为F－ eq \f(F,8) ＝ eq \f(7,8) F。
1．对于质量为m1和质量为m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G eq \f(m1m2,r2) ，下列说法正确的是( )
A．m1和m2所受引力总是大小相等的
B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．当有第3个物体m3放入m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大
D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同
【解析】选A。物体间的万有引力是一对相互作用力，是同种性质的力，且始终等大反向，故A项正确，D项错误；当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力定律不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，故B项错误；物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C项错误。
2．某实心匀质球半径为R，质量为M，在球外离球面h高处有一质量为m的质点，则其受到的万有引力大小为( )
A．G eq \f(Mm,R2) B．G eq \f(Mm,（R＋h）2)
C．G eq \f(Mm,h2) D．G eq \f(Mm,R2＋h2)
【解析】选B。万有引力定律中r表示两个质点间的距离，因为匀质球可看成质量集中于球心上，所以r＝R＋h，故B项正确。
【拔高题组】
1．(多选)对于太阳与行星间的引力表达式F＝G eq \f(Mm,r2) ，下列说法正确的是( )
A．公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
B．太阳、行星彼此受到的引力总是大小相等
C．太阳、行星彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于0，太阳和行星都处于平衡状态
D．太阳、行星彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
【解析】选A、B、D。公式中的G为比例系数，与太阳、行星均没有关系，A正确；太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力与反作用力，不能进行合成，故B、D项正确，C项错误。
2．(多选)要使两个物体之间的万有引力减小到原来的 eq \f(1,4) ，可采用的方法是( )
A．使两物体之间的距离增至原来的2倍，质量不变
B．使两物体的质量各减少一半，距离保持不变
C．使其中一个物体的质量减为原来的 eq \f(1,4) ，距离保持不变
D．使两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的 eq \f(1,4)
【解析】选A、B、C。根据F＝G eq \f(m1m2,r2) 可知，当两物体质量不变，距离增至原来的2倍时，两物体间的万有引力F′＝ eq \f(Gm1m2,（2r）2) ＝ eq \f(1,4) · eq \f(Gm1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) F，故A项正确；当两物体的距离保持不变，质量各减少一半时，万有引力F′＝ eq \f(G·\f(1,2)m1×\f(1,2)m2,r2) ＝ eq \f(1,4) · eq \f(Gm1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) F，故B项正确；当只有一个物体的质量减为原来的 eq \f(1,4) 时，万有引力F′＝ eq \f(G·\f(1,4)m1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) · eq \f(Gm1m2,r2) ＝ eq \f(1,4) F，故C项正确；当两物体的质量及它们之间的距离都减为原来的 eq \f(1,4) 时，万有引力F′＝ eq \f(G·\f(1,4)m1×\f(1,4)m2,（\f(1,4)r）2) ＝ eq \f(Gm1m2,r2) ＝F，故D项错误。
【拓展例题】考查内容：万有引力与平抛运动综合问题
【典例】航天员站在某一星球，从距离星球表面h高度处，以初速度v0沿水平方向抛出一个小球，经过时间t后小球落到星球表面，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求：
(1)该星球表面重力加速度g的大小。
(2)该星球的质量。
【解析】(1)由平抛运动的知识知，在竖直方向小球做自由落体运动，h＝ eq \f(1,2) gt2，所以g＝ eq \f(2h,t2) 。
(2)在星球表面，物体的重力和所受的万有引力相等。故有：mg＝G eq \f(Mm,R2) ，所以M＝ eq \f(gR2,G) ＝ eq \f(2hR2,Gt2)
答案：(1) eq \f(2h,t2) (2) eq \f(2hR2,Gt2)
测量引力常量的先驱——马斯基林与“称山实验”
牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中提出过一种测量引力常量G的方法：一根挂在大山附近的铅垂线，会同时受到地球的吸引力和大山的吸引力，从而向稍微朝着大山的方向倾斜。只要精准地测量出铅垂线倾斜的角度以及大山的质量，便可以计算万有引力常量。
在这个理论的指导下，英国人马斯基林开始对位于苏格兰的一座大山进行测量。他测量出了山上尽可能多的位置的高度，然后用这些数据勾勒出大山的形状，并且计算出大山的体积。为方便起见，马斯基林在山脚下捡了一块石头，假设这个石头的密度与山的密度相等，这样，一座山的质量便称量完成。
虽然马斯基林的测量艰辛而又认真(有些点的高度他甚至测量了几十遍)，然而这个实验的结果却并不尽如人意。引力常量的测量结果与实际值相差悬殊，推导出的其他结论也都不符合实际情况。人类测量引力常量的早期实验最终以失败而告终。
那么，大家思考一下，为什么马斯基林的实验出现了如此大的误差呢？
解释：万有引力常量极小，即使是大山对铅垂线角度的影响也微乎其微，直接测量偏转角度误差很大；大山不是质点，不能用万有引力定律直接计算；山的密度和山脚下的石头的密度不相等。
1.(水平1)如图是八大行星绕太阳运动的情境，关于太阳对行星的引力说法中正确的是( )
A．太阳对行星的引力等于行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间的距离成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．开普勒通过对大量行星运动数据的分析，总结得出了万有引力定律
【解析】选A。太阳对行星的引力等于行星围绕太阳做圆周运动的向心力，故A项正确；它的大小与行星和太阳质量的乘积成正比，与行星和太阳间的距离的平方成反比，故B项错误；太阳对行星的引力规律是牛顿由开普勒三定律、牛顿运动定律和匀速圆周运动规律推导出来的，故C、D项错误。
2．(水平1)对于万有引力定律的表达式F＝ G eq \f(m1m2,r2) ，下面说法正确的是( )
A．公式中G是常量，第一次由卡文迪什较为准确地测出来
B．当r趋近于0时，万有引力趋于无限大
C．m1与m2受到的引力若大小相等， m1与m2质量也一定相等
D．m1与m2受到的引力是一对平衡力
【解析】选A。公式中G是常量，第一次由卡文迪什较为准确地测出来，选项A正确；当r趋近于0时，万有引力定律不再适用，选项B错误；无论m1与m2质量是否相等， m1与m2受到的引力是一对相互作用力，总是大小相等，选项C错误； m1与m2受到的引力是一对相互作用力，不是平衡力，选项D错误。
3．(水平2)火星是地球的近邻，已知火星的轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍，火星的质量和半径分别约为地球的0.1倍和0.5倍，则太阳对地球的引力和太阳对火星的引力的比值为( )
A．10 B．20 C．22.5 D．45
【解析】选C。由F＝ eq \f(GMm,r2) 可得：F地＝ eq \f(GMm地,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ，F火＝ eq \f(GMm火,r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(火)) ) ，则： eq \f(F地,F火) ＝ eq \f(m地r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(火)) ,m火r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(地)) ) ＝ eq \f(1,0.1) × eq \f(1.52,12) ＝22.5，故C项正确。
4．(水平2)事实证明，行星与恒星间的引力规律也适用于其他物体间。已知地球质量约为月球质量的81倍，宇宙飞船从地球飞往月球，当飞至某一位置时(如图)，宇宙飞船受到地球与月球引力的合力为零。问：此时飞船在空间什么位置？(已知地球与月球中心间距离是3.84×105 km)
【解析】设地球、月球和飞船的质量分别为M地、M月和m，x表示飞船到地球球心的距离，
则F月＝F地，
即 eq \f(GM地m,x2) ＝ eq \f(GM月m,（l－x）2) ，
代入数据解得x≈3.46×105 km。
答案：在地球与月球的连线上，距地球球心约3.46×105 km处
引力
规律
太阳对行
星的引力
太阳对不同行星的引力，与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F∝ eq \f(m,r2)
行星对太
阳的引力
行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，即F′∝ eq \f(M,r2)
太阳与行
星间的
引力
太阳与行星间引力的大小与太阳的质量、行星的质量成正比，与两者距离的二次方成反比，即F＝G eq \f(Mm,r2) ，G为比例系数，其大小与太阳和行星无关，引力的方向沿两者的连线
普遍性
宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着相互吸引的力
相互性
两个有质量的物体之间的万有引力是一对作用力和反作用力
宏观性
地面上的一般物体之间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用
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