苏科版九年级上册数学圆压轴专题讲义：与圆有关的线段最值问题类问题探究（教师版+学生版）学案

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线段最值问题是指在一定条件下，求线段长度的最大值或最小值，求线段最值问题的基本方法有：
特殊位置与极端位置法，往往先考虑特殊位置或极端位置，确定相应位置时的数值，再进行一般情形下的推证；
几何定理法，应用几何中的不等量性质，定理，比如“三边关系”或“将军饮马”问题
数形结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，建立方程或函数来进行处理；
轨迹法：探寻动点轨迹而求最值，往往又会涉及到几何定理法和数形结合法的运用
下面我们就有关圆环境下的线段最值类问题进行探讨：
知识点睛
如下图，点P在⊙O上运动，在圆上找一点P使得PA最小（大）．
如图，当P为OA连线与⊙O交点时，PA最小， 当P在AO延长线与⊙O交点P′时，PA最大.
说明：在部分习题中，题目很少直接告诉我们动点轨迹是个圆，也很少把这个圆画出来，因此，结合题目给的条件，依据定弦定角定圆（弧）或者依据定点定长定圆分析出动点的轨迹图形，作出动点所在的圆（或一段弧）将是我们面临的最大的问题．在明确定了动点的轨迹为圆的基础下，我们再来处理求最大最小值类的线段最值的问题.
【小结】
几何中的最值问题变幻无穷,尝试在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“点的运动轨迹”等知识源, 进行“化折为直”，实现问题的转化与解决.
典例剖析
类型一：动点在明圆上运动产生的线段最值
例1．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的差是（ ）
A．6B．2+1C．9D．7
【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，根据三角形的中位线求出OP1及半径OE，即可求出P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，由此得到答案.
类型二：动点在隐圆上运动产生的线段最值
例2．如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为 ．
【分析】连接CN，根据CM是⊙O的直径，得到∠CNM＝90°，根据邻补角的定义得到∠CNB＝90°，根据圆周角定理得到点N在以BC为直径的⊙O′上，推出当点O′、N、A共线时，AN最小，如图2，根据勾股定理即可得到结论．
强化练习一：明圆上的线段最值
1．如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，求P点的坐标为___________.
2．如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的一动点，过P作PA⊥PB， A、B都在x轴上，且关于原点O对称，则AB的最小值为________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 ．

4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_______________.
5、如图，已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB.则△PAB面积的最大值是________________.
6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，以点A为圆心，1为半径作圆，E是⊙A上的任意一点，将点E绕点D按逆时针方向旋转90°得到点F，则线段AF的长的最小值
2﹣1 ．
7．如图，平面直角坐标系中，点A（﹣4，0），点E （4，0），以AO为直径作⊙D，点G是⊙D上一动点，以EG为腰向下作等腰直角三角形EGF，连接DF，则DF的最大值是_____．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，，经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别交于点D、E，则线段DE长度的最小值是_____．
9．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，以A为圆心，1为半径画圆，E是⊙A上一动点，P是BC上的一动点，则PE+PD的最小值是 ．
强化练习二：隐圆上的最值
1．如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP，AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）
A．2B．3C．D．3
2.如图，点D在半圆O上，半径OB=61，AD=10，点C在DB上移动，连接AC，H是AC上一点，∠DHC=90°，连接BH，点C在移动的过程中，BH的最小值是（ ）.
A.5 B.6 C.7 D.8
3．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为( ) .
A．3B．1+C．1+3D．1+
4．如图，以线段AB为边分别作直角三角形ABC和等边三角形ABD，其中∠ACB=90°.连接CD，当CD的长度最大时，此时∠CAB的大小是（ ）
A．75° B．45° C．30° D．15°
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=23，Q为AC上的动点，P为Rt△ABC内一动点，且满足∠APB=120°，若D为BC的中点，则PQ+DQ的最小值是（ ）
A．43 -4 B．43 C．4 D．43+4
6. （2019年十堰市）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝ ．
7．如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是_______．
8．如图，△ABC中，，，，是上一个动点，以为直径的交于，则线段的最小值是________．
9.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，连AP，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为
10．如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC＝6，则点O到AC距离的最大值为_____．
11．（2019年锦州市）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是 ．
12．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，P 是边 AB 上的动点（不与点 B 重合），将△BCP 沿 CP 所在的直线翻折，得到△B＇CP，连接 B＇A，B＇A 长度的最小值是 m，B＇A 长度的最大值是 n，则 m+n 的值等于 ______．

13.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，6），点B（4，3），P是x轴上的一个动点．作OQ⊥AP，垂足为Q，则点Q到直线AB的距离的最大值为_____．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M是BC上一点，且BM＝4，点P是边AB上一动点，连接PM，将△BPM沿PM翻折得到△DPM，点D与点B对应，连接AD，则AD的最小值为_____．
15．平面直角坐标系中，A（0，3），B（4，0），C（﹣1，﹣1），点 P 线段 AB上一动点，将线段 AB 绕原点 O 旋转一周，点 P 的对应点为 P′，则 P′C 的最大值为_____，最小值为_____．
16.如图，在平面直角坐标系中，点A，点B分别是x轴正半轴和直线y=x（x＞0）上的动点，以AB为边在右侧作矩形ABCD，AB=2，BC=1．
（1）若OA=6时，则△ABO的面积是 ；
（2）若点A在x轴正半轴移动时，则CO的最大距离是 ．
17．矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E在线段AB上．点F在线段AD上
（1）沿EF折叠，使A落在CD边上的G处（如图），若DG＝3，求AF的长；求AE的长；
（2）若按EF折叠后，点A落在矩形ABCD的CD边上，请直接写出AF的范围．
18．在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，23），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α．
（1）如图1，A'B'恰好经过点A时，求此时旋转角α的度数，并求出点B'的坐标；
（2）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，求证：AA'⊥BB'；
（3）若0°＜α＜360°，求（2）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．