2022版新高考数学人教版一轮学案：高考大题规范解答系列（六）——概率与统计

这是一份2022版新高考数学人教版一轮学案：高考大题规范解答系列（六）——概率与统计，共15页。学案主要包含了标准答案，评分细则，名师点评等内容，欢迎下载使用。
例1 (2021·山西联考)已知甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅装有三个白球，球除颜色外完全相同．现从甲盒中任取三个球放入乙盒中．
(1)求乙盒中红球个数X的分布列与期望；
(2)求从乙盒中任取一球是红球的概率．
【标准答案】——规范答题 步步得分
(1)由题意知X的可能取值为0,1,2,3.
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,3),C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，2分eq \x(得分点①)
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,3),C\\al(3,6))＝eq \f(9,20)，P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(0,3),C\\al(3,6))＝eq \f(1,20)，4分eq \x(得分点②)
所以X的分布列为
5分eq \x(得分点③)
所以E(X)＝0×eq \f(1,20)＋1×eq \f(9,20)＋2×eq \f(9,20)＋3×eq \f(1,20)＝eq \f(3,2).6分eq \x(得分点④)
(2)当乙盒中红球个数为0时，P1＝0，7分eq \x(得分点⑤)
当乙盒中红球个数为1时，P2＝eq \f(9,20)×eq \f(1,6)＝eq \f(3,40)，8分eq \x(得分点⑥)
当乙盒中红球个数为2，P3＝eq \f(9,20)×eq \f(2,6)＝eq \f(3,20)，9分eq \x(得分点⑦)
当乙盒中红球个数为3时，P4＝eq \f(1,20)×eq \f(3,6)＝eq \f(1,40)，10分eq \x(得分点⑧)
所以从乙盒中任取一球是红球的概率为P1＋P2＋P3＋P4＝eq \f(1,4).12分eq \x(得分点⑨)
【评分细则】
(1)第一问中，正确算出P(X＝0)，P(X＝1)，P(X＝2)，P(X＝3)各得1分，列出分布列得1分，求出期望得1分．
(2)第二问中，分类讨论，每种情况各占1分．
(3)其他方法按步骤酌情给分．
例2 (2019·课标Ⅰ，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈，则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
①证明：{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；
②求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
【标准答案】——规范答题 步步得分
(1)X的所有可能取值为－1,0,1.
P(X＝－1)＝(1－α)β，
P(X＝0)＝αβ＋(1－α)·(1－β)，
P(X＝1)＝α(1－β)．
所以X的分布列为
4分eq \x(得分点①)
(2)①由(1)得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.5分eq \x(得分点②)
因此pi＝0.4Pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1，
故0.1(pi＋1－pi)＝0.4(pi－pi－1)，
即pi＋1－pi＝4(pi－pi－1).6分eq \x(得分点③)
又因为p1－p0＝p1≠0，
所以{pi＋1－pi}(i＝0,1,2，…，7)是公比为4，首项为p1的等比数列.7分eq \x(得分点④)
②由①可得
p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0
＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋…＋(p1－p0)＝eq \f(48－1,3)p1.
由于p8＝1，故p1＝eq \f(3,48－1)，
所以p4＝(p4－p3)＋(p3－p2)＋(p2－p1)＋(p1－p0)
＝eq \f(44－1,3)p1＝eq \f(1,257).10分eq \x(得分点⑤)
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝eq \f(1,257)≈0.003 9，11分eq \x(得分点⑥)
此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.12分eq \x(得分点⑦)
【评分细则】
①每个式子1分，表格1分；给出X的可能取值给1分；
②得出a、b、c的值(有正确的)得1分；
③得到Pi＋1－Pi＝4(Pi－Pi－1)得1分；
④给出结论得1分；
⑤得出P8，P4，P1的表达式各得1分；
⑥说明P4非常小得1分；
⑦说明实验方案合理得1分．
【名师点评】
1．核心素养：本题主要考查相互独立事件的概率、随机变量的期望、方差的应用、二项分布、决策问题等，考查数据处理能力、运算求解能力，考查或然与必然思想，考查的核心素养的逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析．
2．解题技巧：破解此类题的关键：一是认真读题，读懂题意；二是会利用导数求最值；三是会利用公式求服从特殊分布的离散型随机变量的期望值；四是会利用期望值，解决决策型问题．
〔变式训练1〕
(2021·湖南五市十校教研教改共同体联考)某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题(共5题)和选答题(共2题)两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为eq \f(4,5)，答对每道选答题的概率为eq \f(2,5).
(1)求甲恰好答对4道必答题的概率；
(2)在选答阶段，若选择回答且答对奖励5分，答错扣2分，选择放弃回答得0分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为eq \f(1,2)，试求甲同学在选答题阶段，得分X的分布列．
[解析] (1)甲恰好答对4道必答题的概率为
P＝Ceq \\al(4,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))4×eq \f(1,5)＝eq \f(256,625).
(2)依题意，每道题选择回答并答对的概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(1,5)，
选择回答且答错的概率为eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＝eq \f(3,10)，
选择放弃回答的概率为eq \f(1,2).
甲得分的可能性为－4分，－2分，0分，3分，5分和10分．
所以P(X＝－4)＝eq \f(9,100)，
P(X＝－2)＝Ceq \\al(1,2)eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＝eq \f(3,10)，
P(X＝0)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，
P(X＝3)＝Ceq \\al(1,2)eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(3,25)，
P(X＝5)＝Ceq \\al(1,2)eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(1,5)，
P(X＝10)＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))2＝eq \f(1,25).
所以X的分布列为
考点二 线性回归分析
例3 (2018·全国2)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资y(单位：亿元)的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，17)建立模型①；eq \(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t，根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2，…，7)建立模型②：eq \(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t.
(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
【分析】 (1)模型①中取t＝19，模型②中取t＝9，求出对应的函数值即可；(2)利用所给折线图中数据的增长趋势，加以分析即可．
【标准答案】——规范答题 步步得分
(1)利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
eq \(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).3分eq \x(得分点①)
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
eq \(y,\s\up6(^))＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).6分eq \x(得分点②)
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
8分eq \x(得分点③)
理由如下：
(i)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y＝－30.4＋13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型eq \(y,\s\up6(^))＝99＋17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
12分eq \x(得分点④)
【评分细则】
①根据模型①求出预测值给3分；
②根据模型②求出预测值给3分；
③判断模型②得到的预测值更可靠给2分；
④作出正确的判断，写出合理理由，给4分；
【名师点评】
1．核心素养：本题主要考查线性回归方程的实际应用，考查考生的应用意识，分析问题与解决问题的能力以及运算求解能力，考查数学的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算．
2．解题技巧：统计中涉及的图形较多、常见的有条形统计图、折线图、茎叶图、频率分布直方图、应熟练地掌握这些图形的特点，提高识图与用图的能力．
〔变式训练2〕
(2021·安徽蚌埠质检)经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x(0