数学第三章 不等式综合与测试教学设计

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【例1】 设关于x的一元二次方程ax2＋x＋1＝0(a>0)有两个实根x1，x2，求证：x1<－1且x2<－1.
[证明] 令f(x)＝ax2＋x＋1(a>0)，
由Δ＝1－4a≥0，得0<2a≤eq \f(1,2)，∴－eq \f(1,2a)≤－2<－1，
∴抛物线f(x)的对称轴x＝－eq \f(1,2a)在直线x＝－1的左侧，
∴函数f(x)的图像与x轴交点中左侧的一个在直线x＝－1的左侧．又f(－1)＝a－1＋1＝a>0，
∴交点中右侧的那个也在直线x＝－1的左侧．
而函数f(x)与x轴交点的横坐标分别为方程ax2＋x＋1＝0的两根x1，x2，∴x1<－1且x2<－1.
对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问题：①相应的二次函数图像及与x轴的交点，②相应的一元二次方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程的实根(相应的二次函数的图像及与x轴的交点)．
1．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m＝________.
2 [因为ax2－6x2＋a2<0的解集是(1，m)，所以1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的根，
且m>1⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>1，,1＋m＝\f(6,a)，,1·m＝a))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝2，,a＝2.))]
【例2】 已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x∈[1,3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
[解] (1)①若m＝0，原不等式可化为－1<0，显然恒成立；
②若m≠0，则不等式mx2－mx－1<0 恒成立⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，))解得－4综上可知，实数m的取值范围是(－4,0]．
(2)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1,3]不等式恒成立，只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1<0，,f3<0))即可，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1＝－1<0，,f3＝9m－3m－1<0，))解得m③当m<0时，函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝eq \f(1,2)，若x∈[1,3]时不等式恒成立，结合函数图象(图略)知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,6))).
(3)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，
若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g－2<0，,g2<0，)) 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2－x－1<0，,2x2－x－1<0，))解得eq \f(1－\r(3),2)∴实数x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2))).
对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下几种
(1)变更主元法：
根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元．
(2)分离参数法：
若f(a)若f(a)>g(x)恒成立，则f(a)>g(x)max.
(3)数形结合法：
利用不等式与函数的关系将恒成立问题通过函数图像直观化．
2．(1)已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≤0，,－x2－2x＋3，x>0，))不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0,2)D．(－2,0)
A [因为f(x)为R上的减函数，故f(x＋a)>f(2a－x)⇔x＋a<2a－x，从而2x(2)若函数f(x)＝eq \r(kx2－6kx＋k＋8)的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
[0,1] [由题意知，
kx2－6kx＋(k＋8)≥0的解集为R.
①当k＝0时，8≥0成立．
②当k≠0时，上述不等式成立的充要条件是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝36k2－4kk＋8≤0.))
解得0综上，k的取值范围是[0,1]．]
【例3】 两类药片有效成分如下表所示，若要求至少提供12毫克阿司匹林，70毫克小苏打，28毫克可待因，问两类药片最小总数是多少？怎样搭配价格最低？
[解] 设A，B两种药品分别为x片和y片(x，y∈N)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y≥12，,5x＋7y≥70，,x＋6y≥28，,x≥0，,y≥0，))两类药片的总数为z＝x＋y，两类药片的价格和为k＝0.1x＋0.2y.
如图所示，作直线l：x＋y＝0，
将直线l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上一点A，且与原点最近．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝12，,5x＋7y＝70，))
得交点A坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(14,9)，\f(80,9))).
由于A不是整点，因此不是z的最优解，结合图形可知，经过可行域内整点且与原点距离最近的直线是x＋y＝11，经过的整点是(1,10)，(2,9)，(3,8)，因此z的最小值为11.药片最小总数为11片．同理可得，当x＝3，y＝8时，k取最小值1.9，因此当A类药品3片、B类药品8片时，药品价格最低．
解线性规划问题的一般步骤
(1)列：设出未知数，列出约束条件，确定目标函数．
(2)画：画出线性约束条件所表示的可行域．
(3)移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线．
(4)求：通过解方程组求出最优解．
(5)答：作出答案．
3．已知－1≤x＋y≤4且2≤x－y≤3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示)．
[3,8] [作出不等式组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＋y≤4，,2≤x－y≤3))表示的可行域，如图中阴影部分所示．
在可行域内平移直线2x－3y＝0，
当直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3,1)时，目标函数有最小值zmin＝2×3－3×1＝3；
当直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，目标函数有最大值zmax＝2×1＋3×2＝8，所以z∈[3,8]．]
[探究问题]
1．利用不等式eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的条件是什么？
[提示] 一正：即a＞0，b＞0；二定：a＋b为定值，ab有最大值；ab为定值，a＋b有最小值；三相等．当且仅当a＝b时等号成立，三者缺一不可．
2．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，求xy的最大值，你有几种思路解决这个问题？
[提示] 法一(直接应用不等式)：xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝eq \f(1,4)，
当x＝y＝eq \f(1,2)时等号成立．
法二(消元法)：由x＋y＝1得y＝1－x，
则xy＝x(1－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq \f(1,4)，当x＝eq \f(1,2)时等号成立．
法三(函数法)：由x＋y＝1得y＝1－x，
则xy＝x(1－x)＝－x2＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)≥eq \f(1,4)，
当x＝eq \f(1,2)时等号成立．
【例4】 已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是( )
A．3 B．4
C．eq \f(9,2)D．eq \f(11,2)
思路探究：法一：通过分解因式，配凑出含x＋1与2y＋1的积的定值，利用基本不等式求解．
法二：利用条件，用x表示y代入x＋2y，配凑出积的定值，利用基本不等式求解．
法三：在条件x＋2y＋2xy＝8中配凑出双变量x与2y，利用基本不等式消去2xy，然后解二次不等式可解．
B [法一：依题意得，x＋1＞1,2y＋1＞1，易知(x＋1)·(2y＋1)＝9，则(x＋1)＋(2y＋1)≥2eq \r(x＋12y＋1)＝2eq \r(9)＝6，当且仅当x＋1＝2y＋1＝3，即x＝2，y＝1时，等号成立，因此有x＋2y≥4，所以x＋2y的最小值为4.
法二：由题意得，x＝eq \f(8－2y,2y＋1)＝eq \f(－2y＋1＋9,2y＋1)＝－1＋eq \f(9,2y＋1)，
∴x＋2y＝－1＋eq \f(9,2y＋1)＋2y＝－1＋eq \f(9,2y＋1)＋2y＋1－1≥2eq \r(\f(9,2y＋1)·2y＋1)－2＝4，
当且仅当2y＋1＝3，
即y＝1时，等号成立．
法三：由x＋2y＋2xy＝8得x＋2y＋eq \f(1,4)(x＋2y)2≥x＋2y＋2xy＝8，即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，
所以[(x＋2y)＋8][(x＋2y－4)]≥0，
因为x＞0，y＞0，
所以x＋2y－4≥0，即x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时等号成立．]
1．(变结论)例4的条件不变，求xy的最大值．
[解] 因为x＋2y≥2eq \r(2xy)，且x＋2y＋2xy＝8，
所以2eq \r(2)eq \r(xy)＋2xy≤8，即(eq \r(xy))2＋eq \r(2)eq \r(xy)－4≤0
故(eq \r(xy)＋2eq \r(2))(eq \r(xy)－eq \r(2))≤0，又eq \r(xy)＞0，故eq \r(xy)－eq \r(2)≤0.
所以xy≤2，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．即xy的最大值为2.
2．(变条件)例4的条件变为：已知x＞0，y＞0，x＋2y－xy＝0，求x＋2y的最小值．
[解] 由x＋2y－xy＝0得x＋2y＝xy，eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝1，
故x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝4＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)≥4＋2eq \r(\f(4y,x)×\f(x,y))＝8，
当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝4，y＝2时等号成立．
利用基本不等式求最值的方法
(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．
(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．
(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．
三个二次间的关系
不等式的恒成立问题
简单线性规划问题
成分
种类
阿司匹林
小苏打
可待因
每片价格(元)
A(毫克/片)
2
5
1
0.1
B(毫克/片)
1
7
6
0.2
利用基本不等式求最值