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2022届新高考数学人教版一轮课件：第八章 第二节 两直线的位置关系
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这是一份2022届新高考数学人教版一轮课件：第八章 第二节 两直线的位置关系，共44页。PPT课件主要包含了k1＝k2，k1·k2＝－1，唯一解，无数个解等内容，欢迎下载使用。
知识点一 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2 ．
(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 ．
相交⇔方程组有 ，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组 ；重合⇔方程组有 ．• 温馨提醒 •两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝( )A．1B．2 C．3D．43．(易错题)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )A．2B．－3 C．2或－3D．3
• 温馨提醒 •运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．
题型一 两直线的位置关系 自主探究1．(2021·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2021·衡水中学一调)直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝( )A．－7或－1 B．－7 C．7或1D．－1
两直线位置关系的三种判断方法
2．过点P(3，－1)引直线，使点A(2，－3)，B(4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为( )A．x＝3B．4x－y－13＝0C．4x＋y＋13＝0D．x＝3或4x－y－13＝0
4．(2021·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )A．[0,10]B．(0,10)C．[0,5]D．[5,10]
距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
题型三 对称问题 多维探究 对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称.考法(一) 点关于点对称[例1] 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
[解析] 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为：x＋4y－4＝0.
考法(二) 点关于线对称[例2] (2021·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.
考法(三) 线关于线对称[例3] 已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0
线关于线的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解.
[对点训练]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
数学运算——直线系方程的应用1．平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
[例1] 求与直线3x＋4y＋5＝0平行且过点(2,3)的直线l的方程．
先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1.
2．垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．[例2] 求经过A(2,4)，且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线l的方程．[答案] x－2y＋6＝0
先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.
3．过直线交点的直线系[例3] 过直线x＋2y＋1＝0与直线2x－y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)，其中不包括直线l2.
1.过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为直线的斜率)或A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A、B不同时为0)．2．求直线系过定点问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标．特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点．
[题组突破]1．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是________．答案：x－2y±4＝0
知识点一 两直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔ .特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2 ．
(2)两条直线垂直如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔ ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 ．
相交⇔方程组有 ，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组 ；重合⇔方程组有 ．• 温馨提醒 •两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．
1．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则实数m的值为( )A．0 B．－8 C．2 D．10
2．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝( )A．1B．2 C．3D．43．(易错题)直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )A．2B．－3 C．2或－3D．3
• 温馨提醒 •运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x，y的系数分别相等这一条件，盲目套用公式导致出错．
题型一 两直线的位置关系 自主探究1．(2021·济南模拟)“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．(2021·衡水中学一调)直线l1：(3＋a)x＋4y＝5－3a和直线l2：2x＋(5＋a)y＝8平行，则a＝( )A．－7或－1 B．－7 C．7或1D．－1
两直线位置关系的三种判断方法
2．过点P(3，－1)引直线，使点A(2，－3)，B(4,5)到它的距离相等，则这条直线的方程为( )A．x＝3B．4x－y－13＝0C．4x＋y＋13＝0D．x＝3或4x－y－13＝0
4．(2021·广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )A．[0,10]B．(0,10)C．[0,5]D．[5,10]
距离问题的常见题型及解题策略(1)求两点间的距离．关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可．(2)解决与点到直线的距离有关的问题．应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在．
(3)求两条平行线间的距离．要先将直线方程中x，y的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解．也可以转化成点到直线的距离问题．
题型三 对称问题 多维探究 对称问题是高考常考内容之一，也是考查转化能力的一种常见题型．常见的命题角度有：(1)点关于点对称；(2)点关于线对称；(3)线关于线对称.考法(一) 点关于点对称[例1] 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
[解析] 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以由两点式得直线l的方程为：x＋4y－4＝0.
考法(二) 点关于线对称[例2] (2021·长沙一调)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
解决点关于直线对称的问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直.
考法(三) 线关于线对称[例3] 已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是( )A．x－2y＋1＝0 B．x－2y－1＝0C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0
线关于线的对称的求解方法(1)若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．(2)若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴对称的对称点，最后由两点式求解.
[对点训练]已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
数学运算——直线系方程的应用1．平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系．
[例1] 求与直线3x＋4y＋5＝0平行且过点(2,3)的直线l的方程．
先设与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由其他条件求C1.
2．垂直直线系由于直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件为A1A2＋B1B2＝0，因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必然的联系，可以考虑用直线系方程求解．[例2] 求经过A(2,4)，且与直线2x＋y－1＝0垂直的直线l的方程．[答案] x－2y＋6＝0
先设与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.
3．过直线交点的直线系[例3] 过直线x＋2y＋1＝0与直线2x－y＋1＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数)，其中不包括直线l2.
1.过定点(x0，y0)的直线系方程为y－y0＝k(x－x0)(k为直线的斜率)或A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A、B不同时为0)．2．求直线系过定点问题的常用方法恒等式法：将直线方程化为参数的恒等式形式，利用参数取值的任意性，得关于x，y的方程组求出定点坐标．特殊直线法：给出任意两个参数值，得到两条直线，求其交点即为定点．
[题组突破]1．与直线x－2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是________．答案：x－2y±4＝0
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