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2022届新高考数学人教版一轮课件：第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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这是一份2022届新高考数学人教版一轮课件：第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系，共43页。PPT课件主要包含了d＜r，Δ＝0，ABC等内容，欢迎下载使用。
• 温馨提醒 •与圆的切线有关的结论(1)与圆x2＋y2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．(易错题)已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
知识点二 圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
• 温馨提醒 •1.两相交圆的公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0 ③，方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
2．过已知两圆交点的圆系方程过已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(不含圆C2)，其中λ为参数且λ≠－1.
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )A．1条B．2条 C．3条D．4条
题型一 直线与圆的位置关系 自主探究1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离D．不确定
3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4
判断直线与圆的位置关系的两大策略(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
题型二 直线与圆的位置关系的应用 多维探究考法(一) 切线问题[例1] (1)(多选题)过点A(3,1)且与圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程可能为( )A．y＝1 B．x＝3C．x＝－3D．y＝－1
(2)(2021·八省联考模拟卷)已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )A．x＋2y＋1＝0B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0D．x＋3y＋2＝0
圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得
考法(二) 弦长问题[例2] (1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2021·哈尔滨模拟)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.答案：－2
题型三 圆与圆的位置关系 合作探究[例] 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[对点训练] (多选题)(2021·山东泰安期中)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b
解析：由题意，圆C2的方程可化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A、B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C正确，选项D不正确．
数学运算——直线与圆位置关系的综合应用[例] (2019·高考全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
[解析] (1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有：(1)直接计算或证明，如本题第(2)问的证明；(2)先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足；(3)先设后求，即先设出定值，再利用待定系数法求解．
• 温馨提醒 •与圆的切线有关的结论(1)与圆x2＋y2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2相切于点P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则过A、B两点的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
3．(易错题)已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3,1)作圆C的切线，则切线方程为________．答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
知识点二 圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R，r，R＞r，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
• 温馨提醒 •1.两相交圆的公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 ①，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0 ②，若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0 ③，方程③表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程．
2．过已知两圆交点的圆系方程过已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(不含圆C2)，其中λ为参数且λ≠－1.
1．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )A．1条B．2条 C．3条D．4条
题型一 直线与圆的位置关系 自主探究1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )A．相交 B．相切C．相离D．不确定
3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4
判断直线与圆的位置关系的两大策略(1)若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法．(2)若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较烦琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．
题型二 直线与圆的位置关系的应用 多维探究考法(一) 切线问题[例1] (1)(多选题)过点A(3,1)且与圆(x－2)2＋y2＝1相切的直线方程可能为( )A．y＝1 B．x＝3C．x＝－3D．y＝－1
(2)(2021·八省联考模拟卷)已知抛物线y2＝2px上三点A(2,2)，B，C，直线AB，AC是圆(x－2)2＋y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为( )A．x＋2y＋1＝0B．3x＋6y＋4＝0C．2x＋6y＋3＝0D．x＋3y＋2＝0
圆的切线方程的求法(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得
考法(二) 弦长问题[例2] (1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2021·哈尔滨模拟)已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线x－ay＋1＝0平行，则a＝________.答案：－2
题型三 圆与圆的位置关系 合作探究[例] 已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
[对点训练] (多选题)(2021·山东泰安期中)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有( )A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝aD．y1＋y2＝2b
解析：由题意，圆C2的方程可化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2,2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A、B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C正确，选项D不正确．
数学运算——直线与圆位置关系的综合应用[例] (2019·高考全国卷Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
[解析] (1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上．由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.由已知得|AO|＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.
求解与圆有关的定值问题时，常使用的方法有：(1)直接计算或证明，如本题第(2)问的证明；(2)先特殊后一般，即先利用特殊情况得到定值，再证明一般情况也满足；(3)先设后求，即先设出定值，再利用待定系数法求解．
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