2022届新高考数学人教版一轮课件：第二章 第八节　函数与方程及应用

这是一份2022届新高考数学人教版一轮课件：第二章 第八节　函数与方程及应用，共42页。PPT课件主要包含了fx＝0，ABC等内容，欢迎下载使用。

知识点一　函数的零点1．函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使 的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 有交点⇔函数y＝f(x) ．
2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：(1)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；(2) .则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
f(a)·f(b)＜0
• 温馨提醒 •二级结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
必明易错1．函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)＝0的根，也是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．
2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是________．答案：13．若二次函数f(x)＝x2－2x＋m在区间(0,4)上存在零点，则实数m的取值范围是________．答案：(－8,1]
4．(易错题)给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)＜0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．
知识点二　函数模型及应用指数、对数、幂函数模型性质比较
1．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝lg2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　)A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)
2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________．
题型一　函数零点个数或所在区间的判定　　自主探究1．(2019·高考全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)A．2　　　　　　　　B．3C．4D．5
解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，又f(－3)·f(6)＜0，所以f(3)·f(6)＜0.又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，且f(3)＜0，f(6)＞0，所以函数f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上有两个零点．但是f(0)的值没有确定，所以函数f(x)可能有三个零点，故A正确；又f(－4)＝f(4)，4∈(3,6)，所以f(－4)的符号不确定，故B不正确；C项显然正确；由于f(0)的值没有确定，所以f(0)与f(－6)的大小关系不确定，所以D不正确．
1.判断函数零点个数的三种方法(1)解方程法：若对应方程f(x)＝0可解，通过解方程，则方程有几个解就对应有几个零点．(2)函数零点的存在性定理法：利用定理不仅要判断函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数的零点个数．
(3)数形结合法：合理转化为两个函数的图象(易画出图象)的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数就是函数零点的个数．
2.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，其次看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
1.与幂函数、指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型(底数大于1)是增长速度越来越快的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．2．在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
[对点训练]　某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
(一)直观想象——数形结合思想在已知函数零点或方程根确定参数范围中的应用
已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数范围.(2)分离参数法：先将参数分离，化为a＝g(x)的形式，进而转化成求函数最值问题加以解决．
(3)数形结合法：将函数解析式(方程)适当变形，转化为图象易得的函数与一个含参的函数的差，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，结合函数的单调性、周期性、奇偶性等性质及图象求解．
(二)数学建模——函数建模在实际问题中的应用[例2]　某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋1；③f(x)＝x(x－q)2＋p(以上三式中p，q均为常数，且q＞1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)＝4，f(2)＝6.
①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x＝0表示8月1日，x＝1表示9月1日，以此类推)；②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．[解析]　(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f(x)＝x(x－q)2＋p.(2)①对于f(x)＝x(x－q)2＋p，由f(0)＝4，f(2)＝6，可得p＝4，(2－q)2＝1，
又q＞1，所以q＝3，所以f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)．②因为f(x)＝x3－6x2＋9x＋4(0≤x≤5)，所以f′(x)＝3x2－12x＋9，令f′(x)＜0，得1＜x＜3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.
[对点训练]某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝lga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．