2022届新高考数学人教版一轮课件：第二章 第十节　导数的应用第4课时

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题型一　不等式恒成立问题　　多维探究考法(一)　分离参数法求解恒成立问题
　分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤(1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式．(2)求f2(x)在x∈D时的最大值或最小值．(3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围．
[对点训练]已知函数f(x)＝ln x.(1)求函数g(x)＝f(x＋1)－x的最大值；(2)若对任意x＞0，不等式f(x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围．
根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围.
[对点训练](2020·新高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a.(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)≥1，求a的取值范围．
题型二　存在成立问题　　合作探究[例]　(2021·张掖模拟)已知函数f(x)＝2(x－1)ex.(1)若函数f(x)在区间(a，＋∞)上单调递增，求f(a)的取值范围；(2)设函数g(x)＝ex－x＋p，若存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥f(x0)－x0成立，求p的取值范围．
[解析]　(1)由f′(x)＝2xex＞0，得x＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以a≥0，所以f(a)≥f(0)＝－2，所以f(a)的取值范围是[－2，＋∞)．(2)因为存在x0∈[1，e]，使不等式g(x0)≥2(x0－1)ex0－x0成立，所以存在x0∈[1，e]，使p≥(2x0－3)ex0成立．令h(x)＝(2x－3)ex，从而p≥h(x)min，h′(x)＝(2x－1)ex.因为x≥1，所以2x－1≥1，ex＞0，所以h′(x)＞0，所以h(x)＝(2x－3)ex在[1，e]上单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝－e，所以p≥－e，所以实数p的取值范围是[－e，＋∞).
1.存在型不等式成立主要是转化为最值问题.如存在x1、x2∈[a，b]使f(x1)≤g(x2)成立⇔f(x)min≤g(x)max，转化为最值问题求解．2.如果一个问题的求解中既有“存在性”又有“恒成立”，那么需要对问题做等价转化，这里一定要注意转化的等价性、巧妙性，防止在转化中出错而使问题的求解出错.