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2022届新高考数学人教版一轮课件:第十章 专题提能 概率统计中的数学建模与数据分析
展开概率统计中的创新性问题是高考的命题重点,不仅注重模块知识内的综合,也注重模块知识间的综合,更多地体现对数学建模与数据分析核心素养的考查.命题的重点有:(1)考查数学建模核心素养,以实际生活中的环保、民生、科技等为背景,考查函数、数列等模型的建立,其中求解这些实际问题的最优化是近年高考命题的热点.(2)考查数据分析核心素养,常考查对数据的搜集与归类,并利用不同的特征值对研究对象做出理性的判断.
(1)从游客中随机抽取3人,记这3人的总得分为随机变量X,求X的分布列与数学期望;(2)(ⅰ)若从游客中随机抽取m(m∈N*)人,记这m人的总分恰为m分的概率为Am,求数列{Am}的前10项和;(ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中,记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn,探讨Bn与Bn-1(n≥2)之间的关系,并求数列{Bn}的通项公式.
破解此题的关键:一是认真审题,判断随机变量的所有可能取值,并注意相互独立事件的概率与互斥事件的概率的区别,求出随机变量取各个值时的概率,从而列出随机变量的分布列;二是将概率的参数表达式与数列的递推式相结合,可得数列的通项公式,此种解法新颖独特.
(二)函数与期望相交汇应用[例2] (2021·重庆一中模拟)某蛋糕店制作并销售一款蛋糕,制作一个蛋糕成本3元,且以8元的价格出售,若当天卖不完,剩下的无偿捐献给饲料加工厂.根据以往100天的资料统计,得到如下需求量表.该蛋糕店一天制作了这款蛋糕X(X∈N)个,以x(单位:个,100≤x≤150,x∈N)表示当天的市场需求量,T(单位:元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润.
(1)当x=135时,若X=130时该蛋糕店获得的利润为T1,X=140时该蛋糕店获得的利润为T2,试比较T1和T2的大小.(2)当X=130时,根据上表,从利润T不少于570元的天数中,按需求量用分层抽样的方法抽取6天.(ⅰ)求此时利润T关于市场需求量x的函数解析式,并求这6天中利润为650元的天数;(ⅱ)再从这6天中抽取3天做进一步分析,设这3天中利润为650元的天数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.
破解此题的关键一是要注意分类讨论、明确分类标准.二是注意数据分析与处理.
(三)概率与统计的开放性问题[例3] (2021·郑州一测)水污染情况与工业废水排放密切相关,某工厂污水处理程序如下.原始污水必须先经过A系统处理,处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0<p<1),A级水经化验后,若确认达标便可直接排放,若不达标则必须通过B系统处理后再排放.该厂现有4个标准水量的A级水池,需要分别取样、化验.已知多个污水样本化验时,既可以逐个化验,也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,则混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验;若混合样本达标,则原水池的污水可直接排放.
现有以下四种化验方案.方案一:逐个化验.方案二:平均分成两组,每组的两个样本混在一起化验.方案三:三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验.方案四:四个样本混在一起化验.化验次数的期望值越小,则方案越“优”.
求解此题时易出现的问题有两个:一是不能根据事件性质正确建立目标代数式;二是不能根据题意分析交换顺序对数学期望的影响,从而无法根据三个概率的大小关系比较数学期望的大小.
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