沪教版高中三年级 第一学期16.5二项式原理教案设计

这是一份沪教版高中三年级 第一学期16.5二项式原理教案设计，共5页。教案主要包含了设置情境，探索研究，演练反馈，参考答案，总结提炼等内容，欢迎下载使用。

教学目标：
掌握二项展开式中的二项式系数的三条性质及有关推导方法，并能简单应用。
教学过程：
【设置情境】
在杨辉的《详解九章算术》中载有一个“开方作法本源”图。如图所示，就是“杨辉三角”。那么这个图是如何得来的？它表达的是什么？这节课我们就来共同探讨这个问题！
【探索研究】
上节课我们已经知道
在二项式定理中，叫做二项式系数。
它们是一组仅与二项式的次数n有关的个组合数，而与a、b无关，值得注意的是它们与展开式中的“系数”是有区别的。
1．“杨辉三角”的来历及规律
展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
…………………………………1 1
………………………………1 2 1
……………………………1 3 3 1
…………………………1 4 6 4 1
………………………1 5 10 10 5 1
……………………1 6 15 20 15 6 1
这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉三角”。
由学生观察这个表的规律，表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当n不大时，可以根据这个表来求二项式系数。
展开式的二项式系数依次是
从函数角度看，可看成是以r为自变量的函数，其定义域是
2．二项式系数的性质
1）对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。这一性质可直接由公式得到。
2）增减性与最大值
由于

所以相对于的增减情况由决定。由
。
可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。
3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令，则
。
这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于。
同时由于，上式还可以写成
。
这是组合总数公式，表示在n个不同元素里，每次取1个、2个、…、n个元素的所有组合数的和。
3．例题分析
例1 证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
证明：在展开式
中，令，得
。
就是
∴
即在的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数的和。
例2 已知的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项。
解：依题意

整理得
∴
设展开式中含x的项是第项，则
∴
解得
故展开式中含x的项为第3项，即
。
【演练反馈】
1．已知的展开式中的系数和比的展开式中的二项式系数和大240，求的展开式中的第3项。
（由一名学生板演后，教师讲评，着重指出“二项式数”与“系数”的区别）
2．在二项式的展开式中，求系数最小的项的系数。
3．求的展开式中系数最大的是第几项？
（学生思考后，教师引导分析，展开式中系数最大的项不是中间一项）
4．设：。
求：的值。
（学生练习后，教师讲解，指出“取特值”是二项式定理中常用的方法）
【参考答案】
1．解：依题意有
解得
于是的展开式中的第3项是
2．解：因为在的展开式中，各项的二项式系数与项的系数相等或互为相反数，又展开式中二项式系数最大的项有两项，分别为第六项、第七项，所以系数最小的项的系数为
3．解：设展开式中第项的系数最大，则
即 整理得
解得
∴
故第18项的系数最大。
4．解：在
令，得
令，得
两式相乘得
。
【总结提炼】
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
板书设计
二项式定理（三）
（一）设置情境
（二）探索研究
1．“杨辉三角”的来历及规律
2．二项式系数的性质
3．例题分析
例1
例2
练习
（三）总结提炼