北师大版八年级上册3 勾股定理的应用课堂检测

1.3勾股定理的应用同步练习北师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

2. 一根长18cm的牙刷置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h，则h的值不可能是

A. 3cm B.  C. 6cm D. 8cm

3. 如图，小明视为小黑点站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是

A. 2米
B. 米
C. 米
D. 米

4. 如图所示，在长方形ABCD中，，，若将长方形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边上的点F处，则线段CE的长为       

A.  B.  C.  D. 10

5. 如图是一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm，3dm，和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为   

A. 15dm B. 17dm C. 20dm D. 25dm

6. 如图，是一扇高为2m，宽为的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：号木板长3m，宽；号木板长，宽；号木板长4m，宽可以从这扇门通过的木板是

A. 号
B. 号
C. 号
D. 均不能通过

7. 如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是   

A.
B.
C.
D.

8. 如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得若梯子的顶端沿墙下滑米，这时梯子的底端也恰好外移米，则梯子的长度AB为   

A.
B.
C.
D.

9. 小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是

A. 8米 B. 10米 C. 12米 D. 13米

10. 一个带盖的长方形盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，已知蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是

A. 28cm
B.
C.
D. 20cm

11. 测量一段河水的深度，小丁把一根竹竿竖直插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水有多少深   

A.  B.  C. 2m D. 3m

12. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将沿直线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为．

A.
B.
C. 3
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，这个图案是我国汉代的赵爽在注解周髀算经时给出的，人们称它为“赵爽弦图”此图案的示意图如图，其中四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，，，，是四个全等的直角三角形．若，，则AB的长为________．

14. 如图，长方体的长、宽、高分别为4、2、1，则沿长方体的表面从顶点A到顶点B的最短路线的长为______．
     
15. 如图，已知长方体的三条棱AB、BC、BD分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是__________．
     

16. 如图，一扇卷闸门用一块宽18cm，长80cm的长方形木板撑住，用这块木板最多可将这扇卷闸门撑起______cm高．
     

17. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，顶端距离地面若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为____m．
18. 一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为______．
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，某圆柱形水杯的高为，底面周长为，在外侧杯底的点A处有一只蚂蚁，与它相对的内侧距杯口的B处有一滴蜂蜜，求蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程．
    
     

20. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？
    
     

21. 我市某中学有一块四边形的空地如图所示，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．
    求出空地ABCD的面积．
    若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，两根旗杆AC，BD相距10米，旗杆AC高3米，且，，一同学从B点出发向A点走去，当他走到点M时，发现自己刚好走了3米，此时他仰望旗杆的顶点C，D，又发现两条视线．
    求旗杆BD的高为多少米？
    两条视线CM，DM有怎样的位置关系？请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，把一块三角形土地挖去一个直角三角形后，测得米，米，米，米．求剩余土地图中阴影部分的面积．

24. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为米，顶端距离地面的高度AC为米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面的高度为2米，求小巷的宽度．
    
    
    
    
    
    
     
25. 有一朵荷花，花朵高出水面1尺，一阵大风把它吹歪，使花朵刚好落在水面上，此时花朵离原位置的水平距离为3尺，此水池的水深有多少尺？
     

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：在中，，米，米，
．
在中，，米，，
，
，
，
米，
米．
故选：A．
先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关键．根据杯子内牙刷的长度取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案．
【解答】
解：将一根长为18cm的牙刷，置于底面半径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，
在杯子中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于杯子斜边长度，
当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，，
最长时等于牙刷斜边长度是：，
的取值范围是：，
即．
故选D．  

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用，正确得出≌是解题关键．首先得出≌，进而得出OE、OF的长，进而求出OM、ON，故可得MN的长．
【解答】
解：作于点E，于点F，

，
在和中，
≌，
，，
即，
，
，
则，
所以，，
所以
又因为由勾股定理得，
所以．
故选A．  

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了折叠的性质和勾股定理的应用，利用折叠的性质表示出相应线段的长度是解答此题的关键．
先根据长方形的性质得，，再根据折叠的性质得，，在中，利用勾股定理计算出，得出，设，则，在中，利用勾股定理列方程即可求解．
【解答】
解：为长方形，
，，
由折叠可知：，，
在中，
，
，
设，则，

在中，，即，

解得：，

即线段CE的长为．
故选C．

5.【答案】B
 

【解析】略
 

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，能够运用数学知识解决实际问题．熟练运用勾股定理计算矩形中的最大线段的长度，即对角线的长度是解题关键．根据勾股定理，先计算出能通过的最大距离，然后和题中数据相比较即可．
【解答】
解：因为，所以木板的长和宽中必须有一个数据小于米，
所以选号木板．
故选C．  

7.【答案】D
 

【解析】如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接AB，

根据勾股定理得 ，
所以，
故选D．
 

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到为等量关系是解题的关键．
设，利用勾股定理用x表示出AB和CD的长，进而求出x的值，即可求出AB的长度．
【解答】
解：设，依题意，得，，．
在中，根据勾股定理得
，
在中，根据勾股定理
，
，
解得，
，即，
故梯子AB的长为，
故选A．  

9.【答案】D
 

【解析】解：如图，已知，，，米，米，设米．

在中，，
，
，
米，
故选：D．
根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在利用勾股定理构建方程即可解决问题．
此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：有两种情形：

如图1所示：
，
如图2所示：
．
故爬行的最短路程是20cm．
故选：D．
把立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可．
此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【试题解析】
【分析】
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，一元一次方程的解法，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程的问题解决．
根据河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理得方程，解方程即可求解．
【解答】
解：如图：

在直角中，，．
设河深，则米．
根据勾股定理得出：
解得：．
故选C．  

12.【答案】C
 

【解析】解：，，，
，
由折叠的性质得：，，
，，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
，
故选：C．
先根据勾股定理求得AB的长，再根据折叠的性质求得AE，BE的长，从而利用勾股定理可求得CD的长．
本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识；熟记折叠性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

13.【答案】10
 

【解析】

【分析】
此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角的两直角边的长度．在直角中，先利用面积法证明勾股定理，再利用勾股定理进行解答即可．

【解答】
解：依题意知，，
，
设，，
直角中，利用勾股定理得：
．
故答案是10．

14.【答案】5
 

【解析】解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
展开前面右面由勾股定理得；
展开前面上面由勾股定理得；
展开左面上面由勾股定理得．
所以最短路径的长为．
故答案为5．
把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．
此题考查了最短路径问题．解题时将立体图形展为平面图形，利用勾股定理的知识求解，“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
 

15.【答案】61
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了平面展开图，求最短路径，解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答，注意此题展开图后蚂蚁的爬行路线有三种，分别求出，选取最短的路程．
【解答】
解：如图：；
如图：；
如图：．
蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程的平方是：61．
  
故答案为61．  

16.【答案】82
 

【解析】解：设长方形的长为a，宽为b，对角线的长度为c，
，，
．
故最多可将这扇卷闸门撑起82cm．
将长方形木板的对角线可将卷闸门撑起得最高，可用勾股定理将长方形的对角线的距离求出．
本题主要考查了勾股定理的应用，应读懂题意，找出题中的隐藏条件，将实际问题运用数学思想进行解答．
 

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
先根据勾股定理求出梯子的长，进而可得出结论．
【解答】
解：如图所示，在中，

，米，米，
．
在中，
，米，，
，
，
，
米，
米．
故答案为．  

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是平面展开．最短路径问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键先将图形展开，再根据两点之间线段最短可得出结论．
【解答】
解：如图，将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，．

故答案为．  

19.【答案】解：如图为圆柱的侧面展开图，设点B关于杯口所在直线的对称点为，

连接，
易得，，
在中， ，
．
故蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程是．
 

【解析】见答案
 

20.【答案】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：
长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
，，
在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：
长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
，，

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：
长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
，
在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是25．
 

【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
本题考查平面展开--最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：连接BD，
在中，，
在中，，，
而，即，
所以，
则；

所需费用为元．
 

【解析】直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出，进而得出答案；
利用中所求得出所需费用．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出是解题关键．
 

22.【答案】解：，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
，
理由：≌，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据HL定理得出≌，进而得出，进而得出即可；
利用≌，则，进而得出，即可得出答案．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据HL定理得出是解题关键．
 

23.【答案】解：在中，
米，米，米，米，
，
取正值．
在中，，．
，
为直角三角形，．
米
答：剩余土地图中阴影部分的面积为：96米．
 

【解析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再根据即可得出结论．
本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用，有利于培养学生生活联系实际的能力．
 

24.【答案】解：在中，，米，米，
．
在中，，米，，
，
．
，
米．
米．
答：小巷的宽度CD为米．
 

【解析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
 

25.【答案】解：设水深x尺，那么荷花径的长为尺，
由匀股定理得：．
解得：．
答：水池的水深有4尺．
 

【解析】关键是水深、荷花径移动的水平距离及荷花径的长度构成一直角三角形，解此直角三角形即可．
本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息画图是解题的关键．