初中数学人教版八年级上册14.2.1 平方差公式背景图ppt课件

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如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？
a2- b2=(a+b)(a-b)
想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
是a,b两数的平方差的形式
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
两数是平方，减号在中央．
(x+5y)(x-5y)
a2 - b2 =
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b)；
(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2
＝(x2+y2)(x2-y2)
＝(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式＝ab(a2-1)
＝ab(a+1)(a-1).
方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.
＝(a＋2b)(a－2b－1).
＝5m2(a2＋b2)(a＋b)(a－b)；
解：(1)原式＝5m2(a4－b4)
＝5m2(a2＋b2)(a2－b2)
(2)原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)
＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)
例3 已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，
联立①②组成二元一次方程组，
方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题：(1)1012－992； 2×4－2×4.
解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；
(2)原式＝4×2－2)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n.
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mnC．－x2－y2 D．－x2＋9
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
4.把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_________________; (2) (a+b)2-(a-b)2=_________________; (3) 9xy3-36x3y=_________________; (4) -a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是___________.
6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)(2m-3n).
当4m+n=40，2m-3n=5时，
7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
＝2－ (2×1.6)2
＝＋3.2)×(6.8 － 3.2)
答：剩余部分的面积为36 cm2.
8. (1)992-1能否被100整除？
解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=100×98，
所以(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？
所以992-1能被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=4(n+3)(n-2).
a2-b2=(a+b)(a-b)
一提：提公因式；二套：套公式；三查：检查多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止
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