数学八年级上册第五章 二元一次方程组5 应用二元一次方程组——里程碑上的数优秀精练

5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数同步练习北师大版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 小明和小莉出生于2000年12月份，他们的生日不是同一天，但都是星期一，且小明比小莉出生早，两人出生日期和是22，那么小莉的生日是   

A. 15号 B. 16号 C. 17号 D. 18号

2. 九章算术是我国东汉初年编订的一部数学经典著作在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的九章算术中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项把图所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是类似地，图所示的算筹图我们可以表述为   

A.  B.
C.  D.

3. 足球比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得3分，负一场扣1分，某队在8场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，则可列方程组为

A.  B.  C.  D.

4. 我国古代数学著作增剧算法统宗记载“绳索量竿”问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长y尺，竿长x尺，则符合题意的方程组是

A.  B.  C.  D.

5. 某车间需加工某种零件500个，若用2台自动化车床和6台普通车床加工一天，则还剩10个零件没加工；若用3台自动化车床和5台普通车床加工一天，则可以超额完成15个零件．如果一台自动化车床和一台普通车床一天加工的零件数分别为x个和y个，则下列所列方程组正确的是

A.  B.
C.  D.

6. 孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为

A.  B.  C.  D.

7. 我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为

A.  B.  C.  D.

8. 我旗某学校组织教师34人分别到长胜和苏独仑进参加“十个全覆盖”工作，到苏独仑的人数是到长胜的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到苏独仑的人数为x人，到长胜的人数为y人，下列方程组正确的是

A.  B.  C.  D.

9. 一道来自课本的习题：

小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是

A.  B.  C.  D.

10. 孙子算经是我国古代一部较为普及的算书，其中记载了一道题，大意是：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，问大、小和尚各有多少人．若设大和尚有x人，小和尚有y人，则可列出方程组

A.  B.
C.  D.

11. 九章算术中有这样一个题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意是：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意，可列二元一次方程组为

A.  B.  C.  D.

12. 养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675kg；一周后又购进20头大牛和35头小牛，这时1天约用饲料求每头大牛和小牛1天各约用饲料多少千克？设每头大牛和小牛1天各约用饲料和，则可列二元一次方程组为

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 九章算术第八卷方程第十问题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文．如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文．甲、乙各带了多少钱？设甲原有x文钱，乙原有y文钱，可列方程组为______．
14. 在如图所示的长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为______．
    
    
     

15. 今年新冠病毒疫情初期，口罩供应短缺，某地规定：每人每次限购5只．李红出门买口罩时，无论是否买到，都会消耗家里库存的口罩一只，如果有口罩买，他将买回5只．已知李红家原有库存15只，出门10次购买后，家里现有口罩35只．请问李红出门没有买到口罩的次数是______次．
16. 一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶______km．
17. 某班级为奖励网络课堂线上学习先进个人，花了800元钱购买甲、乙两种奖品共60件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲乙两种奖品各买多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，根据题意可列方程组为______．
18. 我国古代数学著作増制算法统宗记载“绳索量竿”问题，“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”。其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺。设绳索长x尺，竿长y尺，则列出符合题意的方程组是______。

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 列方程组解应用题：
    某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如表：

假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？






 

20. 在”新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售两次购进同一商品的进价相同，具体情况如表所示：

求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．






 

21. 学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．
    求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
    学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，用10块相同的小长方形地砖拼成一个宽是60厘米的大长方形，用列方程或方程组的方法，求每块小长方形地砖的长和宽分别是多少厘米？
     

23. 某建设工程队计划每小时挖掘土540方，现决定租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，已知一台甲型挖掘机与一台乙型挖掘机每小时共挖土140方，5台甲型挖掘机与3台乙型挖掘机恰好能完成每小时的挖掘量．
    求甲、乙两种型号的挖掘机每小时各挖土多少方？
    若租用一台甲型挖掘机每小时100元，租用一台乙型挖掘机每小时120元，且每小时支付的总租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，请设计该工程队的租用方案．
    
    
    
    
    
    
     
24. 某学校现有若干间学生宿舍，准备安排给若干名学生住宿．原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住．问该校现有多少间学生宿舍？
    
    
    
    
    
    
     
25. 我国古代问题有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛斛，音，是古代的一种容量单位，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，注意了解生活常识：出生日不是同一天，但都是星期一，则他们相隔的天数应是7的倍数．设小明的生日是12月份的x号，小莉的生日是12月份的y号，则根据“都是星期一，小明比小莉出生早”、“两人出生日期和是22”列出方程组并解答．
【解答】
解：设小明的生日是12月份的x号，小莉的生日是12月份的y号，
则或或或
解得不是整数，舍去或或不是整数，舍去或不合题意，舍去．
综上所述，小莉的生日是18号．
故选D．  

2.【答案】A
 

【解析】解：由题意分析可得题图中的算筹图可以表述为
故选A．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组．
设这个队胜x场，负y场，根据在8场比赛中得到12分，列方程组即可．
【解答】
解：设这个队胜x场，负y场，
根据题意，得．
故选：A．  

4.【答案】D
 

【解析】解：设绳索长y尺，竿长x尺，
根据题意得：．
故选：D．
设绳索长y尺，竿长x尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：设一台自动化车床一天加工x个零件，一台普通车床一天加工y个零件．
由题意，得，
故选：C．
用二元一次方程组解决问题的关键是找到2个合适的等量关系，台自动化车床加工零件的个数台普通车床加工零件的个数个，台自动化车床加工零件的个数台普通车床加工零件的个数个，根据这两个等量关系可列出方程组．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：依题意，得：．
故选：B．
根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

7.【答案】A
 

【解析】解：设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为：
．
故选：A．
直接利用“绳长木条长；绳长木条长”分别得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：设到苏独仑的人数为x人，到长胜的人数为y人，由题意得：
．
故选B．
设到苏独仑的人数为x人，到长胜的人数为y人，根据共34人分别到长胜和苏独仑进参加“十个全覆盖”工作，到苏独仑的人数是到长胜的人数的2倍多1人，即可得出方程组．
本题考查了有实际问题抽象出二元一次方程组，难度一般，关键是读懂题意设出未知数找出等量关系．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．
故选：B．
直接利用已知方程得出上坡的路程为x，平路为y，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意得出等式是解题关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：C．
根据有100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完可以列出相应的方程组，本题得以解决．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

11.【答案】A
 

【解析】解：设有x辆车，人数为y，
依题意得：．
故选：A．
设有x辆车，人数为y，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：由题意得．
故选：C．
设每头大牛和小牛1天各约用饲料和，利用大牛的饲料小牛的饲料总饲料列方程组即可求解．
本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程：，根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文”，列出一个关于x和y的二元一次方程：，从而得到答案．
【解答】

解：设甲原有x文钱，乙原有y文钱，
如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50文，
，
如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50文，
，
则可列方程组为：，
故答案为：．
 

14.【答案】49
 

【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得
，
解得，
．
故答案为：49．
设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

15.【答案】4
 

【解析】解：设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，由题意得：
，
整理得：，
解得：．
故答案为：4．
设李红出门没有买到口罩的次数是x，买到口罩的次数是y，根据买口罩的次数是10次和家里现有口罩35只，可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，本题数量关系清晰，难度不大．
 

16.【答案】3750
 

【解析】解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为．
又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm．
分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程，有
两式相加，得，
则千米．
故答案为：3750．
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm，根据交换前磨损总量和交换后的磨损总量相等，可列出方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
甲．乙两种奖品共60件，所以
因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，所以
由上可得方程组：
．
故答案为：．
根据甲乙两种奖品共60件，可找到等量关系列出一个方程，再根据甲乙两种奖品的总价格找到一个等量关系列出一个方程，将两个方程组成一个二元一次方程组．
本题考查根据实际问题抽象出方程组：根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
设绳索长x尺，竿长y尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于的二元一次方程组，此题得解。
【解答】解：设绳索长x尺，竿长y尺，
根据题意得：
故答案为：  

19.【答案】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
，
解得，
答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件．
 

【解析】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．
本题主要考查了二元一次方程组的应用，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
 

20.【答案】解：设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，
根据题意得：，
解得：．
酒精消毒液每件的进价为10元，测温枪每件的进价为200元．
设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液件，
根据题意得：
，
酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，
，
解得：．
又在中，，
的值随m的增大而增大，
当时，W取最大值，最大值为，
当购进购进酒精消毒液800件、购进测温枪200件时，销售利润最大，最大利润为16000元．
 

【解析】设酒精消毒液每件的进价为x元，测温枪每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
设购进测温枪m件，获得的利润为W元，则购进酒精消毒液件，根据总利润单件利润购进数量，即可得出W与m之间的函数关系式，由酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题．
本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系并正确列式是解题的关键．
 

21.【答案】解：设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；

设购进A型节能灯m只，总费用为W元，
根据题意，得：，
，
随m的增大而减小，
又，解得：，
而m为正整数，
当时，，
此时，
答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．
 

【解析】设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据：“1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元”列方程组求解即可；
首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．
此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
 

22.【答案】解：设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，
根据题意得：，
解得：．
答：小长方形地砖的长为36厘米，宽为12厘米．
 

【解析】设小长方形地砖的长为x厘米，宽为y厘米，由大长方形的宽为60厘米，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

23.【答案】解：设甲型挖掘机每小时挖土x方，乙型挖掘机每小时挖土y方，
依题意，得：，
解得：．
答：甲型挖掘机每小时挖土60方，乙型挖掘机每小时挖土80方．
设租用m台甲型挖掘机、n台乙型挖掘机，
依题意得：，
化简得：，

、n均为正整数，
或．
当、时，支付租金：元，
，
此租车方案不符合题意；
当、时，支付租金：元，
，
此租车方案符合题意．
答：该工程队的租用方案为租1台甲型挖掘机和6台乙型挖掘机．
 

【解析】设甲型挖掘机每小时挖土x方，乙型挖掘机每小时挖土y方，根据“一台甲型挖掘机与一台乙型挖掘机每小时共挖土140方，5台甲型挖掘机与3台乙型挖掘机每小时共挖土540方”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设租用m台甲型挖掘机、n台乙型挖掘机，根据租用的挖掘机每小时挖掘540方，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各租用方案，求出各挖掘方案所需费用，将其与850元比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

24.【答案】解：设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，
依题意，得：，
解得：．
答：该校现有30间学生宿舍．
 

【解析】设该校现有x间学生宿舍，共安排y名学生住宿，根据“原计划每间住8人，则有10间宿舍无人居住．由于疫情防控需要，每间宿舍只能住5人，则有10人无法入住”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
 

25.【答案】解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，
则，
解得：，
答：1个大桶可以盛酒斛，1个小桶可以盛酒斛．
 

【解析】直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，分别得出等式组成方程组求出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．