数学北师大版4 分式方程优秀习题

5.4分式方程同步练习北师大版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图是小明同学解方程的过程．
   
   针对以上解题过程，下列说法正确的是

A. 从第一步开始有错 B. 从第二步开始有错
C. 从第三步开始有错 D. 完全正确

2. 某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为x天，根据题意列出了方程，则方案中被墨水污染的部分应该是    ．

A. 甲先做4天 B. 甲、乙合做4天
C. 甲先做工程的 D. 甲、乙合做工程的

3. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等．设江水的流速为，根据题意，下面所列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 分式方程的解为

A.  B. 或
C. 或 D.

5. 关于x的方程无解，则m的值为

A.  B.  C.  D. 5

6. 关于x的分式方程有增根，则m的值是   

A.  B.
C.  D. 或

7. 若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组无解，则满足条件的所有整数a的值之和是．

A.  B.  C.  D.

8. 若关于x的分式方程有增根，则k的值为

A. 1 B. 0 C.  D.

9. 解分式方程，下列说法中错误的是

A. 方程两边分式的最简公分母是
B. 方程两边乘以，得到的整式方程是
C. 解这个整式方程，得
D. 原方程的解为

10. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为

A.  B. 3 C. 2 D.

11. 已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为  

A. 且 B.
C. 且 D. 且

12. 八年级学生去距学校30km的综合实践校活动，学生乘校车出发10min后，学校德育李主任开轿车出发，结果与学生同时到达，已知轿车的速度是校车速度的倍，若设校车的速度为则下面所列方程正确的是

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．则此商品的进价是______．
14. 数学家斐波那契编写的算经中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程______．
15. 若分式方程有增根，则          ．
16. 已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是          ．
17. 关于x的分式方程无解，则k的值为______．
18. 一艘轮船在静水中的最大航速为，它以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相同，则江水的流速为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 随着人们环保意识的增强，越来越多的人选择低碳出行，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行五月份A型车的销售总利润为4320元，B型车的销售总利润为3060元．且A型车的销售数量是B型车的2倍，已知销售B型车比A型车每辆可多获利50元．
    求每辆A型车和B型车的销售利润；
    若该车行计划一次购进A、B两种型号的自行车共100台且全部售出，其中B型车的进货数量不超过A型车的2倍，则该车行购进A型车、B型车各多少辆，才能使销售总利润最大？最大销售总利润是多少？
    
    
    
    
    
    
     
20. 某校计划用270元购买水笔奖励优秀学生，在购买时发现，每支水笔可以按标价打九折，结果买的水笔比打折前多6支．
    求每支水笔的标价；
    若每支水笔可以按标价打8折，这样该校最多可购入几支水笔？
    
    
    
    
    
    
     
21. 为治理城市污水，需铺设一段全长300m的污水排放管，铺设了100m后，为提前完成任务，每天的工作量比原计划增加，结果5天完成任务．问：原计划每天铺设管道多少米？
    
    
    
    
    
    
     
22. 某学校为了丰富学生的体育活动，购买了篮球和跳绳，已知每个篮球的价格是每个跳绳价格的3倍，购买跳绳共花费600元，购买篮球共花费900元，购买跳绳和数量比购买篮球的数量多20个，求每个跳绳的价格．
    
    
    
    
    
    
     
23. 某学校在商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费2000元，购买乙种足球共花费1400元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花20元．
    求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元？
    为响应“足球进校园”的号召，这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共50个．恰逢该商场对两种足球的售价进行调整，甲种足球售价比第一次购买时提高了，乙种足球售价比第一次购买时降低了，如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元，那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
    
    
    
    
    
    
     
24. 某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的数量是购买洗手液数量的一半．
    求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需多少元；
    经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液的数量是测温枪数量的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过1540元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
    
    
    
    
    
    
     
25. 解不等式组，并把其解集在数轴上表示出来．
    解分式方程．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：从第二步开始出错，
正确的解答过程是：方程两边同时乘，
得，
解得，
检验：当时，，
所以原方程的解为．
故选：B．
去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可．
本题考查了解分式方程和解一元一次方程，能把分式方程转化成整式方程和能根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的应用，用到的等量关系为：工作效率工作时间工作总量．
根据题意和方程，可知甲干了4天，乙干了x天，从而可以得到后面应填入的内容，本题得以解决．
【解答】
解：由题意：，可知甲做了4天，乙做了x天．
由此可以推出，开始他们合做了4天，
则方案中被墨水污染的部分应该是：甲、乙合做了4天．
故选B．  

3.【答案】A
 

【解析】解：设江水的流速为，根据题意得，
，
故选：A．
根据“以最大航速沿江顺流航行所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，”建立方程，即可得出答案．
此题是由实际问题抽象出分式方程，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．
 

4.【答案】D
 

【解析】解：，
方程两边都乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原方程的解，
即原方程的解是，
故选：D．
方程两边都乘以得出，求出，再进行检验即可．
本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
 

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分式方程的解法、分式方程的增根问题，首先去分母，得，然后根据分式方程无解得出，最后代入计算即可求解．
【解答】
解：去分母得：，
由分式方程无解，得到，即，
代入整式方程得：，
解得：，
故选A．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：
让最简公分母为0确定增根；
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m的值．
【解答】
解：方程两边都乘以得，
，
分式方程有增根，
，
解得，
，
解得．
故选A．  

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是分式方程的解，解分式方程，解一元一次不等式组的有关知识，求出分式方程的解，根据分式方程的解为正整数求出a的取值范围，再解出每个不等式的解集，最后根据不等式组无解求出a的范围，综合求出满足条件的所有整数，求和即可。
【解答】
解：
解得，即
关于x的分式方程的解为正整数
，且是不为2的整数
解得：，且，a是偶数
解关于y的不等式组
解不等式得


解不等式得
关于y的不等式组无解

综上所述，且，a是偶数
满足条件的所有整数a的值为、、0、2，它们的和是
故选D。  

8.【答案】D
 

【解析】解：方程两边都乘得：，
方程有增根，
，
即；
把代入，得．
故选：D．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，有增根，那么最简公分母，所以增根是，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：根据最简公分母确定增根的值；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

9.【答案】C
 

【解析】解：原方程变形为，
两边同乘以最简公分母得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
、B、D正确，不符合题意，C错误，符合题意，
故选：C．
解出原方程，即可得到正确答案．
本题考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤，注意解分式方程必须检验．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：方程两边都乘以得：，
解得：，
方程有增根，
，
，
，
解得：．
故选：A．
先求出方程的解，因为方程有增根，所以，所以，根据方程的解等于2，求得a的值．
本题考查了分式方程的增根，求出方程的解和增根的值是解题的关键．
 

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是解分式方程，分式方程的解的有关知识，直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】
解：，

，
解得：，
方程的解为正数，

解得：，
故选C．  

12.【答案】C
 

【解析】解：设校车的速度为，则轿车的速度，
由题意得：．
故选：C．
设校车的速度为，则轿车的速度，根据时间差为10分钟列出方程．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
 

13.【答案】50元
 

【解析】解：设此商品的进价是x元，
根据题意，得：，
解得．
经检验：是所列方程的解，
即此商品的进价是50元．
故答案是：50元．
设此商品的进价是x元，根据第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元，可列出方程．
本题考查主要考查了分式方程的应用和理解题意的能力，关键是以销售量作为等量关系列方程，求出进价和销售多少件．
 

14.【答案】
 

【解析】解：根据题意得，，
故答案为．
根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确的理解题意是解题的关键．
 

15.【答案】2
 

【解析】

【分析】
本题考查分式方程的增根分式方程的增根一定是分式方程转化成的整式方程的根，也是使最简公分母为的根根据分式方程的增根的概念解答即可．
【解答】
解：变为
，
去分母得

因为方程由增根，则增根必使最简公分母，
所以增根为，
把代入得

，
故答案为．  

16.【答案】且
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的解，去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到，根据分式方程的解为负数，可知分式方程有解，即最简公分母，同时，解关于k的不等式组即可．
【解答】

解：方程两边同时乘，
得，
解得，
又由题意知，，且，
所以
解得且
故答案为且

17.【答案】或
 

【解析】解：方程两边同乘得：，
整理得：，
当时，整式方程无解，即，
当或时，代入得．
或时，分式方程无解，
故答案为：或．
根据一元一次方程无解，再根据分式方程的增根是最简公分母为零的值，可得关于k的方程，即可得答案．
本题考查了分式方程的解，利用分式方程的增根得出关于k的方程是解题关键．
 

18.【答案】10
 

【解析】解：设江水的流速为，根据题意可得：
，
解得：，
经检验得：是原方程的根，
答：江水的流速为．
故答案为：10．
直接利用顺水速静水速水速，逆水速静水速水速，进而得出等式求出答案．
此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
 

19.【答案】解：设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为元，
根据题意得，
解得．
经检验，是原方程的解，
则．
答：每辆A型车的利润为120元，每辆B型车的利润为170元．
设购进A型车a台，这100辆车的销售总利润为y元，
据题意得，，即，
，
解得，
，
随a的增大而减小，
为正整数，
当时，y取最大值，此时．
即商店购进34台A型车和66台B型车，才能使销售总利润最大，最大利润是15300元．
 

【解析】根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
设每台A型车的利润为x元，则每台B型车的利润为元，然后根据销售A型车数量是销售B型车的2倍列出方程，然后求解即可；
设购进A型车a台，这100台车的销售总利润为y元．根据总利润等于两种车的利润之和列式整理即可得解；根据B型车的进货量不超过A型车的2倍列不等式求出a的取值范围，然后
 

20.【答案】解：设每支水笔的标价为x元，则实际购买时每支水笔的价格为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每支水笔的标价为5元．


支元．
答：若每支水笔可以按标价打8折，这样该校最多可购入67支水笔．
 

【解析】设每支水笔的标价为x元，则实际购买时每支水笔的价格为元，利用数量总价单价，结合打折后买的水笔比打折前多6支，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每支水笔的标价；
利用数量总价标价折扣率，即可求出该校最多可购入67支水笔．
本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，列式计算．
 

21.【答案】解：设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设管道米，由题意得
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
答：原计划每天铺设管道52米．
 

【解析】设原计划每天铺设管道x米，则后来每天铺设管道米；根据等量关系：按计划速度铺设100m用的时间后来铺剩下的用的时间，列出方程即可解决问题．
此题主要考查了列分式方程来解决现实生活中的工程问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的等量关系，正确列出方程．
 

22.【答案】解：设每个跳绳的价格为x元．
根据题意，得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每个跳绳的价格为15元．
 

【解析】设每个跳绳的价格为x元．根据购买跳绳的数量比购买篮球的数量多20个列出方程，求解即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，
根据题意，可得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
答：购买一个甲种足球需50元，购买一个乙种足球需70元；
设这所学校再次购买y个乙种足球，
根据题意，可得：，
解得：，
由题意可得，最多可购买18个乙种足球，
答：这所学校最多可购买18个乙种足球．
 

【解析】本题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据费用作为不等关系列出不等式求解．
设购买一个甲种足球需x元，则购买一个乙种足球需元，根据购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的2倍列出方程解答即可；
设这所学校再次购买y个乙种足球，根据此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过2900元列出不等式解答即可．
 

24.【答案】解：设购买一瓶洗手液需要x元，则购买一个测温枪需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
设该学校购买m个测温枪，则购买瓶洗手液，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可购买50个测温枪．
 

【解析】设购买一瓶洗手液需要x元，则购买一个测温枪需要元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设该学校购买m个测温枪，则购买瓶洗手液，根据总价单价数量结合总价不超过1540元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
；
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
分式方程的解为．
 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握分式方程及不等式组的解法是解本题的关键．