数学九年级上册2 矩形的性质与判定优秀同步达标检测题

1.2矩形的性质与判定同步练习北师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它为矩形，需要添加的条件是．

A.  B.
C.  D.

2. 在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法不正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 已知▱ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在中，BF平分，于点F，D为AB的中点，连接DF并延长交AC于点若，，则线段EF的长为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

5. 下列关于菱形、矩形的说法正确的是   

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 矩形的对角线相等且互相平分
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形

6. 如图，矩形ABCD  中，M  为CD  中点，分别以B  、M  为圆心，以BC  长、 MC  长为半径画弧，两弧相交于点若，则 的度数为   

A.
B.
C.
D.

7. 如已知：线段AB，BC，求作：矩形以下是甲、乙两同学的作业：
   

对于两人的作业，下列说法正确的是

A. 甲不对，乙对 B. 甲对，乙不对 C. 两人都不对 D. 两人都对

8. 如图，长方形ABCD中，，，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH，则线段BE的长为        

A.
B. 4
C.
D. 5

9. 如图，长方形ABCD中，，，将长方形折叠，使A点与BC的中点F重合，折痕为EH，则线段BE的长为     

A.
B. 4
C.
D. 5

10. 已知，G是矩形ABCD的边AB上的一点，P是BC边上的一个动点，连接DG、GP，E、F分别是GD、GP的中点，当点P从B向C运动时，EF的长度

A. 保持不变 B. 逐渐增大 C. 逐渐减少 D. 不能确定

11. 如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于

A.
B. 5
C. 6
D. 9

12. ▱ABCD添加下列条件后，仍不能使它成为矩形的是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，中，，，AD平分交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则的周长为_______________．

14. 如图，在中，，点D是AB的中点，且，则________．
     

15. 如图，DE为的中位线，点F在DE上，且，若，，则EF的长为                        ．

16. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知，，那么图中阴影部分面积为______．
     

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在中，，AD是BC边的中线，AG平分的外角，，垂足为E．
    
     

求证：四边形ADBE是矩形．

连接DE，交AB于点O，若，，则的面积是          ．






 

18. 在中，点D在边AC上，，点E是CD的中点．
    
    若，求的度数；若点F是AB的中点，求证：；
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，，．
    求证：四边形OEFG是矩形；
    若，，求OE和BG的长．

20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，连接AC，BF．
    求证：≌；
    当四边形ABFC是矩形时，若，求的度数．

21. 如图，，点E，F分别在AB，CD上，连结EF，、的平分线交于点G，、的平分线交于点H．
     

求证：四边形EGFH是矩形．

小明在完成的证明后继续进行了探索，过G作，分别交AB，CD于点M，N，过H作，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．

22. 如图，在▱ABCD中，点E为BD边上一动点，连接AE，将平移到的位置点A、E、D的对应点分别为点B、G、，将平移到的位置点A、B、E的对应点分别为点D、C、．
    求证：点G、C、F在一条直线上；
    判断四边形BDFG的形状，并说明理由．

23. 如图，在长方形ABCD中，在DC上找一点E，沿直线AE把折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若的面积是54，求的面积．
     

24. 在中，点D在边AC上，，点E是CD的中点．
     

若，求的度数；
若点F是AB的中点，求证：；






 

25. 如图，BN、CM分别是的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点，求证：．
    
    
     

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】略
 

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了矩形的性质，熟记矩形的对边平行且相等，对角线互相平分且相等是解本题的关键．
根据矩形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：矩形的对边平行且相等，所以，故A选项说法正确，此选项不符合题意；
B.矩形的对角线不一定垂直，故选项B说法错误，此选项符合题意；
C.矩形的对角线相等，故选项C说法正确，此选项不符合题意；
D.矩形的对角线互相平分且相等，，故D说法正确，此选项不符合题意．
故选B．  

3.【答案】B
 

【解析】解：A、四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
▱ABCD为矩形，故选项A不符合题意；
B、不能判定▱ABCD为矩形，故选项B符合题意；
C、四边形ABCD是平行四边形，，
▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、，
，
▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；
故选：B．
由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可．
本题主要考查的是矩形的判定、平行四边形的性质等知识，熟记矩形的判定方法是解题的关键．
 

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查角平分线，三角形的中位线定理和直角三角形斜边上的中线，根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得且，结合角平分线定义可得，即，进而可得，由可得答案．
【解答】

解：，

，

，D为AB中点，
 

，

，

又平分，

，

，

，

，

，

，
故选：B．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查矩形的判定与性质、菱形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于基础题．根据菱形、矩形的性质与判定方法，一一判断即可．
【解答】
解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，故此选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故此选择正确；
C、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故此选项错误；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是菱形，故此选项错误．
故选：B．  

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查的是矩形的性质有关知识，根据，，，得出，再根据得出，即可解答．

【解答】

解：以B，M为圆心，分别以BC长，MC长为半径的两弧相交于点P，

，，

，

，

在长方形ABCD中，，

，

．

故选C．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查矩形的判定，因已有直角存在，故本题主要判断ABCD是平行四边形，甲可利用两组对边分别相等来判断是平行四边形；乙可利用对角线互相平分来判定平行四边形．
【解答】
解：同学甲的做法正确的理由：
由作法1可知，由作法2可知，
四边形ABCD为平行四边形，
，
四边形ABCD为矩形；
同学乙的做法正确的理由：
由作法1可知，由作法2可知，
四边形ABCD为平行四边形，
，
四边形ABCD为矩形．
故选D．  

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换一折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质得到，由线段中点的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】
解：将长方形折整，使A点与BC的中点F重合，
，
，
在中，，
即，
解得：．
故选B．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换一折叠问题，勾股定理，根据折叠的性质得到，由线段中点的性质得到，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】
解：将长方形折整，使A点与BC的中点F重合，
，
，
在中，，
即，
解得：．
故选：B．  

10.【答案】C
 

【解析】解：连接PD，
、F分别是GD、GP的中点，
是中位线，
，
当点P从B向C运动时，
DP长度逐渐减小，
故EF的长度也逐渐减小．
故选：C．
连接PD，根据E、F分别是GD、GP的中点，即EF是中位线，可得，当点P从B向C运动时，DP长度逐渐减小，于是判断出EF长度的变化．
本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理的知识点，解答本题的关键是熟练运用三角形中位线定理，此题比较简单．
 

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质，考查直角三角形的性质，根据菱形的四条边相等，且对角线相互垂直，直角三角形斜边上的中线是其一半作答．
【解答】
解：因四边形ABCD是菱形，所以，且，故，
所以是直角三角形，又H为AD边的中点，
所以．
故选A．  

12.【答案】D
 

【解析】解：A、，
，
四边形ABCD是平行四边形，
▱ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、四边形ABD是平行四边形，，
▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、四边形ABCD是平行四边形，，
▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；
故选：D．
根据矩形的判定和平行四边形的性质对各个选项进行判断即可．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质以及菱形的判定；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】14
 

【解析】

【分析】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
根据等腰三角形三线合一的性质可得，，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解答】
解：，AD平分，，
，，
点E为AC的中点，
，
的周长．
故答案为14．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解： ，点D是AB的中点，
．
故答案为．  

15.【答案】1
 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记定理与性质是解题的关键．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出DF的长度，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出DE的长，然后相减即可得到EF的长．
【解答】
解：为的中位线，，
，，
，，
，，
．
故答案为：1．  

16.【答案】10
 

【解析】解：在矩形ABCD中，、，
，
在与中，
，
≌，
，
故答案为：10．

由全等三角形的判定得到≌，将阴影部分的面积转化为规则的几何图形的面积进行计算．
本题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定，并通过此题让学生明白求阴影部分的面积一般的思路是将不规则的阴影部分转化为规则的几何图形求解．
 

17.【答案】解：证明：在中，，AD是BC边的中线，
，．
．

为的外角的平分线，
．
．

，
，即．
四边形ADBE为矩形．

【解析】见答案
 

18.【答案】解：在中，，E是CD的中点， 
，
又，
则
证明：在中，，E是CD的中点，
， 
是AB的中点，
 在中，
EF是斜边AB上的中线，
 ．
 

【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
根据等腰三角形三线合一的性质可得即可求出；
根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明．
 

19.【答案】证明：四边形ABCD是菱形，
，
是AD的中点，
是的中位线，
，
，
四边形OEFG是平行四边形，
，
，
平行四边形OEFG是矩形；

解：四边形ABCD是菱形，
，，
，
是AD的中点，
；
由知，四边形OEFG是矩形，
，
，，
，
．
 

【解析】根据菱形的性质得出，再由点E是AD的中点，所以，，进而判断出OE是三角形ABD的中位线，得到，推出，求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；
根据菱形的性质得到，，得到；由知，四边形OEFG是矩形，求得，根据勾股定理得到，于是得到结论．
本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形OEFG为矩形是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
 即 ，
，
点E是BC的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形ABFC是矩形，
，，，
，
，
，
，
四边形ABCD是平行四边形，
．
 

【解析】根据平行四边形性质得出，推出，再由ASA即可得出结论；
根据矩形的性质和等腰三角形的性质解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明≌是解题的关键．
 

21.【答案】证明：平分，
．

平分，
．
，

．
．
，
．
同理可得，．

平分，
．
平分，
．

点A、E、B在同一条直线上，
．
，即．
四边形EGFH是矩形．

答案不唯一平分，．

【解析】见答案
 

22.【答案】证明：将平移到的位置，将平移到的位置，
，，
，
点G、C、F在一条直线上；
解：四边形BDFG是平行四边形，理由如下：
由平移的性质可知：，，，，
，，
四边形BDFG是平行四边形．
 

【解析】根据平移的性质可得点G、C、F在一条直线上；
根据平移的性质可得，，，，进而可以判断四边形BDFG的形状，
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，平移的性质，解决本题的关键是掌握掌握平行四边形的性质．
 

23.【答案】解：因为，，
所以             
因为，，
所以 
因为，
所以．
设，则，．
则，
．
所以DE的长为     
所以EC的长为     
所以的面积．
 

【解析】根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得，然后求出CF，设，表示出EF、EC，然后在中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

24.【答案】解：在中，，E是CD的中点， 
，
又，
则；
证明：在中，，E是CD的中点，
， 
是AB的中点，
 在中，
EF是斜边AB上的中线，
 ．
 

【解析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质及等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
根据等腰三角形三线合一的性质可得即可求出；
根据等腰三角形三线合一的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明．
 

25.【答案】证明：如图，连接DM，DN，

、CM分别是的两条高，
，，
，
是BC的中点，
，，
，
又为MN的中点，
．
 

【解析】连接DM，DN，根据直角三角形的性质得到，，可得到，根据等腰三角形的性质即可证明．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形判定与性质及直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．