北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定精品课后复习题

这是一份北师大版九年级上册3 正方形的性质与判定精品课后复习题，共37页。试卷主要包含了0分），【答案】A，【答案】D，【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。


1.3中发现的性质与判定同步练习北师大版初中数学九年级上册
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：

甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；
乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．
对于以上两种作法，可以做出的判定是(    )
A. 甲正确，乙错误 B. 甲、乙均正确
C. 乙正确，甲错误 D. 甲、乙均错误
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    )
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直
C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直平分且相等
3. 如图，将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(     )
A. 邻边相等的矩形是正方形
B. 对角线相等的菱形是正方形
C. 两个全等的直角三角形构成正方形
D. 轴对称图形是正方形

4. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在边AC，BC上运动，且保持AD=CE.连接DE，DF，EF.在此运动变化过程中，有下列结论：
 ①△DEF是等腰直角三角形; ②四边形CDFE不可能为正方形; ③△CDE与△DAF不可能全等; ④四边形CDFE的面积保持不变; ⑤△CDE面积的最大值为8．
其中正确的结论是(    )
A.  ① ② ③ B.  ① ③ ④ C.  ③ ④ ⑤ D.  ① ④ ⑤
5. 如图，已知边长为4的正方形ABCD中，点E，F分别为AB，CD的中点，连接AC，点G，H在AC上，且AC=4AG=4CH，则四边形EHFG的面积为(    )
A. 8
B. 4
C. 163
D. 83
6. 如图，已知直线l1//l2//l3//l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则正方形ABCD的面积为(    )
A. 4
B. 5
C. 9
D. 245
7. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE.请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：
小青：OE=OF；
小何：四边形DFBE是正方形；
小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；
小雨：∠ACE=∠CAF．
这四位同学写出的结论中不正确的是(    )


A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨
8. 在直线L上依次放着三个正方形，已知斜放的正方形的面积为2，正放的两个正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为(    )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 4
9. 关于四边形，下列说法正确的是(    )
A. 对角线相等的是矩形
B. 对角线互相垂直的是菱形
C. 对角线互相垂直且相等的是正方形
D. 对角线互相平分的是平行四边形
10. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是(    )
A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直
C. 对角线平分对角 D. 对角线互相平分
11. 如图，在四边形ABCD中，AB= BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为4，则BE等于(    )．
A. 1
B. 3
C. 2
D. 2.5
12. 如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG，则图中阴影部分的面积为(      )
A. 12
B. 33
C. 1−34
D. 1−33
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，B、E、F、D四点在同一条直线上，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为50cm2，则菱形的边长为______cm．

14. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为________m．


15. 如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是________. 



16. 如图，在正方形ABCD中，AD=43，把边CD绕点C逆时针旋转30度得到线段CE，连接BE并延长，交AD于点F，连接DE，则线段EF的长度为_________．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
17. 如图，正方形ABCD的边长为8cm，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．

(1)求证：四边形EFGH是正方形．
(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由．







18. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．


(1)试猜想AE与GC的位置关系和数量关系：______．
(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．







19. 如图1，在平行四边形ABCD中，AB=8，AD=14，∠BAD的平分线交BC于点E交DC的延长线于F，以EC，CF为邻边作▱FCFG．
(1)求EC的长；
(2)求证：▱ECFG是菱形；
(3)如图2，若∠ABC=90°，M是EF的中点，求DM的长．








20. 如图，正方形ABCD的边长为22，对角线AC、BD相交于点O，E是OC的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F．

(1)求证：AF=BE;
(2)求点E到BC边的距离．







21. 下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
(1)如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，P′B=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2．
∴△BPP′为  三角形．
∴∠APB的度数为　．
(2)类比延伸
如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD=135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．







22. 以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，连接EB、FD，交点为G．

(1)当四边形ABCD为正方形时(如图1)，EB和FD的数量关系是______；
(2)当四边形ABCD为矩形时(如图2)，EB和FD具有怎样的数量关系？请加以证明；
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD是否发生变化？如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD的度数．







23. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF，
(1)观察猜想
如图1，当点D在线段BC上时，
①BC与CF的位置关系为：_____．
②BC，CD，CF之间的数量关系为：_____；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=22，CD=14BC，请求出GE的长．








24. 如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，点E在对角线AC上，BE=BA，BF⊥AC于点F，BF的延长线交AD于点G.点H在BC的延长线上，且CH=AG，连接EH．

(1)若BC=122，AB=13，求AF的长；
(2)求证：EB=EH．







25. 如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．


(1)求证：△BED≌△CFD;
(2)若∠A=90∘，求证：四边形DFAE是正方形．







答案和解析
1.【答案】B

【解析】
【分析】
此题主要考查了复杂作图以及正方形的判定方法，正确利用作图方法得出对应角的关系是解题关键．直接利用基本作图方法得出对应边以及对应角的关系，进而结合正方形的判定方法分析得出答案．
【解答】
解：由甲的作法可得：DF=AD=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//DC，∠A=90°，
∵DF= //AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A=90°，
∴平行四边形AEFD是矩形，
∵AD=AE，
∴矩形AEFD是正方形，
故甲的作法正确；

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠CDA=∠DAB=90°，
由乙的作法可得：∠ADN=∠MDN=∠DAM=∠NAM=45°，
则AD=AN=DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB//DC，
∴DM= //AN，
∴四边形ANMD是平行四边形，
∵∠DAB=90°，
∴平行四边形ANMD是矩形，
∵AD=AN，
∴矩形ANMD是正方形，
故乙的作法正确．
故选：B．  
2.【答案】A

【解析】
【分析】
本题主要考查了正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质，理解四个图形之间的关系是解题关键．
平行四边形、矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形的性质就是四个图形都具有的性质．
【解答】
解：平行四边形的对角线互相平分，而对角线相等、平分一组对角、互相垂直不一定成立．
故平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是：对角线互相平分．
故选：A．  
3.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了正方形的判定定理，邻边相等的矩形是正方形，和翻折变换．将长方形纸片折叠，使A点落BC上的F处，可得到BA=BF，折痕为BE，沿EF剪下，故四边形ABFE为矩形，且有一组邻边相等，故四边形ABFE为正方形．
【解答】
解：∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，
∴BA=BF，
∵折痕为BE，沿EF剪下，
∴四边形ABFE为矩形，
∵BA=BF，
∴四边形ABFE为正方形．
故用的判定定理是：邻边相等的矩形是正方形．
故选A．
  
4.【答案】D

【解析】解：如图，连接CF．

∵△ABC是等腰直角三角形，F是AB的中点，
∴∠FCB=∠A=45∘，CF=AF=FB．
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF(SAS)．
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD. 
∵∠AFD+∠CFD=90∘，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90∘．
∴△EDF是等腰直角三角形．
当D，E分别为AC，BC中点时，四边形CDFE是正方形．
∵△ADF≌△CEF，
 S△ADF．
∴S四边形CEFD=S△AFC．
由于△DEF是等腰直角三角形，因此当DE最小时，DF也最小，
即当DF⊥AC时，DE最小，此时DF=12AC=4．

当△CDE面积最大时，△DEF的面积最小．
此时 S△AFC−S△DEF=16−8=8．
则结论正确的是 ① ④ ⑤．
故选D．


5.【答案】B

【解析】解：如图，连接BD交AC于点O，连接EF．

∵四边形ABCD是正方形， 
∴AB//CD，AB=CD．
∴ ∠EAG=∠FCH．
∵点E，F分别为AB，CD的中点，
∴ AE=CF．
∵AC=4AG=4CH，
∴AG=OG=OH=CH．
∴△EAG≌△FCH(SAS)．
∴ EG=FH，∠AGE=∠CHF．
∴∠EGH=∠FHG．
∴EG//FH．
∴四边形EHFG是平行四边形．
∴GH与EF互相平分．
∴EF经过点O．
，
又∵AG=OG，
，
∴ S四边形EHFG=4SEOG=4．
故选B．


6.【答案】B

【解析】
【分析】此题主要考查了正方形的性质和面积计算和勾股定理，根据平行线之间的距离构造全等的直角三角形是关键，再根据勾股定理即可得到正方形面积．
过D点作直线EF与平行线垂直，与l1交于点E，与l4交于点F.易证△ADE≌△DFC，得CF=1，DF=2.根据勾股定理可求CD2得正方形的面积．
【解答】
解：如图，过点D作EF⊥l2，交l1于点E，交l4于点F．

∵l1//l2//l3//l4，EF⊥l2，
∴EF⊥l1，EF⊥l4，即∠AED=∠DFC=90°．
∵四边形ABCD为正方形．
∴∠ADC=90°．
∴∠ADE+∠CDF=90°．
又∵∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠CDF=∠DAE．
在△ADE和△DCF中，
∠DEA=∠CFD,∠EAD=∠FDC,AD=DC,
∴△ADE≌△DCF，
∴CF=DE=1．
∵DF=2，
∴CD2=12+22=5，即正方形ABCD的面积为5．
故选B．
  
7.【答案】B

【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，一一判断即可．
本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质正方形的判定、菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，CD//AB，
∴∠ECO=∠FAO，(故小雨的结论正确)，
在△EOC和△FOA中，
∠EOC=∠AOF∠ECO=∠OAFOC=OA，
∴△EOC≌△FOA，
∴OE=OF(故小青的结论正确)，
∴S△EOC=S△AOF，
∴S四边形AFED=S△ADC=12S平行四边形ABCD，
∴S四边形AFED=S四边形FBCE，故小夏的结论正确，
∵△EOC≌△FOA，
∴EC=AF，
∵CD=AB，
∴DE=FB，DE//FB，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵OD=OB，EO⊥DB，
∴ED=EB，
∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误，
故选B．  
8.【答案】C

【解析】解：如图，S1=AB2，S2=DE2，AC2=2，AC=CD，∠ABC=∠ACD=∠DEC=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
在△ABC和△CED中
∠BAC=∠DCE∠ABC=∠DECAC=CD
∴△ABC≌△CED(AAS)，
∴BC=DE，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2=2，
∴DE2+AB2=2，
即S1+S2=2，
故选C．
根据正方形性质得出S1=AB2，S2=DE2，AC2=2，AC=CD，∠ABC=∠ACD=∠DEC=90°，得到∠BAC=∠DCE，根据AAS判定△ABC≌△CED，推出BC=DE，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2=2，求出DE2+AB2=2，即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识的综合应用．解决问题的关键是根据全等三角形，将DE转化为BC，或将AB转化为CE．

9.【答案】D

【解析】解：A、对角线互相平分且相等的是矩形，故选项错误，不符合题意；
B、对角线互相平分且垂直的是菱形，故选项错误，不符合题意；
C、对角线互相平分、垂直且相等的是正方形，故选项错误，不符合题意；
D、对角线互相平分的是平行四边形，故选项正确，符合题意．
故选：D．
利用正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质进行依次判断可求解．
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，灵活运用这些判定定理解决问题是本题的关键．

10.【答案】D

【解析】解：∵矩形、菱形、正方形都是平行四边形，
∴它们都具有的性质是对角线互相平分，
故选项D符合题意，选项A、B、C不符合题意，
故选：D．
根据矩形、菱形、正方形都是平行四边形，从而可以得到它们都具有的性质，本题得以解决．
本题考查正方形的性质、菱形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确矩形、菱形、正方形都是平行四边形．

11.【答案】C

【解析】
【分析】
此题考查三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．运用割补法把原四边形转化为正方形，求出BE的长．
【解答】
解：如图，

过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，
∵∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，
∴四边形EDFB是矩形，∠EBF=90°，
∴∠ABE=∠CBF，
∵在△BCF和△BAE中，
∠F=∠BEA∠CBF=∠ABEAB=BC ，
∴△BCF≌△BAE(ASA)，
∴BE=BF，
∴四边形EDFB是正方形，
∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=4，
∴BE=4=2．
故选C．
  
12.【答案】D

【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形．
设EF与CD的交点为H，连接AH，利用全等三角形∠DAH=∠EAH，再根据正方形的性质及旋转角求出∠DAH=30°，再解直角三角形求出DH，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积−四边形ADHE的面积，列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，设EF与CD的交点为H，连接AH，

在Rt△AHE和Rt△ADH中，AH=AH,AE=AD,
∴Rt△AHE≌Rt△ADH(HL)，
∴∠DAH=∠EAH，
∵旋转角为30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DAH=12×60°=30°，
∴DH=1×33=33，
∴阴影部分的面积=1×1−2×(12×1×33)=1−33．
故选D．  
13.【答案】13

【解析】解：连接AC，BD交于点O，

∵B、E、F、D四点在同一条直线上，
∴E，F在BD上，
∵正方形AECF的面积为50cm2，
∴12AC2=50，AC=10cm，
∵菱形ABCD的面积为120cm2，
∴12AC⋅BD=120，BD=24cm，
所以菱形的边长AB=52+122=13cm．
故答案为：13．
根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答．

14.【答案】4600

【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF，DE=GE．
连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE.在矩形GECF中，EF=CG.要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行．
【解答】
解：连接GC，

∵四边形ABCD为正方形，
所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，
∵∠CDB=45°，GE⊥DC，
∴△DEG是等腰直角三角形，
∴DE=GE．
在△AGD和△GDC中，
AD=DC∠ADG=∠CDGDG=DG
∴△AGD≌△GDC
∴AG=CG
在矩形GECF中，EF=CG，
∴EF=AG．
∵BA+AD+DE+EF−BA−AG−GE
=AD=1500m．
∵小敏共走了3100m，
∴小聪行走的路程为3100+1500
=4600(m)
故答案为：4600  
15.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理.连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【解答】
解：如图，连接AC、CF，

∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，
∴AC=，CF=3，
∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
由勾股定理得，AF=AC2+CF2=25，
∵H是AF的中点，
∴CH=12AF=12×25=5. 
故答案为5．
  
16.【答案】 8-43

【解析】
【分析】
本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质，解决旋转问题时，若出现旋转角是特殊角，比如30°或60°时，一般会利用等边三角形知识求解，若旋转角是45°或90°时，则会利用等腰直角三角形知识求解．
根据旋转的性质和正方形的性质可知△BEC是等边三角形，则BE=43，在Rt△ABF中借助AB=43，∠ABF=30°，可求BF值，最后EF=BF−BE即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠BCD=90°．
根据旋转的性质可知DC=EC=BC，
∠ECB=90°−30°=60°，
∴△BEC是等边三角形，
∴BE=BC=43，∠EBC=60°，
∴∠ABF=90°−60°=30°，
∴BF=2AF，
在Rt△ABF中，(2AF)2−AF2=AB2，
即3AF2=432
解得AF=4，
∴BF=8，
∴EF=BF−BE=8−43．
故答案为8−43．
  
17.【答案】(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90∘，
AB=BC=CD=AD．
∵AE=BF=CG=DH，
∴BE=CF=DG=AH．
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．
∴HE=EF=FG=GH，∠1=∠2.
∴四边形EFGH为菱形．
∵∠1+∠3=90∘，
∴∠2+∠3=90∘．
∴∠HEF=90∘．
∴四边形EFGH是正方形．

(2)解：直线EG经过一个定点.理由如下：
如图，连结BD，DE，BG.设EG与BD相交于O点．
∵BE= //DG，
∴四边形BGDE为平行四边形．
∴BD，EG互相平分．
∴BO=OD．
∴点O为正方形的中心．
∴直线EG必过正方形的中心．
即直线EG经过一个定点．


【解析】见答案

18.【答案】(1)AE⊥GC，AE=GC；
(2)答：成立；
证明：如图2中，延长AE和GC相交于点H．

在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°−∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，AE=CG，
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°−∠DCE=180°−90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．

【解析】
【分析】
本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
(1)观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1=∠2，AE=CG，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．
(2)题(1)的结论仍然成立，参照(1)题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，AE=CG，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由图知∠AEB=∠CEH=90°−∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得证．
【解答】
解：(1)答：AE⊥GC；
证明：如图1中，延长GC交AE于点H．

在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2，AE=GC，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°−(∠1+∠3)=180°−90°=90°，
∴AE⊥GC．
故答案为AE⊥GC，AE=GC．
(2)见答案．  
19.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=14，AD//BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BE=AB=8，
∴EC=BC−BE=14−8=6；
(2)证明：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠CFE，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF，
又∵四边形ECFG是平行四边形，
∴▱ECFG是菱形；
(3)解：过M作MH⊥DF于H，如图2所示：
∵∠ABC=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=∠ECF=90°，
由(2)可知：四边形ECFG为菱形，
∴四边形ECFG为正方形，
∴∠CEF=45°，∠ECF=90°，
∴∠AEB=∠CEF=45°，CE⊥CF，
∴BE=AB=8，
∴CE=CF=14−8=6，
∵M是EF的中点，
∴EM=FM，
∵MH⊥CF，
∴MH//CE，
∴MH是△CEF的中位线，
∴CH=FH=12CF=3，MH=12CE=3，
∴DH=CD+CH=8+3=11，
∴DM=DH2+MH2=112+32=130．

【解析】(1)证∠BAE=∠BEA，则BE=AB=8，即可求解；
(2)证∠CEF=∠CFE，则CE=CF，即可得出结论；
(3)过M作MH⊥DF于H，证四边形ECFG为正方形，则∠CEF=45°，∠ECF=90°，得BE=AB=8，则CE=CF=6，再证MH是△CEF的中位线，得CH=FH=12CF=3，MH=12CE=3，则DH=CD+CH=11，然后由勾股定理求解即可．
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明CE=CF是解题的关键．

20.【答案】解：
(1)证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OA=OB，∠AOB=∠BOC=90∘，
∴∠OBE+∠BEO=90∘，
∵AM⊥BE，
∴∠AME=90∘，
∴∠MAE+∠BEO=90∘，
∴∠MAE=∠OBE，
在△AOF和△BOE中，∠AOF=∠BOE,AO=BO,∠OAF=∠OBE,
∴△AOF≌△BOE(ASA)，
∴AF=BE．
(2)过点E作EN⊥BC于点N，如图，

∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90∘，∠OCB=45∘，
在Rt△OBC中，2OC2=BC2，
∴OC=2，
∵E是OC的中点，
∴CE=1，
在Rt△ECN中，
∵∠ECN=45∘，
∴EN=NC，
∴2EN2=EC2，
∴EN=22CE=22，
即点E到BC边的距离为22．

【解析】略

21.【答案】解：(1)直角 ，150°；
(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下：
如图2，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′．
则P′B=PD，P′A=PA，∠PAP′=90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′2=PA2+P′A2=2PA2，∠PP′A=45°，
∵∠APD=135°，
∴∠AP′B=∠APD=135°，
∴∠PP′B=135°−45°=90°，
在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2=PB2，
∴2PA2+PD2=PB2．

【解析】解：(1)如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′=PA=3，PB=4，P′B=PC=5，
∴P′P2+PB2=P′B2．
∴△BPP′为直角三角形．
∴∠APB的度数为90°+60°=150°．
故答案为：直角；150°；
(2)见答案．
(1)根据勾股定理的逆定理可得到△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，即可得到∠APB的度数；
(2)把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，根据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状可得P′B=PD，P′A=PA，然后求出△APP′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出PP′2=2PA2，∠PP′A=45°，再求出∠PP′B=90°，然后利用勾股定理得出PP′2+P′B2=PB2，等量代换得出2PA2+PD2=PB2．
本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理．

22.【答案】解：(1)EB=FD;
(2)EB=FD．

证：∵△AFB为等边三角形
∴AF=AB，∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD；
(3)解：

同(2)易证：△FAD≌△BAE，
∴∠AEB=∠ADF，
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为(60−x)°，∠EDF为(60+x)°，
∴∠EGD=180°−∠BED−∠EDF
=180°−(60−x)°−(60+x)°
=60°．

【解析】(1)EB=FD，
理由如下：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，
∵以四边形ABCD的边AB、AD为边分别向外侧作等边三角形ABF和ADE，
∴AF=AE，∠FAB=∠EAD=60°，
∵∠FAD=∠BAD+∠FAB=90°+60°=150°，
∠BAE=∠BAD+∠EAD=90°+60°=150°，
∴∠FAD=∠BAE，
在△AFD和△ABE中，
AF=AE∠FAD=∠BAEAD=AB，
∴△AFD≌△ABE，
∴EB=FD；
(2)EB=FD．

证：∵△AFB为等边三角形
∴AF=AB，∠FAB=60°
∵△ADE为等边三角形，
∴AD=AE，∠EAD=60°
∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD，
即∠FAD=∠BAE
∴△FAD≌△BAE
∴EB=FD；
(3)解：

同(2)易证：△FAD≌△BAE，
∴∠AEB=∠ADF，
设∠AEB为x°，则∠ADF也为x°
于是有∠BED为(60−x)°，∠EDF为(60+x)°，
∴∠EGD=180°−∠BED−∠EDF
=180°−(60−x)°−(60+x)°
=60°．
(1)EB=FD，利用正方形的性质、等边三角形的性质和全等三角形的证明方法可证明△AFD≌△ABE，由全等三角形的性质即可得到EB=FD；
(2)当四边形ABCD为矩形时，EB和FD仍旧相等，证明的思路同(1)；
(3)四边形ABCD由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD不发生变化，是一定值，为60°．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质以及矩形的性质，题目的综合性很强，难度也不小，解题的关键是对特殊几何图形的性质要准确掌握．

23.【答案】垂直  BC=CD+CF

【解析】解：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠B=∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；
故答案为：垂直；
②△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∵BC=BD+CD，
∴BC=CF+CD；
故答案为：BC=CF+CD；

(2)CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC．
∵正方形ADEF中，AD=AF，
∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△DAB与△FAC中，AD=AF∠BAD=∠CAFAB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ABD=∠ACF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°．
∴∠ABD=180°−45°=135°，
∴∠BCF=∠ACF−∠ACB=135°−45°=90°，
∴CF⊥BC．
∵CD=DB+BC，DB=CF，
∴CD=CF+BC．

(3)解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=2AB=4，AH=12BC=2，
∴CD=14BC=1，CH=12BC=2，
∴DH=3，
由(2)证得BC⊥CF，CF=BD=5，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=DE，∠ADE=90°，
∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，
∴四边形CMEN是矩形，
∴NE=CM，EM=CN，
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°，
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，
∴∠ADH=∠DEM，
在△ADH与△DEM中，∠ADH=∠DEM∠AHD=∠DMEAD=DE，
∴△ADH≌△DEM，
∴EM=DH=3，DM=AH=2，
∴CN=EM=3，EN=CM=3，
∵∠ABC=45°，
∴∠BGC=45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∴CG=BC=4，
∴GN=1，
∴EG=GN2+EN2=10．
(1)①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论；
(2)根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到BC=2AB=4，AH=12BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．

24.【答案】解：(1)如图，∵BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=122，
∴等腰Rt△BCF中，BF=FC=12，
又∵AB=13，
∴Rt△ABF中，AF=132−122=5；
(2)如图，连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，

∵BE=BA，BF⊥AC，
∴AF=FE，
∴BG垂直平分AE，
∴AG=EG，AP=EP，
∵∠GAE=∠ACB=45°，
∴△AGE是等腰直角三角形，即∠AGE=90°，
△APE是等腰直角三角形，即∠APE=90°，
∴∠APE=∠PAG=∠AGE=90°，
又∵AG=EG，
∴四边形APEG是正方形，
∴PF=EF，AP=AG=CH，
又∵BF=CF，
∴BP=CE，
∵∠APG=45°=∠BCF，
∴∠APB=∠HCE=135°，
∴△APB≌△HCE(SAS)，
∴AB=EH，
又∵AB=BE，
∴BE=EH．

【解析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定以及全等三角形的判定与性质的运用，属于中档题．
(1)依据BF⊥AC，∠ACB=45°，BC=122，可得等腰Rt△BCF中，BF=12，再根据勾股定理，即可得到Rt△ABF中，AF=132−122=5；
(2)连接GE，过A作AP⊥AG，交BG于P，连接PE，判定四边形APEG是正方形，即可得到PF=EF，AP=AG=CH，进而得出△APB≌△HCE，依据AB=EH，AB=BE，即可得到BE=EH．

25.【答案】证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED=∠CFD=90∘．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C.
∵D是BC的中点，
∴BD=CD．
∴△BED≌△CFD．
(2)∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90∘．
又∵∠A=90∘，
∴四边形DFAE为矩形．
由(1)知，△BED≌△CFD，
∴DE=DF．
∴四边形DFAE是正方形．


【解析】见答案