北师大版九年级上册第四章 图形的相似4 探索三角形相似的条件优秀复习练习题

4.4探索三角形相似的条件同步练习北师大版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，D在BC上，和均为等边三角形，AC与DE相交于点F，则图中相似三角形有

A. 3对
B. 4对
C. 5对
D. 6对

2. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，点E是边AB上的动点，当、、两两相似时，则

A.
B.
C. 或
D. 或1

3. 如图，点P在的边AC上，要判断∽，添加一个条件，不正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 若和满足下列条件，其中使两个三角形相似的是    ．

A. AB，BC，AC，AB，BC，AC
B. AB，BC，AC，AB，BC，
C. AB，BCAC，，
D. AB，，AC，，，

5. 已知中，，，点P是边AC上一点不与A、C重合，过P点的一条直线与的边相交，所构成的三角形与原三角形相似，这样的直线有条．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6. 如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有

A. ∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽
 

7. 如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且，，那么有

A.
B.
C.
D.
 

8. 下列四个三角形，与如图中的三角形相似的是

A.
B.
C.
D.

9. 如图所示，给出下列条件：  其中单独能够判定∽的个数为    

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

10. 如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断∽的是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在中，高BD，CE相交于点F，图中与相似的三角形共有

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

12. 在梯形ABCD中，，下列条件中，不能判断梯形ABCD是等腰梯形的是

A. ； B. ；
C. ； D. ．

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，在中，，，点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过          s后，与相似．

14. 如图，已知在中，，，，E是AB的中点，F是AC边上一个动点将沿EF折叠，使点A落在处如果与相似，那么EF的长为          ．
     

15. 如图，锐角的高CD和高BE相交于点O，则与相似的三角形有：          ．
    
    
     

16. 如图，点F是边AB上的一点，射线CF交DA的延长线于点E，则图中相似的三角形共有          对

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC上一点，连接AE，F为AE上一点，且求证：∽．
     

18. 如图，在正方形ABCD中，P是AB边上的一个动点与A，B均不重合，将线段PD绕点P顺时针旋转后，得到线段PE，且PE交BC于点M，过点E作的延长线于点F，连接DM，CF．
    求证：且；
    当点P在何处时，∽？请说明理由．

19. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿AC向点C以的速度移动，点Q从点C出发，沿CB向点B以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
    问点P、Q同时出发，几秒后可使PQ的长为？
    问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？
     

20. 如图，在中，，，，点P从点A出发，向终点C边以的速度运动，点Q从点C出发，沿着终点B边以的速度运动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
    如果P与Q同时出发，经过多少秒后，可以使的面积为面积的三分之一．
    如果P与Q同时出发，经过多少秒后，可以使和相似．

21. 如图，AD、CE是的高，AD与CE相交于点F，连接ED．
    求证：∽；
    求证：∽．
    
     

22.  如图，，，，点P从点C出发，以的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
    
    求经过几秒后，的面积等于面积的？
    经过几秒，与相似？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，点B，C分别在的边AD，AE上，且，，，求证：∽．

24. 如图，，求证：∽．

25. 如图，在的正方形网格中，点A、B、C、E、F都在小正方形的顶点上，试在该网格中找点D，连接DE、DF，使得与相似，且点E与点C对应，点F与点B对应．
    
     

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：图中的相似三角形有∽，∽，∽，∽，∽；理由如下：
和均为等边三角形，
，
∽；
，
，
∽；
，，
∽，
∽；
，，
∽；
故选：C．
本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
由等边三角形的性质得出，得出∽，再证出，得出∽；由，，证出∽，得出∽；由，，即可得出∽；
 

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形，属于较难题．
分情况讨论，进行求解即可．
【解答】
解：分两种情况：
当时，如图1，
过E作于F，

，，
与CD不平行，
当、、两两相似时，
，
，
，
，，
；
当时，如图2，

当、、两两相似时，
，
，
，
，
，
，
综上，AE的值为或1；
故选：D．  

3.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了相似三角形的判定解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比例且夹角相等的三角形相似定理的应用．
相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
【解答】
解：，，
∽，故本选项不合题意；
B. ，，
∽，故本选项不合题意；
C.，，
∽，故本选项不合题意；
D. 根据和，不能判断∽，故本选项符合题意；
故选D．  

4.【答案】B
 

【解析】解：A、由知，与不相似，故本选项不符合题意；
B、由知，与相似，故本选项符合题意；
C、由知，与不相似，故本选项不符合题意；
D、由知，与不相似，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
 

5.【答案】D
 

【解析】解：如图，

过点P作AB的平行线，或作BC的平行线，或作AB的垂线，或作，共4条直线，
故选：D．
过点P作直线与另一边平行或垂直，或即可．
本题主要考查三角形相似的判定．注意有两个角相等的三角形相似．
 

6.【答案】D
 

【解析】解：：：3，
：：2；
是正三角形，
；
，
：：：2
：：BC；
，
∽；
故选：D．
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定∽．
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了等边三角形的性质．
 

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查的是等边三角形的性质，相似三角形的判定定理： 两角对应相等的两个三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； 三边对应成比例的两个三角形相似．根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定∽．
【解答】
解：：：3，
：：2；
是正三角形，
；
，
：：：2
：：BC；
为公共角，
∽；
故选D．

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要应用两三角形相似的判定定理，相似三角形的判定方法有：两角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两三角形相似，解答此题先根据勾股定理求出三角形的边长，然后看三边是否成比例即可．
【解答】
解：设单位正方形的边长为1，则给出的三角形三边长分别为，，．
A.三角形三边分别是2，，，与给出的三角形的各边不成比例，故A选项错误；
B.三角形三边，4，，与给出的三角形的各边不成比例，故B选项错误；
C.三角形三边2，3，，与给出的三角形的各边不成比例，故C选项错误；
D.三角形三边2，4，，与给出的三角形的各边成正比例，故D选项正确．
故选D．  

9.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键由图可知与中为公共角，所以只要再找一组角相等，或的邻边对应边成比例即可解答．
【解答】
和，是同一个三角形内的两个角，不能够判定两个三角形相似；
，再加上为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
不是已知的比例线段的夹角，不正确；
根据两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选B．  

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】
解：，
当或时，∽；
当即时，∽．
故选A．  

11.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似先利用高的定义得到，再利用等角的余角相等得到，加上，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断∽，利用同样的方法得到∽，∽，所以∽∽∽．
【解答】
解：高BD、CE相交于点F，
，
，
，
，
∽，
，，
∽，
同理可得∽，
∽∽∽．
故选C．  

12.【答案】D
 

【解析】略
 

13.【答案】1或
 

【解析】略
 

14.【答案】或
 

【解析】略
 

15.【答案】∽，∽，∽
 

【解析】略
 

16.【答案】3
 

【解析】略
 

17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，且，
又，
，
，
∽．
 

【解析】由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论．
本题主要考查相似三角形的判定和平行线的性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

18.【答案】解：证明：在正方形ABCD中，P在边AB上，且，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又，
四边形PFCD是平行四边形，
，，
，
．
当点P是AB的中点时，∽．
理由：∽，
，
，，
∽，
，
，
，
即点P是边AB的中点，
当点P恰好是AB边的中点时，∽．
 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，得出四边形PFCD是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，则可得出结论；
由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
此题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：设t秒后，可使PQ的长为，则，，
，
，
根据勾股定理得：，解得：或，
秒或秒后可使PQ的长为．
设t秒后可使∽，则，，
当∽时，，即，
解得：．
秒后可使∽．
 

【解析】设t秒后，可使PQ的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出t的值，
设t秒后可使∽，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可．
本题主要考查了是相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键．
 

20.【答案】解：，，，
，
的面积为面积的三分之一，
的面积为，
设xs后，可使的面积为．
由题意得，，，，
则，
整理得，
解得，．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使的面积为面积的三分之一．

设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与相似，则，．
当∽时，，
即，
解得：．
当∽时，，
即，
解得：．
综上所述，经过秒或秒时，以P、C、Q为顶点的三角形与相似．
 

【解析】设P、Q同时出发，x秒钟后，，，，依据的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
本题主要考查的是相似三角形的性质，三角形的面积公式，依据题意列出方程是解题的关键．
 

21.【答案】证明：、CE是的高，
，
，
∽．

证明：∽，
，
，
，
∽．
 

【解析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
根据两边成比例夹角相等的两个三角形相似证明即可．
本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设经过x秒，的面积等于面积的，
，
解得：，
答：经过4秒后，的面积等于面积的；

设经过t秒，与相似，
因为，
所以分为两种情况：，
，
解得：；
，
，
解得：；
答：经过秒或秒时，与相似．
 

【解析】本题考查了三角形的面积，直角三角形，相似三角形的判定等知识点，能得出关于x的方程是解的关键，能求出符合的所有情况是解的关键．
设经过x秒，的面积等于面积的，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；
根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
 

23.【答案】证明：，，
．
又，
∽．
 

【解析】见答案．
 

24.【答案】证明：，，，
．
又，
即，
∽．
 

【解析】见答案．
 

25.【答案】解：与相似，且点E与点C对应，点F与点B对应，
∽，
，
，，，
，，
如图，∽．

 

【解析】由题意可求出，，在图中可画出D点即可．
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定，求出DE和DF的长是解题的关键．