2021学年1.3 空间向量及其运算的坐标表示精品练习

1.3空间向量及其运算的坐标表示同步练习人教  A版（2019）高中数学选择性必修第一册

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知O为坐标原点，向量，点，若点E在直线AB上，且，则点E的坐标为   

A.  B.  C.  D.

2. 已知、1，两点，则直线AB与空间直角坐标系中的yOz平面的交点坐标为

A. 0， B.  C.  D.

3. 若向量0，与向量1，的夹角的余弦值为，则z等于

A. 0 B. 1 C.  D. 2

4. 在空间直角坐标系中，关于   对称

A. 原点 B. x轴 C. y轴 D. z轴

5. 若向量在空间的一个单位正交基底下的坐标是3，，则在基底下的坐标是   

A.  B. 1， C.  D. 3，

6. 已知向量，，若，则

A.  B.  C.  D. 2

7. 已知，，，则等于

A.  B.  C.  D. 5

8. 设x，，向量1，，y，，，且，，则 

A.  B.  C. 3 D. 4

9. 向量，0，，，下列结论正确的是 

A. ， B. ，
C.  ， D. 以上都不对

10. 如图，已知正三棱柱的棱长均为2，则异面直线与所成角的余弦值是                  

A.  B.  C.  D. 0

11. 点关于xOy平面的对称点为     

A.  B.  C.  D.

12. 在空间直角坐标系中，给出以下结论：
    点关于x轴的对称点的坐标为；
    点关于Oxy平面对称的点的坐标是；
    已知点与点，则AB的中点坐标是；
    两点间的距离为其中正确的是   

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知向量1，，0，，且与的夹角为钝角，则实数k 的取值范围为          ．
14. 空间向量，，如果，则          ．
15. 在空间直角坐标系中，设点M是点关于坐标平面xOy的对称点，点关于x轴对称点Q，则线段MQ的长度等于          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知空间向量若则          ；若则的最小值为          ．
17. 已知向量，，则向量与的夹角为          ；若与互相垂直，则k的值是          ．
18. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，那么，在空间直角坐标系中，2，关于x轴的对称点坐标为          ，若点关于xOy平面的对称点为点，则          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知空间向量，，．

若，求；

若，求的值．






 

20. 如图所示，在长方体中，，，点M在上，，N在上且为中点建立适当空间直角坐标系，求M、N两点间的距离．
     

21. 已知空间中三点2，，1，，，设，．
    求向量与向量的夹角
    若与互相垂直，求实数k的值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知向量，5，．

当与平行时，求实数的值；

当与垂直时，求实数的值．






 

23. 已知空间三点，，设，，
    求和的夹角；
    若向量与互相垂直，求k的值．
    求
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的基本定理的应用以及利用空间向量解决垂直问题，属于中档题．
利用点E在直线AB上，可得的坐标为，然后利用，即可求解E的坐标．

【解答】

解：点E在直线AB上，


，
且，
，
，
故点E的坐标为，
故选A．

2.【答案】B
 

【解析】

【分析】

设直线AB与空间直角坐标系中的yOz平面的交点C的坐标为a，，则由题意得，求出a，b，即可得出结论．
本题考查空间点的坐标，比较基础．

【解答】

解：设直线AB与空间直角坐标系中的yOz平面的交点C的坐标为a，，
则由题意得，
解得，，
所以C点坐标为．
故选：B．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用空间向量夹角余弦公式直接求解．

【解答】

解：向量0，与向量1，的夹角的余弦值为，

，
解得．
故选：A．

4.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，属于基础题．
先根据空间直角坐标系对称点的特征，点y，关于y轴的对称点的坐标为只须将横坐标、竖坐标变成原来的相反数，即可得对称点的坐标．

【解答】

解：在空间直角坐标系中，点y，关于y轴的对称点的坐标为：y，，
点与点关于y轴对称，
故选C．

5.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量基本定理及其意义的应用，是中档题，解题时要注意向量相等的合理运用．
设向量在基底下的坐标为y，，由，列出方程组，能求出结果．

【解答】

解：是空间的一个单位正交基底，
在基底下的坐标为3，，
，
设在基底下的坐标为y，，
则，


，
，解得，，，
在基底下的坐标为．
故选C．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量垂直的性质直接求解．

【解答】

解：由，可得，即，
解得．
故选：B．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量的坐标运算和模，属于基础题．
首先根据向量的坐标运算求出，然后根据公式求出即可．

【解答】

解：因为，
所以．
故选A．

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出
【解答】
解：设x，，向量1，，y，，，

且，，
，解得，，
1，，，，，，
．
故选：C．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算，以及空间向量共线与垂直的判断，属于基础题．
根据向量的坐标表示及向量的平行，垂直的判断进行解题即可．

【解答】

解：因为，
所以．
又，
所以 ．
故选C．

10.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查利用空间向量求异面直线所成角的余弦值，属于中档题．
根据题意建立合适空间直角坐标系，求得各点坐标和直线与的方向向量，根据向量的数量积求值即可．

【解答】

解：以AC的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，0，，1，，
所以1，，1，，
，．
故选C．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

根据点b，关于xOy平面的对称点为b，，写出即可．
本题考查了空间直角坐标系中点的对称问题，是基础题．

【解答】

解：点2，关于xOy平面的对称点为2，．
故选：D．

12.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查空间中两点间的距离公式，中点坐标公式，同时考查空间坐标系，根据题意，逐项判断即可．

【解答】

解：点3，关于x轴的对称点的坐标为，故错误；
点2，关于Oxy平面对称的点的坐标是2，，故正确；
已知点1，与点3，，则AB的中点坐标是2，，故正确；
两点1，、3，间的距离为：，故错误；
正确的是．
故选C．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的数量积运算，空间向量的夹角，属于中档题．
由题意求出，，，根据与的夹角为钝角，可得且，结合数量积运算列不等式求出实数k的取值范围．

【解答】

解：1，，0，，
，，
，且、不平行，
与的夹角为钝角，
设与的夹角为，
则与不共线且，
即且，
则且，
即且，
解得且．
故答案为．

14.【答案】3
 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的垂直的判断，向量的数量积的坐标运算，向量的模，属基础题．
根据先求出m的值，再代入即可计算．

【解答】

解：向量， ，且，
，
，解得，
，
．
故答案为3．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查了空间的点关于坐标轴和坐标平面对称的规律，考查了空间两点距离公式的应用，属于基础题．
按照点关于坐标轴和坐标平面对称的规律求出的坐标，然后利用空间两点的距离公式进行求解即可．

【解答】

解：因为点M是点关于坐标平面xOy的对称点，所以．
又因为点关于x轴对称点Q，所以．
因此．
故答案为：．

16.【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查了空间向量平行和垂直的坐标表示，考查了空间向量的数量积及运算律，由共线可得，进而求出xy；由则，即，代入，结合由二次函数性质可得答案．

【解答】

解：4，，
3，，
，
存在实数k使得，

解得，，
；
因为则，即，
故
故的最小值为，当时取最小值，
故答案为2；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的数量积及运算律、空间向量的坐标运算及两个向量垂直的性质、空间向量的模、夹角求解问题，属于基础题．
求出的坐标及模长，求出，代入夹角公式，即可求出向量与的夹角，求出与的坐标，利用，即可求出结果．

【解答】

解：，，
，
，
，
，

，
向量与的夹角为；
，
，
又与互相垂直，
，
，
解得．
故答案为；   

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查空间直角坐标系，关于坐标轴的对称点，点在该坐标轴上的坐标不变，另外的两个坐标变成其相反数即可求出对称点坐标，关于坐标平面的对称点，点在该平面上的坐标不变，另外一个坐标变成其相反数即可求出点的坐标，然后根据两点之间的距离公式即可求出的值

【解答】

解：2，关于x轴的对称点坐标为，
点关于xOy平面的对称点的坐标为，
．
故答案为；．

19.【答案】解：，
，
解得：，
，
故．
，
，
解得：，
，
，，
．
 

【解析】本题考查空间向量的线性运算，考查空间向量的坐标运算，考查求空间向量的模长及数量积，属于基础题．
由得，解出x，从而求得的坐标，根据模长公式求解即可；
由得，解出x，从而求得的坐标，再计算，的坐标，根据空间向量数量积的坐标运算公式计算即可．
 

20.【答案】解：如图所示，分别以AB、AD、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

由题意可知3，，3，，

，
3，，3，．

为的中点，
3，  

又M是的三等分点且靠近点，
1，．

由两点间距离公式，得．

【解析】本题考查空间两点间距离的求法，考查运算求解能力，是中档题．
分别以AB、AD、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出点M，N的坐标，利用两点间距离公式能求出M、N两点间的距离．
 

21.【答案】解：，，

设与的夹角为，
；

，

，

，
且，

，
故．

【解析】本题考查空间向量的数量积及夹角的计算，属于基础题．

由夹角公式求解即可
利用即可求解．

22.【答案】解：由已知得，

1，．

由与平行，

得，

解得．

由已知得，．

由与垂直，

得，

解得．

【解析】本题考查了空间向量的平行与垂直的运算，属于基础题．
先求得与的坐标，再根据两个向量平行的条件，求值；
先求得与的坐标，再根据两个向量垂直的条件，求值．
 

23.【答案】解：空间三点，，．
设，，
，，，
，
，
，
，
解得，
 
．
 

【解析】本题考查空间向量的坐标运算，以及向量的模的平方等于向量的平方，考查运算能力，属于中档题．
运用向量的夹角公式和夹角范围，即可得到；
运用向量垂直的条件，得到k的方程，计算即可得到．
向量的模的公式，计算即可得到．