人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀课堂检测
展开
3.2.1双曲线及其标准方程同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 设点P在双曲线上，若、为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于
A. 22 B. 16 C. 14 D. 12
- 焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为
A. B. C. D.
- 焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为
A. B. C. D.
- 已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是，则的面积为
A. B. C. D.
- 与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为
A. B. C. D.
- 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，，分别是双曲线的左、右焦点，若，则
A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 8
- 已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
- 若双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线E上，且，则等于
A. 11 B. 9 C. 5 D. 3
- 已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是
A. B. C. D.
- 已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若，则的面积为
A. B. C. D.
- 若实数k满足，则曲线 与曲线 的
A. 焦距相等 B. 实半轴长相等 C. 虚半轴长相等 D. 离心率相等
- 已知双曲线C：的焦距为10，点在C的渐近线上，则双曲线C的标准方程为
A. B. C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知双曲线的一个焦点为F，O为坐标原点，在双曲线C的渐近线上取一点P，使得，且的面积为1，则 ．
- 如果方程表示双曲线，则实数a的取值范围是 ．
- 设双曲线的左、右焦点分别为，，若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知双曲线，，是双曲线的左右两个焦点，P在双曲线上且在第一象限，圆M是的内切圆则M的横坐标为 ，若到圆M上点的最大距离为，则的面积为 ．
- 已知点P在双曲线C：上，且点P的横坐标为，双曲线C的左、右焦点分别为，若，则m的值为 ，的面积为 ．
- 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且双曲线C的焦距为10，则 ；若点P在双曲线C上，且，则的面积为 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 设声速为a米秒，在相距10a米的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声的时间差6秒，求炮弹爆炸点所在曲线的方程．
- 求双曲线的焦点坐标及焦距．
- 如图，若是双曲线的两个焦点．
若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
若P是双曲线左支上的点，且，试求的面积．
- 双曲线C与椭圆有相同的焦点，且经过点．
求双曲线C的方程
若，是双曲线C的两个焦点，点P在双曲线C上，且，求的面积．
- 已知p：在平面直角坐标系xOy中，方程表示双曲线；q：实数m满足不等式．
若命题p为真，求实数m的取值范围；
若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线定义，属于基础题．
由双曲线定义得，又，解之得，，进而易得周长．
【解答】
解：由题意知，
由双曲线定义知，
又，
，，
的周长为：．
故选A．
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的概念及标准方程，属于基础题．
由双曲线定义知，，求出a，即可得解．
【解答】
解：由双曲线定义知，，
．
又，
，
因此所求双曲线的标准方程为．
故选A．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的标准方程的求解，属于基础题．
双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为由焦点坐标结合过点求解．
【解答】
解：双曲线的焦点在x轴上，
设双曲线方程为．
由题知，
，
又点在双曲线上，
由解得，，
所求双曲线的标准方程为．
故选A．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．
由题意求得双曲线的右焦点，由PF与x轴垂直，代入即可求得P点坐标，根据三角形的面积公式，即可求得的面积．
【解答】
解：由双曲线C：的右焦点，
PF与x轴垂直，
当P在第一象限时，
设，，
则，即，
，，，
的面积，
同理当P在第四象限时，的面积，
故选D．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查椭圆与双曲线的标准方程，是高考中常见的题型，属于基础题．
先求出椭圆的焦点，然后设出双曲线的标准方程，代入，即可求解．
【解答】
解：椭圆的焦点坐标为，，
设双曲线的标准方程为，
则解得．
所以双曲线的标准方程为．
故选C．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
由双曲线的方程、渐近线的方程求出a再根据双曲线定义即可得解．
【解答】
解：由双曲线的方程，可知渐近线的方程为，
又已知一条渐近线为，可知，
由双曲线的定义可得，
解得，
故选C．
7.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
先求出焦点坐标，利用双曲线的一条渐近线平行于直线l：，可得，结合，求出、，即可求出双曲线的方程．
【解答】
解：双曲线的一个焦点在直线l上，
令，可得，即焦点坐标为，，
双曲线的一条渐近线平行于直线l：，
，
，
，，
双曲线的方程为．
故选A．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．
【解答】
解：由题意，双曲线E：中，，
，在双曲线的左支上，
由双曲线的定义可得，
．
故选B．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法，属于基础题．
由已知可得，利用，解得，又，从而可求n的取值范围．
【解答】
解：双曲线两焦点间的距离为4，
，
当焦点在x轴上时，可得，
解得，
方程表示双曲线，
，
可得，解得，
即n的取值范围是；
当焦点在y轴上时，可得，
解得，无解．
故选A．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程及其简单几何性质，属于基础题．
由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．
【解答】
解：如图，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点．
由双曲线方程可得，，，则，
设P点的坐标为，
则有 ，解得
．
故选：B．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的方程和性质，属于基础题，根据不等式的范围判断a，b，c是解决本题的关键．
根据k的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a，b，c的大小关系即可得到结论．
【解答】
解：当，则，，
即曲线表示焦点在x轴上的双曲线，
其中，，，
曲线表示焦点在x轴上的双曲线，
其中，，，故而虚半轴长和实半轴长都不相等，离心率不同，
两个双曲线的焦距相等，
故选A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用双曲线C：的焦距为10，点在C的渐近线上，建立方程组，求出a，b的值，即可求得双曲线的标准方程．
【解答】
解：双曲线C：的焦距为10，点在C的渐近线上，
，，
，，
双曲线的标准方程为．
故选：A．
13.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的定义和标准方程，及简单几何性质，属于中档题．
根据题意可得双曲线的渐近线方程为，进一步可得P的纵坐标为，表示出三角形的面积即可得，即可求解．
【解答】
解：不妨设F为双曲线的右焦点，c为双曲线的半焦距，
由题意知P的横坐标为，双曲线的渐近线方程为，
设点P在渐近线上，
因为，则P的纵坐标为，
所以的面积为，得，
由题意双曲线知，所以，
解得．
故答案为2．
14.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握双曲线方程的形式，属于基础题．
根据双曲线方程形式得，即可得解．
【解答】
解：方程表示双曲线，
则，解得且，即．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线定义的应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．
由题意画出图形，以P在双曲线右支为例，求出和为直角时的值，可得为锐角三角形时的取值范围．
【解答】
解：如图，
由双曲线，得，，
．
不妨以P在双曲线右支为例，
当轴时，把代入，得，即，
此时，则；
由，得，
又，
两边平方得：，
，
联立解得：，
此时．
使为锐角三角形的的取值范围是．
故答案为：．
16.【答案】1
【解析】
【分析】
利用双曲线的定义以及内切圆的性质，求得M的横坐标由到圆M上点的最大距离，求得圆M的半径，求得直线的方程，由此求得P点的坐标，从而求得，进而求得的面积．
本题主要考查双曲线的定义，考查圆的几何性质、直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．
【解答】
解：双曲线的方程为，则．
设圆M分别与相切于，
根据双曲线的定义可知，根据内切圆的性质可知，
而由得：，所以，
所以直线MA的方程为，即M的横坐标为1．
设M的坐标为，则到圆M上点的最大距离为，
即，解得．
设直线的方程为，即．
M到直线的距离为，解得．
所以线的方程为．
由且P在第一象限，解得．
所以，．
所以的面积为．
故答案为：1；
17.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的几何性质及焦点三角形面积，属于基础题．
由，求得；求出点P的坐标，利用三角形面积公式求得解．
【解答】
解：由题意可知，解得，
此时双曲线的方程为，所以，所以，
所以．
故答案为：．
18.【答案】20
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，余弦定理，三角形面积公式．
根据双曲线的定义和余弦定理列出方程，结合，得出，最后根据三角形面积公式求解即可；
【解答】
解：由题意，知，所以，所以，所以．
设，，则
在中，由余弦定理，知
由及得．
又，
所以．
故答案为：20；
19.【答案】解：以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立直角坐标系．
设炮弹爆炸点的轨迹上的点，由题意可得，
点的轨迹方程为双曲线．
【解析】以直线AB为x轴，线段BA的中点为坐标原点，建立直角坐标系．设炮弹爆炸点的轨迹上的点，由题意可得，可知：点的轨迹方程为双曲线．
本题考查了双曲线的定义及其标准方程，属于基础题．
20.【答案】解：根据双曲线，
得，，，
即，
故焦点坐标为，，焦距为．
【解析】本题考查双曲线的性质，属于基础题．
根据双曲线方程，求出a，b，c，即可求得相应结果．
21.【答案】解：是双曲线的两个焦点，
则
设点M到另一个焦点的距离为m，
由抛物线定义可知，
解得或，
即点M到另一个焦点的距离为10或22．
是双曲线左支上的点，
，
则，
代入，
可得，
即，
所以为直角三角形，
所以．
【解析】本题考查了双曲线定义及性质的的简单应用，交点三角形面积求法，属于中档题．
设点M到另一个焦点的距离为m，由双曲线定义即可求得m的值．
由双曲线定义及，可证明，即为直角三角形，即可求得的面积．
22.【答案】解：椭圆的焦点为，，
设双曲线的方程为，
则．
又双曲线经过点，所以．
解得，或，舍去，
故所求双曲线C的方程为．
由双曲线C的方程，知，，．
设，，则，
平方得
在中，由余弦定理得
由得，
所以的面积为．
【解析】本题考查双曲线的标准方程，涉及余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题．
由已知可设双曲线的方程为，则．，又双曲线经过点，所以．，联立可求得，可得双曲线C的方程
由于点P在双曲线C上，由双曲线的定义，余弦定理以及三角形的面积公式可求得．
23.【答案】解：若命题p为真，即方程表示双曲线，
所以，
解得，
即
若命题q为真，即不等式成立，
解得，
因为p是q的必要条件，所以，
故，解得．
所以实数a的取值范围为
【解析】本题考查了必要条件，考查解不等式以及双曲线的标准方程，是一道中档题．
当p为真时，满足，求解即可．
求出q为真时的m的范围，结合p是q的必要条件，得到关于a的不等式组，解出即可．
高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线综合训练题： 这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000334_t7/?tag_id=28" target="_blank">第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线综合训练题</a>，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课后作业题： 这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品课后作业题，共7页。
选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀课时作业： 这是一份选择性必修 第一册3.2 双曲线优秀课时作业，文件包含321双曲线及其标准方程-2023-2024学年高二数学同步精品讲义人教A版2019选择性必修第一册解析版docx、321双曲线及其标准方程-2023-2024学年高二数学同步精品讲义人教A版2019选择性必修第一册原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
