高中人教A版 (2019)3.2 双曲线精品精练
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3.2.2双曲线的简单几何性质同步练习人教 A版（2019）高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 设F为双曲线C：的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆交于P、Q两点．若，则C的离心率为
A. B. C. 2 D.
- 渐近线方程为的双曲线的离心率是
A. B. 1 C. D. 2
- 设，为双曲线的左、右焦点，点为双曲线上一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为
A. B. C. D.
- 若直线与双曲线相交，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
- 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
- 若双曲线的离心率大于2，则正数m的取值范围是
A. B. C. D.
- 从某个角度观察篮球如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为
图1 图2
A. B. C. D.
- 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D. 2
- 双曲线的渐近线方程是
A. B. C. D.
- 设双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为是C上一点，且若的面积为4，则
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
- 已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，若与的离心率之积为，则的渐近线方程为
A. B. C. D.
- 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若为等边三角形，该双曲线的离心率e为
A. B. 或 C. 2 D. 3
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知双曲线的右焦点为F，虚轴的上端点为B，点P，Q为C上两点，点为弦PQ的中点，且，记双曲线的离心率为e，则 ．
- 设、是双曲线E：的左、右焦点，O为坐标原点，若E上存在点A，使得，且，则此双曲线的离心率为 ．
- 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，则 ， ．
- 若双曲线的渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离是 ，焦距为 ．
- 已知A，B分别为双曲线E：的左，右顶点，点M在E上，且，则双曲线E的离心率为 ；渐近线方程为
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 已知双曲线C：及直线l：．
若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
若l与C交于A，B两点，且AB中点横坐标为，求的长．
- 已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
Ⅰ求双曲线C的方程．
Ⅱ经过点作直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程并求弦长．
- 设双曲线的实轴长为焦点到渐近线的距离为．
求此双曲线的方程；
已知直线与双曲线的右支交于A，B两点且在双曲线的右支上存在点C，使得，求m的值及点C的坐标．
- 已知双曲线的焦点为，，且该双曲线过点．
求双曲线的标准方程；
若双曲线上的点M满足，求的面积．
- 已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2．
求双曲线C的方程；
若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．
方法一：根据题意画图，由图形的对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a的关系，可求双曲线的离心率．
方法二：由题意画出图形，先求出，再由列式求C的离心率．
【解答】
解：方法一：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知轴，
又， ，
为以OF为直径的圆的半径，
为圆心，，
，又P点在圆上，
，即，
，
故选A．
方法二：如图，以OF为直径的圆的方程为，
又圆O的方程为，
所在直线方程为．
把代入，得，
再由，得，
即，
，解得．
故选A．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
由渐近线方程，转化求解双曲线的离心率即可．
【解答】
解：根据渐进线方程为的双曲线，可得，所以，
则该双曲线的离心率为．
故选C．
3.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的性质，属难题．
根据双曲线的定义和切线长定理可得内心的横坐标，从而可得重心的横坐标，再根据重心的坐标公式可得，再将P的坐标代入双曲线可得．
【解答】
解：如图设P在第一象限，内切圆的圆心为I，内切圆与，，分别切于点E，F，G，根据圆的切线的性质得：，，，
根据双曲线的定义知：
，即，
，
又，，
联立解得，，
，内心I的横坐标为a，
的重心和内心的连线与x轴垂直，
的重心的横坐标为a，
由三角形的重心坐标公式可得，
解得，
，
将P的坐标代入双曲线可得：，即，化简得，
所以离心率．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查直线与双曲线位置关系的应用，属于基础题目．
根据题意结合双曲线渐近线的性质即可得结果．
【解答】
解：双曲线 的渐近线方程为，
如图：
若直线与双曲线相交，
数形结合，可得．
故选C．
5.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的性质及几何意义，属于基础题．
由，即，结合，可得，即可得出双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：双曲线的离心率为，可得，
即，由，可得，
渐近线方程为，即．
故选B．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
由题意，易知，利用双曲线的离心率，推出不等式，即可求出m的范围．
【解答】
解：由题意，易知，且双曲线中，
双曲线的离心率大于2，
可得，解得．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的性质及几何意义，属于中档题；
设双曲线的方程为，则因为，
可得，又可得点在双曲线上，代人双曲线方程得即可求解；
【解答】
解：设双曲线的方程为，
则，因为，
所以，
所以．
因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分；
所以点在双曲线上，代人双曲线方程得，
解得．
所以双曲线的离心率为．
故答案为；
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的基础知识和直线的斜率，属于基础题．
由题意可得斜率为的渐近线的倾斜角为，由，求得，进而可得双曲线的离心率．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则，
所以该条渐近线方程为，
所以，即，
所以双曲线的离心率为．
故选C．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“0”即可求出渐进方程，属于基础题．
渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线．
【解答】
解：双曲线，
其渐近线方程是，
整理得．
故选：B．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义以及勾股定理的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解a即可．
【解答】
解：不妨设P在双曲线的左支上，
由题意，设，，可得，，，
所以，
又，所以，
代入得可得：，
解得：．
故选：A．
11.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，属于中档题．
求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出a与b关系，即可求解双曲线的渐近线方程．
【解答】
解：椭圆的离心率，双曲线的离心率，
由，
解得，所以，
所以双曲线的渐近线方程是，即．
故选A．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题重点考查双曲线的几何性质，求离心率的关键是确定几何量之间的关系．属于中档题．
根据题意，分别求出AB，的长，利用为等边三角形，即可求出双曲线的离心率．
【解答】
解：可知，．
则将代入双曲线C：，可得，
．
过且垂直于x轴的直线与双曲线C交于A、B两点，
．
为等边三角形，，
，
，
，
或，
，．
故选A．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的离心率求解，属于困难题．
解法一：设出P、Q点坐标，代入双曲线方程，利用点差法得出关系式，整理得出进而求出
解法二：设出直线PQ的方程，代入双曲线方程，利用根与系数关系得出关系式，整理求出．
【解答】
解：解法一：由题意知，，则．
设，，
则两式相减，得．
因为PQ的中点为，
所以，，
又，
所以，整理得，
所以，得，
得．
解法二：由题意知，，则，
设直线PQ的方程为，即，
代入双曲线方程，得，
设，，
结合为PQ的中点，
得，
又，
所以，整理得，
所以，得，得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查双曲线离心率的计算，余弦定理，结合向量的运算法则是解决本题的关键，属于中档题．
根据余弦定理，向量的运算性质，结合双曲线的性质建立a，c的关系即可得到结论．
【解答】
解：设，则；
在中，由余弦定理得：
即，
又因为
所以
即
则
即
故答案为．
15.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．
【解答】
解：双曲线的右焦点
到一条渐近线的距离为，
可得：，
可得，即，
所以双曲线的离心率为：．
故答案为：2．
16.【答案】1
2
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的概念和性质，是基础题．
由双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，列出方程组，由此能出a，b．
【解答】
解：双曲线的一条渐近线为，一个焦点为，
，
解得，．
故空1答案为：1；空2答案为：2．
17.【答案】
4
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的性质及其几何意义，点到直线的距离公式，属于基础题．
根据双曲线的渐近线方程可得出b的值，得出双曲线的标准方程，得出焦距，从而得出焦点到渐近线的距离．
【解答】
解：双曲线中，，
又双曲线的渐近线方程为，
则，可得
双曲线方程为，
，
双曲线的焦点在y轴上，
焦点坐标为，焦距为4，
渐近线的一般式为：，
焦点到渐近线的距离为：，
故答案为：；4．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查双曲线的性质和余弦定理，属于一般题．
利用余弦定理求出，得，从而求出M坐标，将点M的坐标代入双曲线方程，得，即可求出离心率和渐近线方程．
【解答】
解：易知点M在双曲线的右支上，不妨设M在第一象限，如图所示．
因为，
所以由，得，，
由余弦定理可得，
又，
故，则．
过M作轴于点N，则，，所以．
将点M的坐标代入，得，得，
所以E的离心率为
所以E的渐近线方程为，
故答案为；
19.【答案】解：由得，
双曲线C与直线l有两个不同的交点，
则方程有两个不同的实数根，
，解得且．
所以若C与l有两个不同交点，k的取值范围是
设交点，，
由得，，
则，
解得：．
且．
，，
．
【解析】本题考查直线与双曲线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
联立直线与双曲线方程，利用方程有两解，求出k的范围；
设交点，，利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
20.【答案】解：Ⅰ由题意得椭圆的焦点坐标分别为和，
设双曲线方程为，
则，
，
，
解得，，
双曲线方程为．
Ⅱ设，，分别代入双曲线可得，，
两式相减，得，
点为AB的中点，可得，，
则，
，
直线l的方程为，
把代入，
消去y得，
，，，
．
【解析】Ⅰ设双曲线方程为，由题意得，结合，，，从而可得双曲线方程．
Ⅱ设A、B的坐标分别为、，利用点差法能求出AB所在直线l的方程，联立双曲线方程，再根据弦长公式即可求出
本题考查双曲线的标准方程，考查直线和双曲线的位置关系的综合运用，利用点差法解决圆锥曲线中点弦问题，属于较综合的中档题．
21.【答案】解：由实轴长为，得，
渐近线方程为，
即或，
取渐近线方程为，
焦点到渐近线的距离为，
，
又，
，
双曲线方程为：；
设，，，，
则，，，
由直线与双曲线方程联立，可得，
，
，
，结合点C在双曲线右支上，
解得，，
，
，．
【解析】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线标准方程的求解，考查向量的线性运算，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．
由实轴长可得a值，由焦点到渐近线的距离可得b，c的方程，再由a，b，c间的平方关系即可求得b；
设，，，则，，联立直线方程与双曲线方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可得，进而求得，从而可得，再由点C在双曲线上得一方程，联立方程组即可求得C点坐标，从而求得m值．
22.【答案】解：设双曲线的方程为，
由，，且该双曲线过点，
可得，
，又，，
双曲线的标准方程为；
由，
得，
．
【解析】设双曲线的方程为，运用双曲线的定义，以及两点的距离公式可得a，结合a，b，c的关系，可得b，c，即可得到所求双曲线的方程；
由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理、面积公式，化简可得所求值．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的面积的求法，注意运用勾股定理和定义法解题，考查运算能力，属于基础题．
23.【答案】解：双曲线C：的离心率为，实轴长为2．
由题意，得，解得，，，
所求双曲线C的方程为．
联立，得，
直线被双曲线C截得的弦长为，
，
设直线与双曲线交于，，
则，
由弦长公式得，
解得．
【解析】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，函数与方程思想，是中档题．
由双曲线的离心率为，实轴长为2，列出方程组，求出，，，由此能求出双曲线C的方程．
联立，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出实数m的值．
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