高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.3 抛物线优秀课后测评
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3.3.1抛物线及其标准方程同步练习人教 A版(2019)高中数学选择性必修第一册
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 抛物线的焦点坐标是
A. B. C. D.
- 已知抛物线的准线经过点，则该抛物线焦点坐标为
A. B. C. D.
- 抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
- 抛物线的准线方程是
A. B. C. D.
- 已知F是抛物线的焦点，P为抛物线上的动点，且A的坐标为，则的最小值是
A. B. C. D.
- 顶点在坐标原点，焦点是双曲线的左焦点的抛物线标准方程是
A. B. C. D.
- 已知抛物线的焦点是F，A，B，D是抛物线C上的点若的重心坐标为，则
A. 12 B. 15 C. 18 D. 21
- 抛物线的焦点到准线的距离为
A. 1 B. 2 C. D. 4
- 若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值是
A. 2 B. C. D. 3
- 顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是
A. B. C. D.
- 抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
- 已知F是抛物线的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为
A. B. 1 C. D.
二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 在平面直角坐标系xOy中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若OA的斜率为2，则 ．
- 设抛物线的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 ．
- 已知抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是 ．
三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）
- 已知抛物线过点，则 ，准线方程是 ．
- 若坐标原点到抛物线的准线的距离为2，则 ；焦点坐标为 ．
- 抛物线的准线方程是 ，焦点坐标是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
- 设O为坐标原点，F为抛物线的焦点，A为抛物线上一点．若，求点A的坐标．
- 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．
- 求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；
求经过点的抛物线的标准方程．
- 一座抛物线形拱桥的跨度为，拱顶距水面，一个竹排上载有一个宽、高的长方体大木箱．问：竹排能否安全通过此桥？
- 已知点A，B关于坐标原点O对称，，过点A，B且与直线相切．
若A在直线上，求的半径；
是否存在定点P，使得当A运动时，为定值？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的概念及标准方程，属于基础题．
由题意得抛物线方程为，即可确定抛物线的焦点坐标．
【解答】
解：抛物线方程为，可知焦点在y轴上，且，
所以焦点坐标是
故答案选：D．
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线的准线和抛物线的焦点坐标，属于基础题．
由准线经过的点可求准线方程，即可求焦点坐标．
【解答】
解：抛物线的准线经过点，
，，
该抛物线焦点坐标为．
故选B
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的焦点，注意先将抛物线的方程变形为标准方程，属于基础题．
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，由抛物线焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，抛物线的方程为，则其标准方程为，
其焦点在y轴正半轴上，且，
则其焦点坐标为；
故选：C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．
先把抛物线转换为标准方程，然后再求其准线方程．
【解答】
解：，
，
其准线方程是．
故选：B．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，则由抛物线的定义可得，则，为锐角．故当PA和抛物线相切时，最小．再利用直线的斜率公式、导数的几何意义求得切点的坐标，从而求得的最小值．
本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、导数的几何意义，属于较难题．
【解答】
解：由题意可得，抛物线的焦点，
准线方程为．
过点P作PM垂直于准线，M为垂足，
则由抛物线的定义可得，
则，为锐角．
故当最小时，最小，
故当PA和抛物线相切时，最小．
设切点，由的导数为，
则PA的斜率为，
求得，可得，
，，
．
故选：C．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查抛物线和双曲线，是基础题．
利用双曲线焦点坐标，求解p，得到抛物线方程．
【解答】
解：因为，，抛物线的焦点，
，，．
故选B．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的性质、重心坐标计算．
设A，B，D的坐标分别为，，，由重心的坐标公式可得的值，再结合抛物线的定义可得即可求解．
【解答】
解：设点、、，
由于的重心坐标为，所以，则，
由抛物线的定义可知．
故选B．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．
利用抛物线的方程求出p，即可得到结果．
【解答】
解：抛物线中，，解得，
则抛物线焦点到准线的距离为．
故选A．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了抛物线的概念与几何性质，涉及点到直线的距离，属于中档题．
根据抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离，求出焦点到直线的距离后即可求得结果．
【解答】
解：过抛物线的焦点F作直线的垂线，垂足为Q，交抛物线于点P，
由抛物线的定义知点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离，
即点P到准线l的距离与点P到直线的距离之和的最小值就是，
抛物线的焦点坐标为，
点F到直线的距离为，
故选A．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了抛物线的标准方程，属于基础题．
先设出抛物线的方程，根据题意求得p，则抛物线的方程可得．
【解答】
解：由题意，设抛物线的方程为或，
因为抛物线的顶点与焦点的距离等于3，
所以，
，
抛物线的方程为，
故选：C．
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的方程，属于基础题．
将抛物线的方程化为标准形式，根据抛物线的性质即可得到答案．
【解答】
解：由题意得，抛物线化成标准方程为，
则抛物线的焦点坐标是，
故选D
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查抛物线定义以及几何性质，属于基础题．
根据抛物线的方程求出其准线方程，由抛物线的性质可得，然后可求得AB的中点到y轴的距离．
【解答】
解：抛物线，则准线为，
设A，B两点的横坐标分别为，
因为A，B是该抛物线上的两点，，
所以，则，
所以AB的中点的横坐标为，
所以线段AB的中点到y轴的距离为．
故选C．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，直线的斜率公式，属于中档题．
设出点A的坐标，得出横纵坐标的关系，再将坐标代入抛物线的方程，分别解出，，即可得出答案．
【解答】
解：由题意，设点A的坐标，
的斜率为2，
，
又A是抛物线与在第一象限的交点，
与，
将代入得与，
，，
故，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求．
【解答】
解：如图所示：
抛物线的焦点为，
所求圆的圆心为F，且与准线相切，
圆的半径为2，
则所求圆的方程为．
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，属于基础题．
设抛物线方程为，根据题意建立关于p的方程，解得，得到抛物线方程．
【解答】
解：由题意，设抛物线的标准方程为，准线方程是，
抛物线的准线方程为，
，解得，
即所求抛物线的标准方程为
故答案为
16.【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的方程的应用，属于基础题．
利用抛物线过点，代入抛物线方程，即可得出结论．
【解答】
解：抛物线过点 ，
所以，解得．
所以抛物线的准线方程为．
故答案为：2，．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查抛物线方程和性质的应用，根据条件求出抛物线的标准方程是解决本题的关键，属于基础题．
先表示出准线方程，根据坐标原点到抛物线的准线的距离为2求出m的值，即可确定方程，求出焦点坐标．
【解答】
解：抛物线的标准方程为，则准线方程为，
因为坐标原点到抛物线的准线的距离为2，
所以，得，则，则抛物线为，
则抛物线的焦点坐标为，
故答案为；．
18.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线方程得焦点和准线，属基础题．
由题意得抛物线的标准方程为 ，进而即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，
所以准线方程是 ，焦点坐标是，
故答案为；，
19.【答案】解：抛物线的焦点为，设，
则，由
得，
点A的坐标是或．
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程，考查向量数量积运算．
先求出抛物线的焦点，根据抛物线的方程设，然后构成向量，再由，可求得的值，最后可得答案．
20.【答案】解：设抛物线方程为点由题意可得
，解之得或，
故所求的抛物线方程为，m的值为．
【解析】本题主要考查抛物线的标准方程，考查了对抛物线基础知识的理解和应用．
先设抛物线的标准方程，把点M代入抛物线方程求得m和p的关系，根据M到焦点的距离求得m和p的另一个关系式，联立方程求得m和p．
21.【答案】解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为．
由题意，得解得，．
所以焦点在x轴上的双曲线的方程为；
解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：或，
在第一种情形下，求得抛物线方程为：；
在第二种情形下，求得抛物线方程为：
【解析】本题考查双曲线方程以及抛物线方程的求法，双曲线以及抛物线的简单性质的应用．考查计算能力．
利用已知条件列出方程组求解a，b然后求解双曲线方程即可．
设出抛物线方程，利用点在曲线上，化简求解即可．
22.【答案】解：建立如图所示的坐标系，
设抛物线方程为，
把代入抛物线方程为：，即．
抛物线方程为：，
把代入抛物线方程得：，
，
竹排能安全通过此桥．
【解析】本题考查了抛物线的方程，属于中档题．
建立坐标系，求出抛物线方程，求出竹排在拱桥正中央时距离拱桥的高度即可得出结论．
23.【答案】解：过点A，B，且A在直线上，
点M在线段AB的中垂线上，
设的方程为：，
则圆心到直线的距离，
又，在中，，
即
又与相切，
由解得或
的半径为2或6；
存在定点P，使得为定值，
线段为的一条弦，
圆心M在线段AB的中垂线上，
设点M的坐标为，则，
与直线相切，，
，
，
的轨迹是以为焦点为准线的抛物线，
，
当为定值时，则点P与点F重合，即P的坐标为，
存在定点使得当A运动时，为定值．
【解析】本题考查了直线与圆的关系和抛物线的定义，考查了待定系数法和曲线轨迹方程的求法，属难题．
由条件知点M在线段AB的中垂线上，设圆的方程为的方程为，然后根据圆与直线相切和圆心到直线的距离，半弦长和半径的关系建立方程组即可；
设M的坐标为，然后根据条件得到圆心M的轨迹方程为，然后根据抛物线的定义即可得到定点．
数学选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练： 这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线课时训练，共2页。
数学选择性必修 第一册3.3 抛物线练习： 这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线练习，共2页。试卷主要包含了选择题，非选择题等内容，欢迎下载使用。
数学选择性必修 第一册3.3 抛物线精品课时练习： 这是一份数学选择性必修 第一册3.3 抛物线精品课时练习，共6页。试卷主要包含了已知点A在抛物线C，抛物线的焦点到准线的距离是，故选D等内容，欢迎下载使用。
