江苏省2022届高三上学期百校联考第一次考试数学试卷

江苏省百校联考三年级第一次考试

数学试卷

注意事项：

考生在答题前请阅读本注意事项及各题答题要求

1.答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上.

2.作答试题必须用书写黑色字进的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置作答一律无效，如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，.则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用补集和交集的定义直接求解.

【详解】因为，，

所以，

故选：C.

2. 已知复数（为虚数单位），则（    ）

A. i B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数除法运算求解即可.

【详解】因为，

所以，

故选：B

3. 下列区间中，函数存在极大值的区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化简函数，结合余弦函数的图象与性质和极值的概念，即可求解.

【详解】由题意，函数，

结合余弦函数的图象与性质，

当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增；

当时，函数单调递减，

当时，函数取得极大值，

结合选项，可得C项成立.

故选：C.

4. 陀螺指的是绕一个支点高速转动的几何体，是中国民间最早的娱乐工具之一.传统陀螺大致是木或铁制的倒圆锥形，玩法是用鞭子抽.中国是陀螺的老家，从中国山西夏县新石器时代的遗址中就发掘了石制的陀螺.如图，一个倒置的陀螺，上半部分为圆锥，下半部分为同底圆柱.其中总高度为，圆柱部分高度为，已知该陀螺由密度为的木质材料做成，其总质量为，则最接近此陀螺圆柱底面半径的长度为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意求得该陀螺的总体积，结合圆柱和圆锥的体积公式，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，该陀螺由密度为的木质材料做成，其总质量为，

可得该陀螺的总体积为，

设底面半径为，则，解得.

故选:B.

5. 已知抛物线的焦点为点，点，抛物线上点满足，为坐标原点，则的长等于（    ）

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】设，由题意可得，整理成即可得解.

【详解】设，因为，则，

即，即.

故选：B

6. 一次劳动实践活动中，某同学不慎将两件次品混入三件正品中，它们形状、大小完全相同，该同学采用技术手段进行检测，恰好三次检测出两件次品的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由题知恰好三次检测出两件次品可分为前三次检测的均为正品和前两次恰有一次检测出了次品，第三次检测出次品两类情况，利用概率求和公式即得.

【详解】由题意可知恰好三次就能确定出两件次品可分为前三次检测的均为正品，和前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品两类情况，

前三次检测的均为正品的概率为，前两次恰有一次检测出了一件次品，第三次检测出了一件次品的概率为，故所求概率为.

故选：D.

7. 在中，为边的中点，且满足，，则的面积为（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得，再根据平面向量数量积的运算律得到，从而求出，再根据面积公式计算可得；

【详解】解：在中，为的中点，则，

所以.

因为，，则，

所以，，

所以.

故选：A

8. 函数有极小值，且极小值为0，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求得函数的导数，根据有极小值，得到，又由，求得，得到，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】由，可得，

因为有极小值，记为，则，即，

又由，所以，

即，所以.

设，

当时，，

所以在上单调递增，

当时，可得，

所以的最小值为.

故选：B.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 关于函数的性质的描述，正确的是（    ）

A. 的定义域为

B. 有一个零点

C. 的图象关于原点对称

D. 的值域为

【答案】AC

【解析】

【分析】A选项，根据分式与对数对变量的限制，列出不等式组，即可判断；

B选项，由得，又，即可判断；

C选项，可判定为奇函数，即可判断；

D选项，当时, ，结合函数奇偶性，可判断.

【详解】由题意，函数有意义，则满足解得且，即函数的定义域为，所以A正确.

因为的定义域为，所以.

由得，注意，没有零点，所以B不正确.

由上可知的定义域为，可得，则满足，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，所以C正确.

当时，，所以.

又由函数为奇函数，可得的值域为，所以D不正确.

故选：AC

【点睛】本题考查了函数性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

10. 若二项式展开式中二项式系数之和为，展开式的各项系数之和为，各项系数的绝对值之和为，则下列结论正确的是（    ）

A.

B. 存在，使得

C. 的最小值为2

D.

【答案】AB

【解析】

【分析】依题意可得，，，即可判断A、D，再利用作商法判断B，利用基本不等式判断C；

【详解】解：依题意可得，，，

因，所以A正确.

因为，所以B正确.

因为在上单调递增且在定义域上单调递增，所以在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以不正确.

因为，当时，，所以D不正确.

故选：AB

11. 某电视台的一档栏目推出有奖猜歌名活动，规则：根据歌曲的主旋律制作的铃声来猜歌名，猜对当前歌曲的歌名方能猜下一首歌曲的歌名.现推送三首歌曲，，给某选手，已知该选手猜对每首歌曲的歌名相互独立，且猜对三首歌曲的歌名的概率以及猜对获得相应的奖金如下表所示.

下列猜歌顺序中获得奖金金额的均值超过2000元的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】按照所给的顺序，依次列出随机变量的分布列，求出均值，即得解

【详解】根据规则，该选手获得奖金总额为.

按的顺序进行，则该选手获得奖金总额为的可能取值有四种情况：

，

，

，

.

概率分布表为

.故A正确.

同理，按的顺序猜获得奖金金额的均值为1872元，故B错误.

按的顺序猜获得奖金金额的均值为1904元，故C错误.

按的顺序猜获得奖金金额的均值为2112元，故D正确.

故选：AD

【点睛】本题考查了随机变量的分布列和期望的实际应用，考查了学生综合分析，数学运算能力，属于中档题

12. 如图，已知圆锥的轴截面为等腰直角三角形，底面圆的直径为，是圆上异于，的一点，为弦的中点，为线段上异于，的点，以下正确的结论有（    ）

A. 直线平面

B. 与一定为异面直线

C. 直线可能平行于平面

D. 若，则的最小值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】证明，利用线面垂直的判定定理可判断A；由异面直线的定义可判断B；假设平面，可证得平面平面与已知矛盾可判断C；在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，当，，共线时，取得最小值可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A：在中，因为，为的中点，所以，

又垂直于圆所在的平面，所以，因为，

所以平面，所以A正确.

对于B：因为面，面，面，，

根据异面直线判定定理知与一定为异面直线，所以B正确.

对于C：若直线平行于平面，因为，平面，平面，则平面，，所以平面平面与平面和平面相交矛盾，所以C不正确.

对于D：在中，，，所以，

同理，所以.

在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，

使之与平面共面，如图所示，

当，，共线时，取得最小值.

又因为，，

所以垂直平分，即为的中点，

从而，

亦即的最小值为，所以D正确.

故选：ABD.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则______.

【答案】

【解析】

【分析】利用平面向量的基本定理求解.

【详解】如图所示：

连接，因为为的中点，

所以，

而，

所以，

又，

所以.

故答案为：

14. 双曲线：（，）的左顶点为，右焦点为，动点在双曲线上.当时，，则双曲线的渐近线方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意和所给条件可得，由此齐次式可得，再利用之间的关系求得即可得解.

【详解】设双曲线的半焦距为，则，因为，

所以，所以，即，故.

所以双曲线的渐近线方程为.

故答案为：.

15. 《中国制造2025》提出，坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针，通过“三步走”实现制造强国的战略目标：第一步，到2025年迈入制造强国行列；第二步，到2035年中国制造业整体达到世界制造强国阵营中等水平；第三步，到新中国成立一百年时，综合实力进入世界制造强国前列.今年，尽管受新冠疫情影响，但我国制造业在高科技领城仍显示出强劲的发展势头.某市质检部门对某新产品的某项质量指标随机抽取100件检测，由检测结果得到如图所示的频率分布直方图.

由频率分布直方图可以认为，该产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.设表示从该种产品中随机抽取10件，其质量指标值位于的件数，则的数学期望____.（精确到0.01）

注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得样本标准差；②若，则，.

【答案】6.83

【解析】

【分析】计算，由所给条件判断，从而得到的概率，由抽取每一件的概率抽取10件的期望值.

【详解】计算得，

由条件，从而.

故从该种产品中随机抽取1件，其质量指标值位于的概率是0.6826，

所以抽取10件的期望值为：所以.

故答案为：.

16. 已知定义在上的函数，对于任意，，当时，都有，又满足，，，则____，______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】令，代入求得，由求得，即可求解的值，由于，所以，结合条件即可求解的值．

【详解】令，则，即，

又，所以由，得

由

令，则；

因为对于任意，当时，都有，

且，所以，

所以

则．

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知数列的前项和为，，，，其中为常数.

（1）证明；

（2）若为等差数列，求.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）由，可得，两式相减，即可证得.

（2）由题意，求得，，根据为等差数列，得到，得出数列和都为等差数列，分别求得其通项公式，即可求解.

【详解】（1）由，可得，

两式相减得，

因为，所以.

（2）由，，可得，

由（1）知，

因为为等差数列，所以，解得，故，

所以数列是首项为1，公差为4的等差数列，可得，

数列是首项为3，公差为4的等差数列，可得，

所以，所以.

18. 已知为等腰直角三角形，，，分别为和上的点，且，，如图1.沿EF将折起使平面平面，连接，，如图2.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）已知为棱上一点，试确定的位置，使平面.

【答案】（1）；（2）当时，平面.

【解析】

【分析】（1）如图1建立空间直角坐标系利用直线的方向向量求直线所成角；

（2）一是可以利用空间向量，求得平面的法向量，使得垂直于法向量即可得解；或者利用利用线面平行的方法证明当时，平面.

【详解】（1）因为平面平面，，

所以.又，

所以建立如图1所示的空间直角坐标系，

因为为等腰直角三角形，，

，分别为和上的点，且，，

则，，，.…

所以，，

所以，…

所以异面直线与所成角的余弦值为.…

（2）方法一：设，

因为，所以.

设为平面的一个法向量，

则即

因此可取.

所以.

因为平面，所以，即，

所以当时，平面.

方法二：当时，平面.证明如下：

如图2，在平面内过作交于，连接.

因为，，

所以四边形为平行四边形，所以.

因为，所以，又，

所以.

因为平面，所以平面.

又因为，平面，所以平面.

因为，所以平面，

因为平面，所以平面.

19. 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届.第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行，为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况，在全市中小学学校中随机抽取了10所学校，10所学校的参与人数如下：

（1）现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，求选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率.

（2）某校聘请了一名越野滑轮教练，对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定：这3个动作中至少有2个动作达到“优”，总考核记为“优”.在指导前，该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”概率为0.1.在指导后的考核中，甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.

【答案】（1）；（2）答案不唯一，答案见解析.

【解析】

【分析】（1）参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，计算从6所中选取2所和从10所中选取2所的事件数，由随机事件的概率公式计算概率；

（2）计算甲同学指导前考核“优”的概率，推断甲同学考核时“优”发生可能性的大小，得出结论，理由充分即可.

【详解】（1）记“选出的两所学校参与旱地冰壶人数在30人以下”为事件，

参与旱地冰壶人数在30人以下的学校共6所，随机选择2所学校共种，

所以.

因此选出的2所学校参与旱地冰壶人数在30人以下的概率为.

（2）答案不唯一.

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.

理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.…

指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.

答案示例2：无法确定.理由如下：

指导前，甲同学总考核为“优”的概率为.…

虽然概率非常小，但是也可能发生，

所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.

20. 现有下列三个条件：

①函数的最小正周期为；

②函数的图象可以由的图象平移得到；

③函数的图象相邻两条对称轴之问的距离.

从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答.

已知向量，，，函数.且满足_________.

（1）求的表达式，并求方程在闭区间上的解；

（2）在中，角，，的对边分别为，，.已知，，求的值.

【答案】（1）不能选②，，或或；（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量数量积坐标运算公式求得，根据其性质，可以判断不可能选②，结合①③的条件，可以求得，得到函数解析式，根据三角函数值以及角的范围，确定出方程的解；

（2）结合（1），求得，根据正弦定理以及题中条件，求得，根据平方关系求得，结合诱导公式以及三角形内角和，求得的值.

【详解】（1）因为，，

所以.

若满足条件①：，所以，故.

因为，

无法由的图象经过平移得到的图象，因此不能选②.

若满足条件③：因为，所以，故，即.

综上，无论选条件①或③，所求.

因为，所以.

又，所以，

所以或或，即或或.

所以方程在闭区间上的解为或或.

（2）由（1）知，

所以，，即，.

因为，所以，，.

又，由正弦定理，

得，

整理得.

因为，所以，所以.

又，得，

所以

.

21. 如图，已知椭圆：，椭圆：，，.为椭圆上一动点且在第一象限内，直线，分别交椭圆于，两点，连结交轴于点.过点作交椭圆于，且.

（1）求证：直线过定点，并求出该定点；

（2）若记，点的横坐标分别为，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，过定点；（2）.

【解析】

【分析】（1）设，求出，可得，①当直线的斜率存在时，设的方程为（），利用韦达定理可得，求得 ②当直线的斜率不存在时，设的方程为，利用得由此得答案；

（2）设、的方程为与椭圆方程联立可得点、点坐标，求得直线的方程，

令，得，则，利用，得到答案.

【详解】（1）证明：设，则，，且，

则，即.

①当直线的斜率存在时，设的方程为（），

则代入消元，得（）,

设，，则，，

由，得，

约去，并化简得，解得（不符合题意，舍去）.

②当直线的斜率不存在时，设的方程为，

利用，可解得，

综上，直线过定点.

（2）设的方程为（），

则，解得点坐标为，

由，则点坐标为.

同理，记斜率为，则点坐标为）.

由，则点坐标为，

则的斜率为，

所以直线的方程为，

令，得，

则，其中，

所以的取值范围是.

22. 已知函数（）有两个零点.

（1）证明：.

（2）若的两个零点为，，且，证明：.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）首先求出导函数，当时显然不成立，当时求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值，依题意，即可求出参数的取值范围；

（2）由（1）可得，设，求出函数的导函数，即可得到，再设，，则，则，再利用导数说明的单调性，即可得到，从而得证；

【详解】（1）证明：由，，可得，.

当时，，所以在上单调递增，与题意不符.

当时，令，得.

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

可得当时，取得极小值.

又因为函数有两个零点，

所以，可得.综上，.

（2）解：由上可得的极小值点为，则.

设，，

可得，，

所以在上单调递增，所以，

即，则，，

所以当时，，且.

因为当时，单调递增，所以，即.

设，，则则，即.

所以，

所以.

又因为，则，

所以在上单调递减，

所以，所以，即

综上，.

【点睛】导函数中常用两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．