2022届新高考高三上学期期初考试数学试卷分类汇编：三角与平面向量

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三角与平面向量集中练
说明：2022届高三新高考期初考试题目选自新高考地区，如江苏、山东、河北、湖南、湖北等。
三角部分：
1．(2022·南京9月学情【零模】)将函数y＝cosx的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度，所得图象与y＝sinx的图象重合，则φ的一个可能的值为 ▲ ．(写出一个正确答案即可)
【答案】(2kπ＋，k∈N，写对一个即可)
【考点】开放性试题：三角函数的图象与性质应用
【解析】由题意，cos(x－φ)＝cos(φ－x)＝sinx＝cos(－x)，则φ＝2kπ＋，k∈N，所以φ＝可满足题意．
2．(2022·江苏第一次百校联考)下列区间中，函数)存在极大值的区间是
A． B．(0，π) C． D．(π，2π)
【答案】C
【考点】三角函数的图象与性质、辅助角公式的应用
【解析】由题意可知，)＝sin(x－－)＝－cosx，则由三角函数的图象可知，在区间上存在极大值，故答案选C．
3．(2022·江苏第一次百校联考)在△ABC中，D为BC边的中点，且满足AB＝AD＝2，AC＝4，则△ABC的面积为
A． B． C． D．1
【答案】A
【考点】解三角形与平面向量的综合应用
【解析】由题意，在△ABC中，因为D为BC边的中点，则＝(＋)，所以2＝(＋)2＝(2＋2＋2·)，因为AB＝AD＝2，AC＝4，所以22＝(22＋42＋2×2×4cos∠BAC)，所以cos∠BAC＝－，则sin∠BAC＝，所以S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝，故答案选A．
4．(2022·江苏海安中学期初)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)＝cosωx(ω＞0)在区间)上是单调增函数，则
A．f(|x|)的最小正周期为 B．f(x)在区间上是单调减函数
C．ω的最大值为3 D．
【答案】BCD
【考点】三角函数的图象与性质综合应用
【解析】由题意可知，对于选项A，因为f(x)为偶函数，所以f(|x|)＝f(x)＝cosωx，则函数f(|x|)的最小正周期为，故选项A错误；对于选项B，因为f(x)为偶函数，且在区间)上是单调增函数，所以在区间上是单调递减，故选项B正确；对于选项C，令ωx∈(－π，0)，解得x∈(－，0)，即函数f(x)的单调递增区间为(－，0)，又在区间)上是单调递增，所以－≤－，解得ω≤3，故选项C正确；对于选项D，由题意可得到函数f(x)在x轴正半轴上第一条对称轴为直线x＝，则①当0＜ω≤2.4时，，∈(0，]，所以f()≤f()；②当2.4＜ω≤3时，＜＜，(－)－(－)＝2(－)≤0，所以f()≤f()，故选项D正确；综上，答案选BCD．
5．(2022·江苏海安中学期初)汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径．如图中的BC即是．已知某车在低速前进时，图中A处的轮胎行进方向与AC垂直，B处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.92米，方向盘转到极限时，轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径BC为 ▲ 米．

【答案】5.84
【考点】解三角形的实际应用
【解析】由题意可知，∠BCA＝30°，且在Rt△ABC中，sin∠BCA＝，则BC＝＝＝5.84．
6．(2022·苏州期初考试)等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若，则△ABC的面积为
▲ ．
【答案】
y
【解析】由题意，以点A为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，可设AB＝AC＝a，则BC所在的直线方程为＋＝1，且B(0，a)，C(a，0)，因为，所以＝4(1，0)＋(0，1)＝(4，1)，则P(4，1)，又因为点P在直线BC上，所以4＋1＝a，解得a＝5，即等腰直角三角形的腰长为5，故△ABC的面积S＝×5×5＝．
P
B


x
A
C


7．(2022·泰州中学期初考试)如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，建立直角坐标系．
AC＝3，AB＝4
∵∠CAB＝，∴|OA|＝，|OC|＝，
∴A（﹣，0），C（0，），B（，0）．
∵，∴＝＝（，0），
∴＝+（，0）＝（，0）， ∴＝（，﹣）．
设＝λ+（1﹣λ）＝λ+（1﹣λ）×，
与＝m+比较，可得：m＝λ，＝， 解得m＝．
∴＝+＝（，）+（4，0）＝（，），
∴＝×﹣×＝．
故选：C．
8．(2022·泰州中学期初考试)已知平面向量，，且，则实数的值为_________.
【答案】
9．(2022·河北衡水一中一调)已知函数f(x)＝tanx－sinxcosx，则( )
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的图象关于(π，0)对称
D．f(x)的图象不关于，0)对称
【答案】C
【考点】三角函数的对称性与周期应用
10．(2022·河北衡水一中一调)若函数y＝3sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为_____．

【答案】y＝3sin(2x＋)
【考点】由三角函数的图象求解析式
11．(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)若tanα＝2，则
A． B． C．－3 D．3
【答案】C
【考点】三角恒等变换
【解析】由题意可得，＝＝＝－3，故答案选C．
12．(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)要得到函数的图象，可以将函数的图象
A．向右平移单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
【答案】A
【考点】三角函数的图象与性质
【解析】由题意，因为＝cos(2x＋－)＝cos(2x－)＝cos[2(x－)－)]，所以将函数向右平移单位长度可得到函数的图象，故答案选A．
13．(2022·青岛期初考试)(多选题)已知函数f(x)＝sin(ωx－)(ω＞0)，若，且f(x)在上有且仅有三个极值点，则
A．f(x)的最小正周期为
B．f(x)在区间)上单调递增
C．f(x)在区间上的最小值等于
D．将g(x)＝sin2x的图象向右平移个单位可得到的图象
【答案】ABD
【考点】三角函数的图象与性质综合应用
【解析】由题意可知，函数f(x)关于点(，0)对称，则f()＝0，可得ω－＝kπ(k∈Z)，则ω＝4k＋2(k∈Z)，又x∈，则ωx－∈(－，ω－)，且f(x)在上有且仅有三个极值点，则＜ω－≤，解得5＋＜ω≤7＋，所以当k＝1，即ω＝6时满足题意，所以f(x)＝sin(6x－)，
对于选项A，则其最小正周期为＝，故选项A正确；
对于选项B，当x∈)时，6x－∈[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，则f(x)在区间)上单调递增，故选项B正确；
对于选项C，x∈时，6x－∈[－，]，则f(x)∈[－，1]，故选项C错误；
对于选项D，将g(x)＝sin2x的图象向右平移个单位可得到sin2(x－)＝sin(2x－)＝，故选项D正确；
综上，答案选ABD．
14．(2022·青岛期初考试)已知tanα＝3，π＜α＜，则cosα－sinα＝________；
【答案】
【考点】三角恒等变换
【解析】由题意，因为tanα＝＝3，且sin2α＋cos2α＝1，则解得cos2α＝，又π＜α＜，所以cosα＝－，sinα＝－，则cosα－sinα＝－＋＝．
15．(2022·湖南省长郡中学开学考试)(多选题)如图，已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，）的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，，∠OCB＝，|OA|＝2，．则下列说法正确的有（　　）

A．f（x）的最小正周期为12
B．
C．f（x）的最大值为
D．f（x）在区间（14，17）上单调递增
【解答】解：由题意可得：|OB|＝|OC|，A（2，0），B（2+，0），C（0，Asinφ）．∴|Asinφ|＝2+，sin（2ω+φ）＝0，∴D（1+，），∵，∴+＝，把|Asinφ|＝（2+）代入上式可得：﹣2×﹣24＝0，ω＞0．解得＝6，∴ω＝，可得周期T＝＝12．∴sin（+φ）＝0，，解得φ＝﹣．可知：B不对．∴|Asin（﹣）|＝2+6，A＞0，解得A＝．∴函数f（x）＝sin（x﹣），可知C正确．x∈（14，17）时，（x﹣）∈（2π，），可得：函数f（x）在x∈（14，17）单调递增．综上可得：ACD正确．故选：ACD．
16．(2022·湖南省雅礼中学开学考试)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则f(x)＝
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】三角函数的图象与性质：图象变换
【解析】
法一：函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令，则，所以，所以；
法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin(x＋－)＝的图象；
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为y＝f(x)的图象，所以．故答案选B．
17．(2022·湖南省雅礼中学开学考试)若＝，sin2α＝
A． B．－ C． D．
【答案】B
【考点】三角恒等变换
【解析】由题意可知，sin2α＝cos(2α－)＝cos[2(α－)]＝2×()2－1＝－，故答案选B．
18．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试) 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角关系求，再由两角和的余弦公式求.
【详解】∵ ，∴，又，
∴，
又 ，
∴，故选：D.
19．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)(多选题)已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A. 的最小正周期是
B. 函数在上单调递增
C. 函数的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数是奇函数，则的最小值为
D. 若，，时，成立，则的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】由条件可得，可得从而得出的解析式，利用周期公式判断选项A；求出函数的单调区间，可判断选项B；根据图象平移变换得出解析式，可判断选项C；选项D 作出函数的图像，根据图象可判断.
【详解】根据条件可得，所以
则，由，，所以
选项A，的最小正周期是，故A正确.
选项B，由，
得，即
当时，，所以函数在上单调递减，故B错误.
选项C，函数的图象向右平移个单位长度得到，根据函数为奇函数知，则，
由，则当时，有的最小值是，故C正确.
选项D，作出的图象，又， 由图可知，当时，方程在上有2个不同实根，，则，设，则，
最大为，故D错误.
故选：AC

20．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)已知，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】先由求出，然后对用二倍角公式并化简求值即可.
【详解】解：因为，
所以
所以故答案为3
21．(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分12分)
请在①·＝2；②sinB＝；③a＋b＝5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知sin(A－C)＋sinB＝sinA，c＝2， ▲ ，若该三角形存在，求该三角形的面积；若该三角形不存在，请说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用
【解析】
在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinB＝sin(A＋C)．
因为sin(A－C)＋sinB＝sinA，所以sin(A－C)＋sin(A＋C)＝sinA，
即2sinAcosC＝sinA．………………………………………………………………3分
因为sinA≠0，所以cosC＝．
因为C∈(0，π)，所以C＝．………………………………………………………5分
若选择①：
因为·＝＝bccosA＝2，c＝2，
由余弦定理得cosA＝，所以b2＋4－a2＝4，故a＝b．………………8分
又因为C＝，所以△ABC是边长为2的等边三角形．…………………………10分
因此△ABC的面积．……………………………12分
若选择②：
因为C＝，所以．又因为sinB＝，
由正弦定理，得．……………………………………7分
因为c2＝，
即，
解得或．…………………………………………………………………………10分
因此△ABC的面积或．…………………………………………12分
若选择③：
因为a＋b＝5，所以．
因为C＝，c＝2，所以由余弦定理得，……………………………………8分
所以，ab＝7．……………………………………………………………………10分
这与矛盾，
故该三角形不存在．…………………………………………………………………………12分
22．(2022·江苏第一次百校联考)(本题满分12分)
现有下列三个条件：
①函数f(x)的最小正周期为π；
②函数f(x)的图象可以由y＝sinx－cosx的图象平移得到；
③函数f(x)的图象相邻两条对称轴之问的距离．
从中任选一个条件补充在下面的问题中，并作出正确解答．
已知向量，1)，ω＞0，函数f(x)＝m·n．
且满足_________．
(1)求f(x)的表达式，并求方程f(x)＝1在闭区间[0，π]上的解；
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知()＝2，求
cosA的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】结构不良题：三角函数的图象与性质、三角恒等变换、解三角形应用
【解析】
(1)因为，1)，
所以ωx＝．……3分
若满足条件①，所以ω＝1，故． …………4分
因为无法由y＝sinx－cosx的图象经过平移得到的图象，因此不能选②． …………4分
若满足条件③：因为，所以，故ω＝1，即．
综上，无论选条件①或③，所求． …………4分
因为x∈[0，π]，所以．
又，所以，
所以或或，即x＝0或或x＝π．
所以方程f(x)＝1在闭区间[0，π]上的解为x＝0或或x＝π． …………6分
(2)由(1)知，
所以，即，
因为C∈(0，π)，所以． …………7分
又(3a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理，
得(3sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，
整理得3sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sinA．
因为A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosB＝． …………10分
又B∈(0，π)．得，
所以cosA＝cos[π－(B＋C)]＝－cos(B＋C)＝－cosBcosC＋sinBsinC
． …………12分
23．(2022·江苏海安中学期初)(10分)
在△ABC中，点D在边BC上，AB＝3，AC＝2．
(1)若AD是∠BAC的角平分线，求BD：DC；
(2)若AD是边BC上的中线，且，求BC．
【考点】解三角形与三角恒等变换的应用
【解析】
(1)如图，结合题意绘出图像：

因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠DAB＝∠DAC，
在△ABD中，由正弦定理易知，即，
在△ACD中，由正弦定理易知，即，
因为sin∠DAB＝sin∠DAC，sin∠DAB＝sin(180°－∠ADC)＝sin∠ADC，
所以，BD：DC＝3：2．
(2)因为AD是边BC上的中线，所以可设BD＝DC＝x，
在△ABD中，由余弦定理易知cos∠ADB＝，
在△ACD中，由余弦定理易知cos∠ADC＝，
因为cos∠ADB＝－cos∠ADC，
所以＝－，即，，BC长为.
24．(2022·沭阳如东中学期初考试)(12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若．
(1)求角C；
(2)若BM平分角B交AC于点M，且BM＝1，c＝6，求cos∠ABM．
【考点】解三角形与三角恒等变换综合应用
【解析】
(1)由题意可得，，所以，
∴cosAsinC＝sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，
∴sinAcosC＝0，又A∈(0，π)，
∴sinA≠0，∴cosC＝0，． …………5分
(2)记∠ABM＝α，则∠MBC＝α，在Rt△MCB中，CB＝cosα，
在Rt△ACB中，，
即，
即2cos2α－1＝，或(舍)，
所以． …………12分
25．(2022·苏州期初考试)(本小题满分12分)
在△ABC中，AB＝6，，点D在BC边上，AD＝4，∠ADB为锐角．
(1)若，求线段DC的长度；
(2)若∠BAD＝2∠DAC，求sinC的值．
【考点】解三角形与三角恒等变换
【解析】
(1)在△ABD中，∵AB＝6，AD＝4，，
由余弦定理得cosB＝＝，
A

D
B
C


∴BD＝5或BD＝4． …………2分
当BD＝4时，cos∠ADB＝＜0，则cos∠ADB＞，不合题意，舍去；
当BD＝5时，cos∠ADB＝＞0，则cos∠ADB＜，不合题意．
∴BD＝5． …………4分
在△ABC中，cosB＝＝，
∴BC＝12或BC＝－3(舍) ．
∴DC＝BC＝BD＝7． …………6分
(2)∵∠BAD＝2∠DAC，
记∠DAC＝θ，则∠BAD＝2θ＜π，∴0＜θ＜．
在△ABD中，cos∠BAD＝cos2θ＝＝＝，
得sin2θ＝＝，即sinθ＝，∴cosθ＝，∴sin2θ＝，
解法一：，同理． …………8分
由知：sinθ＝， …………10分
∴sinC＝sin(π－B－3θ)＝sin(B＋3θ)． …………12分
解法二：cos∠BDA＝＝， …………9分
∵0＜∠BDA＜π，∴sin∠BDA＝． …………10分
∴sinC＝sin(∠BDA－θ)＝sin． …………12分
26．(2022·河北衡水一中一调)(本小题满分10分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，c＝2，D为BC边上一点，，求cos2∠BDA的值．
【考点】解三角形与三角恒等变换的综合应用
【解析】
(1)因为，所以
由正弦定理得sinAcosC，
故cosC，
所以，
因为sinC＞0，所以，即，
因为B∈(0，π)，所以；
(2)因为a＝3，，所以，
在△ABD中，由余弦定理得，，所以
由正弦定理得，
故sin．
27．(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)(12分)
在平面凸四边形ABCD中，∠BAD＝30°，∠ABC＝135°，AD＝6，BD＝5，BC＝．
(1)求cos∠DBA；
(2)求CD长．
【考点】解三角形的应用
【解析】
(1)在三角形ABD中，由正弦定理得：．
得：sin∠DBA＝＝＝，．
∵∠DBA＜∠ABC，∴cos∠DBA＞cos135°＝－．
故cos∠DBA＝－不符合题意，∴cos∠DBA＝． …………6分
(2)cos∠DBC＝cos(∠ABC－∠DBA)＝－×＋×＝－．
在三角形BCD中，CD＝＝．
∴CD＝7． …………12分
28．(2022·青岛期初考试)(10分)
在①2bsinA＝atanB，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并解答．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且________．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换
【解析】
(1)选择条件①：
因为2bsinA＝atanB，
所以由正弦定理可得2sinBsinA＝sinAtanB，
所以，
因为A，B∈(0，π)，所以sinAsinB＞0，
所以，
因为B∈(0，π)，所以B＝；
选择条件②：
因为，整理得，
所以由余弦定理得
＝，
因为B∈(0，π)，所以；
选择条件③：
因为，所以，
，
因为B∈(0，π)，，
所以；
(2)因为B＝，所以△ABC的面积，
所以ac＝2，
因为b＝2，所以由余弦定理得：
＝a2＋c2，
所以，
所以△ABC的周长为．
29．(2022·湖南省长郡中学开学考试)（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D在BC边上，且BD＝2DC，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，c＝2．
（Ⅰ）求sinB的值；
（Ⅱ）设∠BAD＝α，∠DAC＝β，若△ADC的面积为，求的值．
【解答】解：（Ⅰ）sin2A+sin2C﹣sin2B＝sinAsinC，∴a2+c2﹣b2＝ac＝2accosB，∴cosB＝，∵0＜B＜π，∴sinB＝；
（Ⅱ）设DC＝x，则BD＝2x，
∵△ADC的面积为，∴S△ABD＝2S△ADC＝，∴×2×2x•＝，
解得x＝1，∴AC2＝5+9﹣2×3×2×＝9，∴AC＝3，
在△ABD中，＝，sinα＝sin∠ADB，
在△ADC中，＝，sinβ＝sin∠ADB，∴＝3．
30．(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋c＝2bcosA．
(1)证明：B＝2A；
(2)设D为BC边上的中点，点E在AB边上，满足·＝·，且，四边形ACDE的面积为，求线段CE的长．
【考点】解三角形与平面向量的数量积综合应用
【解析】
(1)由正弦定理得：sinA＋sinC＝2sinBcosA，
即sinA＋sin(A＋B)＝2cosAsinB，
即sinA＋sinAcosB＋cosAsinB＝2cosAsinB，
即sinA＝cosAsinB－sinAcosB，则sinA＝sin(B－A)，
∵A，B∈(0，π)，∴A＝B－A，∴B＝2A，
(2)由·＝·，可得·＝0，∴DE⊥AB，
所以由正弦定理可得，cosA，
，∴，，
而四边形ACDE的面积b×，
，
则由余弦定理得．
31．(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：①函数的最大值为2；②函数的图象可由的图象平移得到；③函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为.
（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；
（2）求方程在区间上所有解的和.
【答案】（1）满足的条件为①③；（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，条件①②互相矛盾，所以③为函数满足的条件之一，根据条件③，可以确定函数的最小正周期，进而求得的值，并对条件①②作出判断，最后求得函数解析式；
（2）将代入方程，求得，从而确定出或，结合题中所给的范围，得到结果.
【详解】（1）函数满足的条件为①③；
理由如下：由题意可知条件①②互相矛盾，
故③为函数满足的条件之一，
由③可知，，所以，故②不合题意，
所以函数满足的条件为①③；
由①可知，所以；
（2）因为，所以，
所以或，
所以或，
又因为，所以x的取值为，，，，
所以方程在区间上所有的解的和为.
32．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)设函数，．
（1）已知，函数是偶函数，求的值；
（2）求函数，的值域．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据正弦函数的性质求解即可；
（2）利用降幂公式与辅助角公式化简，再求解值域即可
【详解】解：（1）由，得，
∵为偶函数，∴，∵，∴
（2）


∵，∴∴
∴函数的值域为：．
33．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)在锐角中，角、、的对边分别为、、，且．
（1）求角的大小；
（2）当时，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）由正弦定理结合三角恒等变换可得出，求出角的取值范围，可得出的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得的取值范围．
【详解】解：（1）由及正弦定理得，
所以，所以，
所以，由，可得；
（2），，所以，
所以：
，
因为为锐角三角形，则，解得，
所以，，则，
所以，.

平面向量部分：
1．(2022·南京9月学情【零模】)已知a，b为单位向量，且(4a－b)⊥(a＋3b)，则a，b夹角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】B
【考点】平面向量的数量积运算
【解析】由题意可知，(4a－b)·(a＋3b)＝0，化简可得4a2＋11a·b－3b2＝0，设a，b夹角为θ，则4＋11×1×1×cosθ－3＝0，解得cosθ＝，所以a，b夹角的余弦值为，故答案选B．
E
D
C
F
2．(2022·江苏第一次百校联考)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若＝x＋，则x＝ ▲ ．
B
A
【答案】
【考点】平面向量的基本定理
【解析】由题意，连接AE，因为F为DE的中点，所以＝(＋)，而＝＋＝＋＝＋，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＋，又＝x＋，所以x＝．
3．(2022·江苏海安中学期初)已知单位向量a，b满足|a－2b|＝a·b，则a，b的夹角为
A．0° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【考点】平面向量的数量积运算
【解析】由题意可设a，b的夹角为θ，则|a－2b|＝＝＝，a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，又|a－2b|＝a·b，所以＝cosθ，解得cosθ＝1或cosθ＝－5(舍去)，则θ＝0°，故答案选A．
4．(2022·苏州期初考试)设a，b是两个非零向量，下列说法正确的是
A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b
B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b|
C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得a＝λb
D．若存在实数λ，使得a＝λb，则|a＋b|＝|a|－|b|
【答案】C
【考点】平面向量的数量积、模等应用
【解析】由题意可设非零向量a，b的夹角是θ，则将|a＋b|＝|a|－|b|两边平方得，a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a|×|b|＋|b|2，即2a·b＝2|a|×|b|cosθ＝－2|a|×|b|，解得cosθ＝－1，则a，b是共线向量，即存在实数λ，使得a＝λb，则选项C正确，选项A错误；当a⊥b时，则a·b＝0，代入2a·b＝－2|a|×|b|，显然不成立，故选项B错误；若a＝λb，则|a＋b|＝|λb＋b|＝|1＋λ||b|，而|a|－|b|＝|λb|－|b|＝(|λ|－1)|b|，不一定等于|1＋λ||b|，故|a＋b|＝|a|－|b|不一定正确，故选项D错误；综上，答案选C．
5．(2022·苏州期初考试)等腰直角△ABC中，点P是斜边BC边上一点，若，则△ABC的面积为
▲ ．
【答案】
y
【解析】由题意，以点A为坐标原点，建立直角坐标系，如图所示，可设AB＝AC＝a，则BC所在的直线方程为＋＝1，且B(0，a)，C(a，0)，因为，所以＝4(1，0)＋(0，1)＝(4，1)，则P(4，1)，又因为点P在直线BC上，所以4＋1＝a，解得a＝5，即等腰直角三角形的腰长为5，故△ABC的面积S＝×5×5＝．
P
B


x
A
C


6．(2022·泰州中学期初考试)如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若,则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图所示，建立直角坐标系．
AC＝3，AB＝4
∵∠CAB＝，∴|OA|＝，|OC|＝，
∴A（﹣，0），C（0，），B（，0）．
∵，∴＝＝（，0），
∴＝+（，0）＝（，0）， ∴＝（，﹣）．
设＝λ+（1﹣λ）＝λ+（1﹣λ）×，
与＝m+比较，可得：m＝λ，＝， 解得m＝．
∴＝+＝（，）+（4，0）＝（，），
∴＝×﹣×＝．
故选：C．
7．(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)平行四边形ABCD中，，点P满足，则＝______．
【答案】3
【考点】平面向量的数量积应用
【解析】由题意，连结AC，BD，交于点O，连结PO，则＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝5，＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝8，同理可得＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2＝(2－2)－(2－2)＝8－5＝3．
C
D

P
O

B
A


8．(2022·青岛期初考试)(多选题)已知平面向量＝(1，2)，＝(－2，1)，＝(2，t)，下列说法正确的是
A．若(＋)∥，则t＝6 B．若(＋)⊥，
C．若t＝1，则cos＝ D．|＋|＜3
【答案】BC
【考点】平面向量的坐标运算
【解析】由题意，对于选项A，＋＝(－1，3)，因为(＋)∥，所以2×3＝－1×t，解得t＝－6，故选项A错误；对于选项B，＋＝(－1，3)，因为(＋)⊥，所以2×(－1)＋3t＝0，解得，故选项B正确；对于选项C，若t＝1，则＝(2，1)，且·＝1×2＋2×1＝4，||＝，||＝，所以cos＝＝＝，故选项C正确；对于选项D，|＋|2＝2＋2·＋2＝5＋2(2＋t)＋4＋t2＝t2＋4t＋13＝(t＋2)2＋9≥9，所以|＋|≥3，故选项D错误；综上，答案选BC．
9．(2022·湖南省长郡中学开学考试)设，，为单位向量，向量与的夹角为120°，则（﹣）•（﹣）的取值范围是　[﹣，]　．
【解答】解：设＝（1，0），＝（﹣，），＝（cosα，sinα），则＝（1﹣cosα，﹣sinα），＝（﹣﹣cosα，﹣sinα），∴（﹣）•（﹣）＝cos2α﹣cosα﹣+sin2α﹣sinα＝﹣sin（α+），∵﹣1≤sin（α+）≤1，∴﹣≤﹣sin（α+）≤，
故答案为：[﹣，]．

10．(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(多选题)已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且，则下列结论正确的是
A．a⊥b B．|a＋b|＝2
C． D．＝60°
【答案】AC
【考点】平面向量的综合应用：垂直、模、夹角问题
【解析】由题意可知，对于选项A，因为，所以(b－2a)2＝b2＋4a2－4a·b＝5，又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，所以a⊥b，所以选项A正确；对于选项B，(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2，所以|a＋b|＝，所以选项B错误；对于选项C，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝2，所以|a－b|＝，所以选项C正确；对于选项D，因为a⊥b，所以＝90°，所以选项D错误；综上，答案选AC．
11．(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)已知向量，，若，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量垂直则数量积为零，即可由坐标计算求得结果.
【详解】容易知，因为，故可得，解得.
故答案为：.
12．(2022·湖北省新高考联考协作体高三起点考试)(多选题)已知，，则下列说法正确的有（ ）
A. 在方向上的投影为 B. 与同向的单位向量是
C. D. 与平行
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据投影的计算公式可判断A；根据单位向量和数乘向量的概念可判断B；根据向量夹角公式可判断C；根据向量平行的坐标表示可判断D.
【详解】对于A：因为，，所以，
，所以在方向上的投影为，
故选项A正确；
对于B：，所以与同向的单位向量是，
即，故选项B正确；
对于C：由，因为，所以
故选项C正确；
对于D：因为 ，所以与不平行，故选项D错误，
故选：ABC.