北师大版必修52.1等差数列第2课时教学设计及反思

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1．等差数列的单调性与图像
阅读教材P13“练习1”以下“例5”以上部分，完成下列问题
(1)等差数列的图像
由an＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中公差d是该直线的斜率．
(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.
当d＞0时，{an}为递增数列，如图(甲)所示．
当d＜0时，{an}为递减数列，如图(乙)所示．
当d＝0时，{an}为常数列，如图(丙)所示．
甲 乙 丙
思考：(1)等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列，还是递减数列？
[提示] 因为公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列．
(2)等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系？
[提示] 等差数列的公差相当于图像法表示数时直线的斜率．
2．等差中项
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项．
思考：(1)若A是a与b的等差中项，如何用a和b表示A?
[提示] A＝eq \f(a＋b,2).
(2)若数列{an}中，an是an－1和an＋1的等差中项，那么数列{an}是等差数列吗？为什么？
[提示] 是．因为an是an－1和an＋1的等差中项，所以an－1，an，an＋1成等差数列，故an－an－1＝an＋1－an，由等差数列的定义知数列{an}是等差数列．
1．等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1,5a2,5a3，…，5an是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为5d的等差数列
C．非等差数列
D．以上都不对
B [由等差数列的定义知an－an－1＝d，
所以5an－5an－1＝5(an－an－1)＝5d，故选B．]
2．等差数列{an}中，a2＝3，a7＝18，则公差为( )
A．3 B．eq \f(1,3)
C．－3D．－eq \f(1,3)
A [a7－a2＝5d，即5d＝15，d＝3.]
3．eq \r(2)＋1和eq \r(2)－1的等差中项为________．
eq \r(2) [eq \f(\r(2)＋1＋\r(2)－1,2)＝eq \r(2).]
4．等差数列{an}中，a3＝1，则a2＋a3＋a4＝________.
3 [a2＋a3＋a4＝(a2＋a4)＋a3＝2a3＋a3＝3a3＝3.]
【例1】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8；
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值．
[解] (1)法一：(通项公式法)根据等差数列的通项公式，得
a2＋a6＋a10＝(a1＋d)＋(a1＋5d)＋(a1＋9d)＝3a1＋15d.
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝eq \f(1,3).
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2(a1＋5d)＝eq \f(2,3).
法二：(等差数列性质法)根据等差数列性质
a2＋a10＝a4＋a8＝2a6.
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，解得a6＝eq \f(1,3)，
∴a4＋a8＝2a6＝eq \f(2,3).
(2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d(d>0)，
∵a1＋a3＝2a2，∴a1＋a2＋a3＝15＝3a2，
∴a2＝5，又a1a2a3＝80，
∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝16⇒d＝3或d＝－3(舍去)，
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
等差数列性质的应用
解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{an}的性质：若m＋n＝p＋q＝2ω，则am＋an＝ap＋aq＝2aω(m，n，p，q，ω都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想．
1．在公差为d的等差数列{an}中．
(1)已知a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13；
(2)已知a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求d.
[解] 法一：(1)化成a1和d的方程如下：
(a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋22d)＋(a1＋23d)＝48，
即4(a1＋12d)＝48.∴4a13＝48.∴a13＝12.
(2)化成a1和d的方程组如下：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＋a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＝34，,a1＋d·a1＋4d＝52，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝16，,d＝－3.))
∴d＝3或－3.
法二：(1)由等差数列性质知a2＋a24＝a3＋a23，又a2＋a3＋a23＋a24＝48，
∴a3＋a23＝24＝2a13，∴a13＝12.
(2)由等差数列性质知，a2＋a5＝a3＋a4，又a2＋a3＋a4＋a5＝34，
∴a2＋a5＝17.又∵a2·a5＝52，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,a5＝13))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝13，,a5＝4，))
∴d＝eq \f(13－4,5－2)＝3或d＝eq \f(4－13,5－2)＝－3.
【例2】 已知a，b，c成等差数列，求证：b＋c，c＋a，a＋b也成等差数列．
[证明] 因为a，b，c成等差数列，
所以2b＝a＋c，
所以(b＋c)＋(a＋b)＝a＋2b＋c＝a＋(a＋c)＋c＝2(a＋c)，
所以b＋c，c＋a，a＋b成等差数列．
判断一个数列是等差数列的方法
(1)定义法：an－an－1＝d(常数)(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
(2)通项法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
(3)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2且n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
2．已知eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，求证：eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)也成等差数列．
[证明] 因为eq \f(1,a)，eq \f(1,b)，eq \f(1,c)成等差数列，
所以eq \f(2,b)＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)，
即2ac＝b(a＋c)．
因为eq \f(b＋c,a)＋eq \f(a＋b,c)＝eq \f(cb＋c＋aa＋b,ac)
＝eq \f(c2＋a2＋ba＋c,ac)＝eq \f(a2＋c2＋2ac,ac)＝eq \f(2a＋c2,ba＋c)＝eq \f(2a＋c,b)，
所以eq \f(b＋c,a)，eq \f(a＋c,b)，eq \f(a＋b,c)成等差数列．
[探究问题]
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，am和an分别是数列的第m项和第n项，怎样用am，an表示公差d？在等差数列中，d的几何意义是什么？
[提示] d＝eq \f(am－an,m－n)，d的几何意义是等差数列所在图像的斜率．
2．等差数列{an}中，若m＋n＝p，是否有am＋an＝ap成立？
[提示] am＋an＝a1＋(m－1)d＋a1＋(n－1)d＝2a1＋(m＋n－2)d，
ap＝a1＋(p－1)d＝a1＋(m＋n－1)d，∴am＋an≠ap.
3．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是等差数列吗？若是，公差是多少？
[提示] (λan＋1＋b)－(λan＋b)＝λ(an＋1－an)＝λd(与n无关的常数)，故{λan＋b}为等差数列，公差为λd.
【例3】 在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，求数列{an}的通项公式．
思路探究：法一：由条件列出关于a1和d的方程组，求出a1和d，可得an；
法二：利用等差数列的性质求d，利用an＝am＋(n－m)d，求an.
[解] 法一(方程组法)：由a3＋a4＋a5＝84，a9＝73，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a1＋9d＝84，,a1＋8d＝73，))
解得d＝9，a1＝1，故an＝1＋9(n－1)＝9n－8.
法二(等差数列性质法)：因为a3＋a4＋a5＝3a4，a3＋a4＋a5＝84，故3a4＝84，得a4＝28，又a9－a4＝5d＝45，解得d＝9.
所以an＝a4＋(n－4)d＝28＋9(n－4)＝9n－8.
1．(变条件)在例3中，若条件“a3＋a4＋a5＝84”改为“a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝100”，其余不变，求an.
[解] 因为a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，故5a6＝100，a6＝20，又a9＝73，故a9－a6＝53＝3d，故d＝eq \f(53,3).
所以an＝a6＋(n－6)d＝20＋eq \f(53,3)(n－6)＝eq \f(53,3)n－86.
2．(变结论)例3的条件不变，若数列{bn}是等差数列，其公差为3，那么数列{2an＋3bn}是等差数列吗？若是，求出其公差．
[解] (2an＋1＋3bn＋1)－(2an＋3bn)＝2(an＋1－an)＋3(bn＋1－bn)
＝2×9＋3×3＝27，所以数列{2an＋3bn}是等差数列，其公差为27.
等差数列的性质
若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)若给出等差数列的第m项am和第n项an(n＞m)，则an＝am＋(n－m)d或d＝eq \f(an－am,n－m).
(3){an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ai＋an－i＋1＝….
(4)若数列{an}为等差数列，则数列{λan＋b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列．
(5)若数列{an}为等差数列，则下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)组成公差为md的等差数列．
(6)若数列{an}与{bn}均为等差数列，则{Aan＋Bbn}(A，B是常数)也是等差数列．
1．等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率，所以等差数列的单调性仅与公差d的正负有关．特别地，如果已知等差数列{an}的任意两项an，am，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式，得d＝eq \f(an－am,n－m)(m≠n)．
2．在等差数列{an}中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列．
3．在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)等差数列的图像要么是上升的、要么是下降的．( )
(2)等差数列{an}中，a3＋a4＝a2＋a5.( )
(3)任何两个数都有等差中项．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
[提示] (1)不正确，当公差d＝0时，其图像的连线平行于x轴；(2)(3)正确．
2．已知在等差数列{an}中，a1＋a2＋…＋a10＝30，则a5＋a6＝
( )
A．3 B．6
C．9D．36
B [因为数列{an}是等差数列，
所以a1＋a2＋…＋a10＝5(a5＋a6)＝30，
所以a5＋a6＝6.]
3．在等差数列{an}中，若a4和a10的等差中项是3，又a2＝2，则an＝________.
eq \f(1,5)n＋eq \f(8,5) [因为a4＋a10＝2a7，故a7＝3，又a2＝2，所以d＝eq \f(1,5)，an＝a2＋(n－2)d＝2＋eq \f(1,5)(n－2)＝eq \f(1,5)n＋eq \f(8,5).]
4．已知三个数成等差数列且是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数．
[解] 依题意，设这三个数为
a－d，a，a＋d(d＞0)，则
(a－d)＋a＋(a＋d)＝3a＝18，①
(a－d)2＋a2＋(a＋d)2＝3a2＋2d2＝116，②
由①②得a＝6，d＝2.
所以所求三个数为4,6,8.
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握等差中项的概念及其应用．
2．掌握等差数列的项与序号的性质．(重点)
3．理解等差数列的项的对称性．(重点)
4．能够熟练应用等差数列的性质解决有关实际问题．(难点)
1.通过对等差数列性质的研究培养逻辑推理的素养．
2．通过学习等差中项的概念提升数学运算的素养.
等差数列的性质
等差中项及其应用
等差数列性质的综合应用