数学人教A版 (2019)5.6 函数 y=Asin( ωx + φ)学案及答案
展开5.6 函数y=Asin(ωx+φ)(二)
必备知识基础练
知识点一 | 求函数y=Asin(ωx+φ)的表达式 |
1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是( )
A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin
C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin
2.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ的值为( )
A.- B.
C.- D.
3.已知函数y=Asin(ωx+φ)+B的周期为T,在一个周期内的图象如图所示,则正确的结论是( )
A.A=3,T=2π
B.B=-1,ω=2
C.T=4π,φ=-
D.A=3,φ=
知识点二 | 三角函数性质的综合应用 |
4.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z)
C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z)
5.如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点中心对称,那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
6.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位长度后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( )
A. B. C.0 D.-
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,B,C为图象上相邻的最高点和最低点,将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象.
(1)求f(x)的最小正周期及解析式;
(2)求函数g(x)在上的最大值和最小值.
关键能力综合练
一、选择题
1.下列函数中,图象的一部分如图所示的是( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=cos
D.y=cos
2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的相邻两个零点的距离为,要得到y=f(x)的图象,只需把y=cos ωx的图象( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
3.已知ω>0,函数f(x)=cos的一条对称轴为x=,一个对称中心为,则ω有( )
A.最小值2 B.最大值2
C.最小值1 D.最大值1
4.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)的值等于( )
A. B.2+2
C.+2 D.-2
5.已知点P是函数f(x)=sin(ωx+φ)+m的图象的一个对称中心,且点P到该图象的对称轴的距离的最小值为,则( )
A.f(x)的最小正周期是π
B.f(x)的值域为[0,4]
C.f(x)的初相φ=
D.f(x)在区间上单调递增
6.(易错题)已知a是实数,则函数f(x)=1+asin ax的图象不可能是( )
二、填空题
7.在函数y=2sin的图象的对称中心中,离原点最近的一个对称中心的坐标是________.
8.已知函数f(x)=3sin,则f(x)图象的一条对称轴方程是____________;当x∈时,f(x)的值域为__________.
9.(探究题)关于f(x)=4sin(x∈R),有下列命题:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2是π的整数倍;
②y=f(x)的表达式可改写成y=4cos;
③y=f(x)的图象关于对称;
④y=f(x)的图象关于x=-对称.
其中正确命题的序号为________.
三、解答题
10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象与y轴的交点为(0,1),它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0+2π,-2).
(1)求f(x)的解析式及x0的值;
(2)求f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈[-π,π],求f(x)的值域.
学科素养升级练
1.(多选题)已知函数f(x)=2sin xcos x-2sin2x,给出下列四个选项,正确的有( )
A.函数f(x)的最小正周期是π;
B.函数f(x)在区间上是减函数;
C. 函数f(x)的图象关于点对称;
D.函数f(x)的图象可由函数y=sin 2x的图象向右平移个单位,再向下平移1个单位得到.
2.已知函数f(x)=sin(ω>0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=________.
3.(学科素养—逻辑推理)设m为实常数,已知方程sin=m在开区间(0,2π)内有两相异实根α,β.
(1)求m的取值范围;
(2)求α+β的值.
答案
必备知识基础练
1.解析:由y=sin=sin 4得,只需将y=sin 4x的图象向右平移个单位即可,故选B.
答案:B
2.解析:将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin的图象,即y=sin=cos 2x的图象,再向上平移1个单位长度,所得到的图象对应的函数为y=1+cos 2x.
答案:B
3.解析:y=sin=cos=cos=cos=cos.故选B.
答案:B
4.解析:y=3sin,x∈R图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变得到y=3sin,故选B.
答案:B
5.解析:将y=sin x的图象向右平移个单位长度得到y=sin的图象,再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=sin的图象.
答案:C
6.解析:将函数y=sin x的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变),得到函数y=sin 2x的图象,将所得图象向上平移1个单位长度,得到函数y=sin 2x+1的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin+1=sin+1的图象.故选B.
答案:B
8.解析:先把函数y=sin x的图象向右平移个单位,得y=sin的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得y=sin的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y=5sin的图象,最后将所得函数图象向下平移3个单位,得函数y=5sin-3的图象.
关键能力综合练
1.解析:由题意可知得到图象的解析式为y=cosx,所以ω=.
答案:B
2.解析:先将y=2sin x,x∈R的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin,x∈R的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin,x∈R的图象.
答案:C
3.解析:y=sin的图象向右平移个单位得到y=sin=sin=-cos 2x的图象,y=-cos 2x是偶函数.
答案:D
4.解析:y=cos=sin
=sin=sin.
由题意知,要得到y=sin的图象,
只需将y=sin 2x的图象向左平移个单位长度.
答案:A
5.解析:将y=sin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再将所有点向右平移个单位长度即得y=sin的图象,依据此变换过程可得到A中图象是正确的.也可以分别令2x-=0,,π,,2π得到五个关键点,描点连线即得函数y=sin的图象.
答案:A
6.解析:由题意,得g(x)=sin=sin.∵g(x)的图象关于y轴对称,
∴g(x)为偶函数,∴2φ-=kπ+(k∈Z),∴φ=+(k∈Z).当k=0时,φ=;当k=1时,φ=,故选D.
答案:D
7.解析:将函数y=sin 4x的图象向左平移个单位长度,
得y=sin=sin,
所以φ的值为.
答案:
8.解析:平移后解析式为y=sin(2x-2φ),图象关于x=对称,
∴2×-2φ=kπ+(k∈Z),
∴φ=--(k∈Z),又∵φ>0,
∴当k=-1时,φ的最小值为.
答案:
9.解析:y=sin xy=siny=sin或y=sin xy=siny=sin=sin.
答案:④②或②⑥
10.解析:(1)ω===2.
(2)由(1)可知f(x)=sin.列表:
2x- | 0 | π | 2π | ||
x | |||||
sin | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
作图(如图所示).
(3)把函数y=sin x的图象上的所有点向右平行移动个单位长度,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把函数y=sin的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象.
学科素养升级练
1.解析:A正确;B错,y=sin x的图象向右平移2个单位,得y=sin(x-2)的图象;C正确;D错,应向左平移个单位.
答案:AC
2.解析:cos=sin,将y=sin的图象上所有的点向左平移φ(φ>0)个单位长度得y=sin的图象.令+=2kπ+,k∈Z,
∴φ=4kπ-,k∈Z.
∴当k=1时,φ=是φ的最小正值.
答案:
3.解析:(1)因为ω>0,根据题意有
解得0<ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)=2sin 2x可得,
g(x)=2sin+1=2sin+1,
g(x)=0⇒sin=-⇒x=kπ-或x=kπ-π,k∈Z,
即g(x)的零点相邻间隔依次为和,
故若y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点,
则b-a的最小值为14×+15×=.
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