人教A版 (2019)5.5 三角恒等变换第4课时学案设计

第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式

必备知识基础练

1.设α是第四象限角，已知sin α＝－，则sin 2α，cos 2α和tan 2α的值分别为(　　)

A．－，，－  B.，，

C．－，－，  D.，－，－

2．求下列各式的值．

(1)cos2－sin2＝________；

(2)－cos215°＝________；

(3)cos 20°cos 40°cos 80°＝________.

3.cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于(　　)

A.  B.

C.    D．1＋

4.等于(　　)

A.  B.

C．1  D．－1

5.等于(　　)

A.    B．1

C.  D．2

6.若tan θ＋＝4，则sin 2θ＝(　　)

A.  B.

C.  D.

7．若α∈，则＋的值为(　　)

A．2cos  B．－2cos

C．2sin  D．－2sin

8．已知角α在第一象限且cos α＝，则等于(　　)

A.   B.

C.  D．－

9．已知＝－，则sin的值是________．

10．求证：＝tan4A.

关键能力综合练

一、选择题

1．已知cos x＝－，x为第二象限角，那么sin 2x＝(　　)

A．－  B．±

C．－  D.

2．cos4－sin4的值为(　　)

A．0  B.

C．1  D．－

3．已知cos＝，则sin 2x的值为(　　)

A.     B.

C．－  D．－

4．若＝，则tan 2α等于(　　)

A．－  B.

C．－  D.

5．(易错题)－＝(　　)

A．－2cos 5°  B．2cos 5°

C．－2sin 5°  D．2sin 5°

6．已知等腰三角形底角的正弦值为，则顶角的正弦值是(　　)

A.     B.

C．－  D．－

二、填空题

7．若sin α－cos α＝，则sin 2α＝________.

8．已知θ∈(0，π)，且sin＝，则tan 2θ＝________.

9．(探究题)已知tan＝3，则tan θ＝__________，cos＝________.

三、解答题

10．求下列各式的值：

(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；

(3)2cos2－1；(4)；

(5)求sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的值．

学科素养升级练

1．(多选题)下列选项中，值为的是(　　)

A．cos  72°cos  36°  B．sinsin

C.＋     D.－cos215°

2．函数f(x)＝sin－3cos  x的最小值为________．

3．(学科素养—数学建模)如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30 m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10 m到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．

答案

必备知识基础练

1．解析：因为α是第四象限角，且sin α＝－，所以cos α＝，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，tan 2α＝＝－.

答案：A

2．解析：(1)原式＝cos＝.

(2)原式＝(1－2cos215°)＝－cos 30°＝－.

(3)原式＝·2sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°

＝·sin 40°·cos 40°cos 80°

＝sin 80°cos 80°

＝·sin 160°

＝＝.

答案：(1)　(2)－　(3)

3．解析：原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝1＋＝.

答案：C

4．解析：原式＝＝＝.

答案：A

5．解析：原式＝＝＝＝1.

答案：B

6．解析：解法一　∵tan θ＋＝＝4，∴4tan θ＝1＋tan2θ，∴sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝.

解法二　∵tan θ＋＝＋＝＝，

∴4＝，∴sin 2θ＝.

答案：D

7．解析：∵α∈，∴∈，

∴原式＝＋

＝－sin－cos－sin＋cos＝－2sin.

答案：D

8．解析：∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝.

∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，

sin 2α＝2sin αcos α＝，

∴原式＝

＝＝.

答案：C

9．解析：由＝＝＝－，得3tan2α－5tan α－2＝0，解得tan α＝2，或tan α＝－.

sin＝sin 2αcos＋cos 2αsin

＝(sin 2α＋cos 2α)

＝

＝，①

当tan α＝2时，①＝×＝；

当tan α＝－时，

①＝×＝.

综上，sin＝.

答案：

10．证明：∵左边＝

＝2＝2＝(tan2A)2

＝tan4A＝右边，

∴＝tan4A.

关键能力综合练

1．解析：因为cos x＝－，x为第二象限角，所以sin x＝，所以sin 2x＝2sin xcos x＝2××＝－，故选C.

答案：C

2．解析：cos4－sin4＝＝cos＝.

答案：B

3．解析：因为sin 2x＝cos＝cos 2＝2cos2－1，所以sin 2x＝2×2－1＝－1＝－.

答案：C

4．解析：因为＝，

整理得tan α＝－3，

所以tan 2α＝＝＝.

答案：B

5．解析：原式＝－

＝(cos 50°－sin 50°)＝2

＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.

答案：C

6．解析：设底角为θ，则θ∈，顶角为π－2θ.

∵sin θ＝，∴cos θ＝＝.

∴sin(π－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝.

答案：A

7．解析：(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2⇒sin 2α＝1－2＝.

答案：

8．解析：由sin＝，得(sin θ－cos θ)＝⇒sin θ－cos θ＝.解方程组得

或因为θ∈(0，π)，所以sin θ＞0，所以不符合题意，舍去，所以tan θ＝，所以tan 2θ＝＝＝－.

答案：－

9．解析：由tan θ＝tan＝＝＝＝，

cos＝(cos 2θ＋sin 2θ)＝(cos2θ－sin2θ＋2sin θcos θ)＝×＝×＝×＝×＝.

答案：　

10．解析：(1)∵sin＝sin＝cos，

∴sinsin＝sincos＝·2sincos＝sin＝.

(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，

∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.

(3)2cos2－1＝cos＝－.

(4)＝＝tan 60°＝.

(5)解法一　∵sin 10°sin 50°sin 70°＝

＝＝＝

＝＝，∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝.

解法二　sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝cos 20°cos 40°cos 80°

＝＝

＝＝·＝.

学科素养升级练

1．解析：对于A中cos  36°cos  72°＝＝＝＝.对于B中sinsin＝sincos＝＝＝.对于C中原式＝＝＝＝＝4.对于D中－cos215°＝－(2cos215°－1)＝－cos  30°＝－，故选AB.

答案：AB

2．解析：∵f(x)＝sin－3cos  x

＝－cos  2x－3cos  x

＝－2cos2x－3cos  x＋1，

令t＝cos  x，则t∈[－1,1]，

∴f(t)＝－2t2－3t＋1.

又函数f(t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，

∴当t＝1时，f(t)有最小值－4.

综上，f(x)的最小值为－4.

答案：－4

3．解析：∵∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，

∴∠BAC＝θ，∴AC＝BC＝30 m.

又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，∴∠CAD＝2θ，

∴AD＝CD＝10 m.

∴在Rt△ADE中，AE＝AD·sin  4θ＝10sin  4θ(m)，

在Rt△ACE中，AE＝AC·sin  2θ＝30sin  2θ(m)，

∴10sin  4θ＝30sin  2θ，

即20sin  2θcos  2θ＝30sin  2θ，∴cos  2θ＝，

又2θ∈，∴2θ＝，∴θ＝，

∴AE＝30sin＝15(m)，

∴θ＝，建筑物AE的高为15 m.