初中人教版12.3 角的平分线的性质当堂达标检测题

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人教版2021年八年级上册：12.3 角的平分线的性质 课时练习一．选择题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD平分∠BAC交边BC于D点．若CD＝3，则△ABD的面积为（　　）A．15 B．30 C．10 D．202．如图，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足是E．若AC＝5，DE＝2，则AD为（　　）A．4 B．3 C．2 D．13．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝4，BD＝5，AD＝3，若点P是BC上的动点，则线段DP的最小值是（　　）A．3 B．2.4 C．4 D．54．如图，Rt△ABC的两直角边AB、BC的长分别是9、12．其三条角平分线交于点O，将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于（　　）A．1：1：1 B．1：2：3 C．3：4：5 D．2：3：45．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（　　）A．24 B．28 C．30 D．326．如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD＝3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．57．如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（　　）A．27 B．36 C．18 D．208．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于点D，且BD＝2CD，BC＝9cm．则点D到AB的距离为 　    　．10．如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，若AB＝5，AC＝3，DF＝2，则△ABC的面积为 　 　．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝7，DE＝3，则BD的长为 　 　．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AB于E，若BE＝3，△BDE的周长为11，则BC＝　 　．13．如图所示，AD是△ABC的平分线，DF⊥AB于点F，DE＝DG，若S△DEF＝2，S△ADG＝9：则△ADE的面积为 　 　．14．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 　   　cm2．三．解答题15．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是64cm2，AB＝20cm，AC＝12cm，求DE的长．    16．点P为△ABC三内角平分线的交点，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：点P到三边的距离．   17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于点D，求BD的长．  18．如图，已知△ABC的周长是20，BO和CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，且OD＝3，求△ABC的面积．   19．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．  20．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．  21．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．（1）求证：CP平分∠ACB；（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．   参考答案一．选择题1．解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD＝3，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15．故选：A．2．解：∵BD是∠ABC平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD＝2，∵AC＝5，∴AD＝AC﹣CD＝5﹣2＝3，故选：B．3．解：当DP⊥BC时，DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A＝90°当DP⊥BC时，DP＝AD，∵AD＝3，∴DP的最小值是3，故选：A．4．解：过O点作OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵△ABC的三条角平分线交于点O，∴OD＝OE＝OF，在Rt△ABC中，AB＝9，BC＝12，∴AC＝，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝，故选：C．5．解：过D点作DH⊥AB于H，如图，∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥BA，∴DH＝DC＝4，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×5×4+×9×4＝28．故选：B．6．解：根据垂线段最短可知：当PM⊥OC时，PM最小，当PM⊥OC时，又∵OP平分∠AOC，PD⊥OA，PD＝3，∴PM＝PD＝3，故选：B．7．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，∴OE＝OF＝OD＝3，∴四边形ABOC的面积＝S△ABO+S△ACO＝•AB•OE+•AC•OF＝×3×（AB+AC）＝×3×18＝27．故选：A．8．解：①过点P作PD⊥AC于D，∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC，∴PM＝PN，PM＝PD，∴PM＝PN＝PD，∴点P在∠ACF的角平分线上，故①正确；②∵PM⊥AB，PN⊥BC，∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，∴∠ABC+∠MPN＝180°，在Rt△PAM和Rt△PAD中，，∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），∴∠APM＝∠APD，同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL），∴∠CPD＝∠CPN，∴∠MPN＝2∠APC，∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确；③∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC，∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB＝2∠PAM，∠PAM＝∠ABC+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB，③正确；④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN，∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确，故选：D．二．填空题9．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∵BD＝2CD，BC＝9cm，∴CD＝BC＝3cm，∴DE＝3cm，即点D到AB的距离为3cm．故答案为3cm．10．解：∵AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，∴DE＝DF＝2，∵AB＝5，AC＝3，∴S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB•DE+AC•DF＝×5×2+×3×2＝5+3＝8．故答案为：8．11．解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE，∵DE＝3，∴CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝7﹣3＝4．故答案为：4．12．解：∵△ABC中，∠C＝90°，∴AC⊥CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE＝CD，∵△BDE的周长为11，BE＝3，∴△BDE的周长是：BE+BD+DE＝BE+BD+CD＝BE+BC＝3+BC＝11．∴BC＝8，故答案为：8．13．解：过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC，∴DH＝DF，在Rt△DEF和Rt△DGH中，，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴△DEF的面积＝△DGH的面积＝2，同理可证，Rt△ADF≌Rt△ADH，∴△ADF的面积＝△ADH的面积＝9﹣2＝7，∴△ADE的面积＝△ADF的面积﹣△DEF的面积＝7﹣2＝5，故答案为：5．14．解：连接OA，过O作OE⊥AB于E，OG⊥AC于G，OF⊥BC于F，∵∠ABC，ACB的平分线交于点O，∴OE＝OF，OG＝OF，∴OE＝OF＝OG，∵点O到AC边的距离为cm，∴OE＝OF＝OG＝cm，∵△ABC的周长为20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∴△ABC的面积S＝S△ABO+S△BCO+S△ACO＝＝××（AB+BC+AC）＝×20＝15（cm2），故答案为：15．三．解答题15．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，∴×20×DE+×12×DF＝64，即10DE+6DE＝64，∴DE＝4（cm）．答：DE的长为4cm．16．解：∵点P为三角形三个内角平分线的交点，作PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，连接PA，PB，PC，如图，∴PD＝PE＝PF，设PD＝PE＝PF＝R，由三角形的面积公式得：S△ACB＝S△APC+S△APB+S△BPC，∴×AC×BC＝×AC×R+×BC×R+×AB×R，6×8＝6R+8R+10R，R＝2，即PD＝2cm．答：点P到三边的距离为2cm．17．解：过A点作AH⊥BC于H，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，∵AH•BC＝AC•AB，∴AH＝＝，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，∵AB•DE+AC•DF＝AB•AC，∴3DE+4DF＝24，∴DE＝，∵S△ABD＝AH•BD＝AB•DE，∴BD＝＝．18．解：∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，∴OE＝OF＝OD，∵OD＝3，∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是20，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×3＝×20×3＝30．19．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝AB•DE+BC•DF＝DE•（AB+BC）＝28，即DE（6+8）＝28，∴DE＝4．20．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠DFC＝90°，∴△BDE与△CDF均为直角三角形，∵∴△BDE≌△CDF（HL）．∴DE＝DF，∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴AD平分∠BAC；（2）AB+AC＝2AE．证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，∵∠E＝∠AFD＝90°，∴∠ADE＝∠ADF．在△AED与△AFD中，∵，∴△AED≌△AFD（ASA）．∴AE＝AF．∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．21．（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，∵AP平分∠CAB，BP平分∠ABC，∴PD＝PF，PD＝PE，∴PF＝PE，∴CP平分∠ACB； （2）解：∵∠CAB＝60°，∴∠PAB＝30°，在Rt△PAD中，PA＝4，∴PD＝2，∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA＝AB•PD+BC•PE+CA•PF＝（AB+BC+CA）•PD＝×20×2＝20．