沪教版高中一年级 第二学期5.3同角三角比的关系和诱导公式教案

同角三角比的关系和诱导公式

【教学目标】

1．掌握诱导公式的推导方法和记忆方法；

2．会运用这些公式求解任意角的三角比的值，会由三角比的值，求特殊角，并会化简单的三角比的关系式；

3．通过公式的探求与应用培养思维的严密性。

【教学重难点】

重点：诱导公式；

难点：诱导公式的灵活应用。

【教学过程】

一、复习引入

1．公式一：

；

；

；

（其中）。

用角度可写成：

；

；

；

（其中）。

2．讨论：

公式一的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为0º―360º之间角的正弦、余弦、正切，其方法是先在0º―360º内找出与角终边相同的角，再把它写成诱导公式一的形式，然后得出结果。

这组公式可以统一概括为的形式，上述一组公式叫做任意角三角比的第一组诱导公式，其特征是：等号两边是同名三角比，且符号都为正。

说明：运用公式时，注意“弧度”与“角度”两种度量制不要混用，如写成，是不对的。

二、学习新课

1．公式推导。

公式二：

；      

。     

它说明角-与角的正弦值互为相反数，而它们的余弦值相等。这是因为，若角的终边与单位圆交于点P（x，y)，则角-的终边与单位圆的交点必为P´（x，-y)。由正弦、余弦三角比的定义，即可得：

sin=y，cos=x，

sin（-)=-y，cos（-)=x， 

所以：sin（-)= -sin，cos（-)= cosα。

由三角比的商数关系，得：；

即。

类似可得。

这组公式叫任意角三角比的第二组诱导公式。

练习：求的正弦、余弦、正切和余切的值。

说明：公式二也可以由特殊到一般，既从特殊三角比的计算，猜测出公式，再证明。

公式三：

用角度可表示如下：

；。

；；

；；

；。

它刻画了角180º+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或余弦值）是一对相反数。这是因为若设的终边与单位圆交于点P（x，y），则角终边的反向延长线，即180º+角的终边与单位圆的交点必为P´（-x，-y）。由正弦、余弦三角比的定义，即可得sin=y，cos=x，sin（180º+）=-y，cos（180º+）=-x，

所以：sin（180º+）=-sin，cos（180º+）=-cos。

说明：公式二、三的获得主要借助于单位圆及正弦、余弦比的定义。根据点P的坐标准确地确定点P´的坐标是关键，这里充分利用了对称的性质。直观的对称形象为我们准确写出P´的坐标铺平了道路，体现了数形结合这一数学思想的优越性。

练习：求下列三角比的值：

（1）；    

（2）。

分析：本题是诱导公式二的巩固性练习题。求解时，只须设法将所给角分解成180º+或（π+），为锐角即可。

解：

（1）cos210º=cos（180º+30º)=－cos30º=－；

（2）sin=sin（)=－sin=－。

公式四：

把第三组公式中的换成，得第四组诱导公式：

；；

；；

；；

；。

说明：这组公式均可由前面学过的诱导公式直接推出，体现了把未知问题化为已知问题处理这一化归的数学思想。公式的推导并不难，然而推导中的化归意识和策略是值得我们关注的。

四组诱导公式可概括为：

k·360º+（k∈Z），-，180º±，360º-的三角比值，等于的同名三角比的值，前面加上一个把看成锐角时原三角比的符号。