高中数学沪教版高中一年级 第二学期5.6正弦定理、余弦定理和解斜三角形教学设计

正弦定理

1.教学目标

1.1掌握正弦定理，理解其推导过程，并能初步运用正弦定理解三角形.

1.2从已有的知识出发，探究在任意三角形中，三角形的边长与其对角正弦之比之间的关系，感悟数学定理的形成过程.

1.3通过对三角形边角关系的探究活动，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认知规律，进一步养成化未知为已知的解决问题的能力及归纳、猜想、论证的数学能力.

2.教学重点与难点

2.1正弦定理的探索发现及其初步应用；

2.2正弦定理的证明.

3.教学设计

3.1课题引入

我们把三角形的三条边，三个角，称为三角形的六个元素；把已知三角形的某些元素，求其他的元素的过程，叫做解三角形.

【问题1】已知中，已知，求：.

过点作直线的垂线交于点，

在中，，又在中，，

∴由得.

【问题2】已知中，试求间的等式关系.

过点作直线的垂线交于点，

在中，，

又在中，，

∴

3.2正弦定理的猜想与验证

【问题3】在任意中，都有成立吗？

【问题4】在中，除之外是否有其他的等式关系呢？

，，，即.

【正弦定理】在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，即：

.

3.3溯本求源

古印度数学家将圆心角所对应的弦长的一半与半径的比值称为圆心角的一半的正弦，即.

若，则，∴，即.

【问题5】在任意中，都有吗？如何证明？

不妨设，则，

由正弦定理知，，

又∵为中任意内角，

∴任意中，都有都成立.

【正弦定理】在三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等，比值为其外接圆的直径.即

.

3.4例题讲解

【例1】在中，求.

解：，

由正弦定理知，

∴，.

【例2】在中，分别根据下列条件解三角形.

（1），，；

解：由正弦定理知， ，

又∵，∴或.

当时，，；

当时，，.

（2），，；

解：由正弦定理知， ，

又∵，∴ ∴.

∴，.

【问题6】已知三角形的两边和其中一边的对角，所解得三角形的个数可能是多少？

如何判断？（在△中，已知，求的个数）.

若为钝角，则至多一个解；

若为锐角，则：当时，有且只有一解；

当时，有两解；当时，有且只有一解.

3.5回顾总结

4.教学设计说明

《正弦定理》这节课是解斜三角形这一节内容的起始课，而解斜三角形是高中数学课程中非常重要的章节之一.一方面是对于前面学过的任意角的三角比的应用，另一方面为后续高中的学习作铺垫准备.通过三角形的边角关系作量化探究，发现并证明正弦定理这一重要的工具，解决三角形中简单的度量问题.教学过程中，应发挥学生的主动性，通过探索发现、合情推理与演绎证明的过程，提高学生的思辨能力.