初中数学冀教版八年级上册17.4 直角三角形全等的判定测试题

17.4直角三角形全等的判定同步练习冀教版初中数学八年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列结论正确的是

A. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B. 顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C. 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
D. 两个等边三角形全等．

2. 如图，若要用“HL”证明≌，则还需补充条件

A.
B.
C.
D. 以上都不正确
 

3. 下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是

A. 两个锐角对应相等 B. 一条斜边和一个锐角对应相等
C. 两条直角边对应相等 D. 一条直角边和一条斜边对应相等

4. 如图，在中，，于点D，，若，则等于   

A. 4cm
B. 5cm
C. 6cm
D. 7cm

5. 下列结论正确的是

A. 有两个锐角相等的两个直角三角形全等
B. 一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
C. 两个等边三角形全等
D. 有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等

6. 如图，己知，，判定和全等的依据是

A. AAS B. SAS C. ASA D. HL

7. 下列说法中，正确结论的个数为
   有两边对应相等的两个直角三角形全等；
   有一角为，且腰长相等的两个等腰三角形全等；
   全等的两个图形一定关于某一条直线对称；
   等腰三角形中两底角的角平分线相等；
   如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称．

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

8. 如图，中，，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是

A. 1对
B. 2对
C. 3对
D. 4对

9. 如图，，，，则能直接判断≌的理由是

A. HL B. ASA C. SAS D. SSS

10. 下列说法中正确的个数有
    在同一平面内，不相交的两条直线必平行；
    同旁内角互补；
    ；
    ；
    有两边及其一角对应相等的两个直角三角形全等；
    经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直．

A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

11. 已知：如图，在中，点D在边BC上，，，，垂足分别为E，F，．
    求证：≌以下是排乱的证明过程：
    
    ≌
    ，，
    在和中已知．
    证明步骤正确的顺序是

A.  B.
C.  D.

12. 如图，点P为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：恒成立；的值不变；四边形PMON的面积不变；的长不变，其中正确的个数为．

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，在与中，已知，请你添加一个条件不添加字母和辅助线，使，你添加的条件是          ．

14. 如图，中，于D，要使≌，若根据“HL”判定，还需要加条件______．
    
     

15. 如图，AB，CAAB于A，DBAB于B，且ACm，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后CAP与PQB全等．
     

16. 如图，BE，CD是的高，且，判定≌的依据是___________．
    
    
     

17. 如图，、，垂足分别为B、C，，，，点P为BC边上一动点，当______时，形成的与全等．
     

18. 如图，，，，，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且，当______时，以点A，P，Q为顶点的三角形与全等．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图在中，，，于A，于B，试判断AB与AD，BE之间的数量关系，并证明．
     

20. 如图，点B、F、C、E在直线l上、C之间不能直接测量，点A、D在l异侧，，，测得．
    
    求证：≌； 
    若，，求FC的长度．
    
    
    
    
    
    
     
21. 在中，，，点F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．
    
     

求证：．

若，求的度数．






 

22. 如图，在中，，，垂足为D，延长BC到E，使得，连接AE．

求证：；

若，，求的面积和周长．






 

23. 如图，E是的平分线上一点，，，C、D是垂足，连接CD交OE于点F，若．
    
    求证：是等边三角形；
    若，求线段OE的长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图所示，，，，求证：．
    
    
     

25. 如图1，为等腰直角三角形，，D为BC边上的一个动点，连接AD，将线段AD绕着点A逆时针旋转到AE的位置，连接CE．

求证：； 

连接BE，交AC于F点，若BE平分，，求AF的长；

如图2所示，如果点D不在BC边上，而是在AC边的右侧，且满足，当，时，求AD的长．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：A、有两个锐角相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；
B、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等，故符合题意；
C、一条斜边对应相等的两个直角三角形不一定全等，故不符合题意；
D、两个等边三角形相似但不一定全等，故不符合题意；
故选：B．
根据全等三角形的判定定理判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
 

2.【答案】B
 

【解析】解：若要用“HL”证明≌，则还需补充条件或，
故选：B．
图形中已有条件，只缺一对直角边对应相等，因此添加一对直角边对应相等即可．
此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“HL”．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证．本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

【解答】

解：全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项符合题意；
B.符合判定ASA或AAS，故本选项正确，不符合题意；
C.符合判定ASA，故本选项不符合题意；
D.符合判定HL，故本选项不符合题意．
故选A．

4.【答案】C
 

【解析】略
 

5.【答案】D
 

【解析】解：A、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以有两个锐角相等的两个直角三角形全等的说法错误；
B、由于直角三角形除了直角，还需两个条件才能判断这两个直角三角形全等，所以一条斜边对应相等的两个直角三角形全等的说法错误；
C、由于判断两个三角形全等，必须要一组边相等，所以两个等边三角形全等的说法错误；
D、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，说法正确；
故选：D．
利用全等三角形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握全等三角形的5种判定方法．
 

6.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了直角三角形全等的判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
根据HL证明和全等即可．
【解答】
解：，，
，
在和中，

，
故选：D．  

7.【答案】D
 

【解析】解：有两边对应相等的两个直角三角形全等，正确．
有一角为，且腰长相等的两个等腰三角形全等，错误，理由是角不一定都是底角或顶角．
全等的两个图形一定关于某一条直线对称，错误，不一定有对称关系．
等腰三角形中两底角的角平分线相等，角平分线是射线，不相等．
如果点M与N到直线l的距离相等，那么点M与点N关于直线l对称．错误，不一定有对称关系．
故选：D．
根据全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的定义等知识一一判断即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定，轴对称的性质，属于中考常考题型．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质，全等直角三角形的判定，线段垂直平分线的性质；由，D是BC的中点，易得AD是BC的垂直平分线，则可证得≌，≌，≌，又由EF是AC的垂直平分线，证得≌．
【解答】
解：，D是BC的中点，
，，
 ．
在和中，，，，
；
在和中，，，，
 ；
在和中，，，，
；
是AC的垂直平分线，
，，
在和中，，，
．
图中全等的三角形的对数是4，
故答案为D．  

9.【答案】A
 

【解析】解：，，
，
在和中，
，
≌，
故选：A．
由“HL”可证和．
本题考查了直角三角形全等的判定，掌握直角三角形的判定方法是本题的关键．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：根据平行线的定义正确；
错，两直线平行，同旁内角互补；
错，；
错，当时，；
错，有两边及其夹一角对应相等的两个直角三角形全等；
根据垂线公理正确；
故选：C．
根据平行线的定义解答；
根据平行线的性质解答；
根据完全平方公式解答；
根据零次幂的意义解答；
根据全等三角形的判定解答；
根据垂线公理解答．
本题是是一个概念判断题，根据概念定义可以判断．
 

11.【答案】B
 

【解析】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
即选项B正确；选项A、选项C、选项D都错误；
故选：B．
根据垂直定义得出，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
本题考查了垂直定义和全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、四边形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图作于E，于只要证明≌，≌，即可一一判断．
【解答】
解：如图作于E，于F，

，
，
，
，
，
平分，

，

又于E，于F，

，

在和中，

 ，

≌，
，
在和中，

≌，
，
在和中，

≌，
，，故正确，
，
为定值，故正确，
定值，故正确，
MN的长度是变化的，故错误．
故选B．

13.【答案】答案不唯一
 

【解析】斜边与直角边分别相等的两个直角三角形全等，
在与中，已知，BC为公共斜边，
使，添加的条件可以是．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了直角三角形全等的判定，关键是正确理解：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等可以简写成“斜边、直角边”或“HL”可得需要添加条件．
【解答】解：还需添加条件，
于D，
，
在和中，
，
≌，
故答案为：．  

15.【答案】4
 

【解析】解：于A，于B，
，
设运动x分钟后与全等；
则，，则，
分两种情况：
若，则，
，，，
≌；
若，则，
解得：，，
此时与不全等；
综上所述：运动4分钟后与全等；
故答案为：4．
设运动x分钟后与全等；则，，则，分两种情况：若，则，此时，≌；若，则，得出，，即可得出结果．
本题考查了直角三角形全等的判定方法、解方程等知识；本题难度适中，需要进行分类讨论．
 

16.【答案】HL
 

【解析】

【分析】
本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的HL定理．需证和是直角三角形，可证≌的依据是HL．
【解答】
解：、CD是的高，
，
在和中，
，，
≌，
故答案为HL．  

17.【答案】2
 

【解析】解：当时，≌，
，，
，
、，
，
在和中，
≌，
故答案为：2．
当时，≌，由可得，进而可得，，再结合、可得，可利用SAS判定≌．
本题考查了直角三角形全等的判定方法，关键是掌握SAS定理．
 

18.【答案】10或20
 

【解析】解：，
，
，
分两种情况：
当时，
在和中，
，
≌；
当时，
在和中，
，
≌；
综上所述：当点P运动到或20时，与全等；
故答案为：10或20．
分两种情况：当时；当时；由HL证明≌；即可得出结果．
本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论，难度适中．
 

19.【答案】解：结论：．
证明：于A，于B．
；
，
，；
；
又，
在和中，
，
≌；
，；
．
 

【解析】先证明≌，根据全等三角形的对应边相等得出其两边相等，再利用边与边之间的关系即可得出AB是BE与AD的和．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．证明一条线段等于两条线段和的问题经常用三角形全等来解决．
 

20.【答案】解：证明：，

，
在与中
，
≌；
≌，
，
，
，
，，
．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．
先证明，再根据ASA即可证明．
根据全等三角形的性质即可解答．
 

21.【答案】解：，．
在和中，
．
，，．
，
由知，．
．
 

【解析】略
 

22.【答案】解：证明：在和中：

≌，
；
在中，，
，，
，，
在中，，
的周长为，
．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积的计算等知识，熟练掌握全等三角形的判定和基本性质以及勾股定理的应用是解题的关键．
通过HL求证≌，即可证明；
利用勾股定理分别计算出BD和AE，即可求出的周长和面积．
 

23.【答案】解：点E是的平分线上一点，，，垂足分别是C，D，
，
在与中，
≌，
，
，
是等边三角形；
是等边三角形，OF是的平分线，
，
，
，
，，
，
，
．
 

【解析】本题考查了等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，的直角三角形的性质等，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
根据角平分线的性质得出，然后根据HL证得≌，得出，由，证得是等边三角形；
根据三线合一的性质得出，，进而证得，然后根据的直角三角形的性质即可求得OE的长．
 

24.【答案】证明：，，

．

在和中，

≌．

．

，

．

．

．

【解析】本题考查直角三角形全等的判定与性质，首先根据已知条件推出，利用直角三角形全等的判定证明≌，最后根据全等三角形的性质定理和角度之间的关系求得结论．
 

25.【答案】证明：由题意得：：，，
，即，
在和中，

≌，
；
作于H，则，

，，
，
≌，，
，，
，
，
，
在和中，

≌ ，
，，
，
，
，
在中，；
作，使，连接CE，DE，

，即，
在与中，

≌，
，，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质、直角三角形的判定和性质、勾股定理并综合运用是解题关键，
由题意可以得到≌，所以由三角形全等的性质即可得到
作于H，则，由可得≌，，，通过证明≌ 可求得，再利用等腰直角三角形可求解；
作，使，连接CE，DE，则同可得≌，从而，又由已知可得，利用勾股定理可求得DE的值，最后由是直角三角形可以得到AD的长度