初中数学冀教版八年级下册22.4 矩形测试题

22.4矩形同步练习冀教版初中数学八年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图，把一张矩形纸片沿着EF折叠，点C，D分别落在M，N的位置，且则    

A.
B.
C.
D.

2. 如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为E，BE与AD相交于点F，则下列结论不一定成立的是

A. 是等腰三角形
B. ≌
C. BE平分
D. 折叠后的图形是轴对称图形
 

3. 如图，长方形ABCD中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于

A.  B.  C.  D.

4. 如图，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是现P，Q两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若y与x的对应关系如图所示，则矩形ABCD的面积是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，在矩形ABCD中，，折叠矩形ABCD，使点C与点A重合，点D对应点为E，折痕与AD、BC相交于点N，M，若的面积与的面积比为1：3，则的值是

A.
B.
C.
D.

6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，在中，，，，P为边BC上一动点，于E，于F，M为EF的中点，则AM的最小值是

A.
B.
C. 2
D. 3

9. 如图，在矩形ABCD中，，，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为

A. 8
B. 9
C. 10
D.

10. 下列条件中，能判定四边形是矩形的是

A. 两条对角线相等 B. 两条对角线互相垂直
C. 两条对角线互相垂直平分 D. 两条对角线相互平分且相等

11. 如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的处．若，则等于

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点若，，则BC的长是

A.
B. 2
C.
D. 4

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图，依据尺规作图的痕迹，计算          ．
    
    
     

14. 已知，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在外，则半径r的范围是______．
15. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，，点P，Q分别是AB和CD的中点，现将这张纸片折叠，使点D落到PQ上的点G处，折痕为CH，若HG的延长线恰好经过点B，则AD的长为______．
    
     

16. 如图，在▱ABCD中，再添加一个条件______写出一个即可，▱ABCD是矩形图形中不再添加辅助线
17. 如图，将矩形纸片ABCD放入以AB所在直线为y轴，AB边上一点O为坐标原点的直角坐标系中，连接将纸片ABCD沿OD折叠，使得点A落在BC边上点E处，若，，在OD上存在点F，使F到E、C的距离之和最小，则点F的坐标为______．

18. 如图，在矩形ABCD中，，，E为BC上一点，把沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为______．
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作于点E，延长CB到点F，使，连接AF，OF．
    
    求证：四边形AFED是矩形．
    若，，，则                   ．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，中，，于点D，四边形DBCE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．

21. 如图，四边形ABCD为矩形，旋转后能与重合．
    旋转中心是哪一点？
    旋转了多少度？
    连结FC，若，则的面积是多少？
     

22. 如图，在矩形ABCD中，的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，点G为EF中点，连接BD、DG．

试判断的形状；

连接CG、BG，求证：；






 

23. 已知关于x的一元二次方程
    判别此方程根的情况，并说明理由；
    矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，，OB的长是这个方程的实数根，BC长也是这个方程的实数根，求矩形ABCD的周长．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，在长方形OABC中，点，，D为OA的中点，P为BC边上一点．若为等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线分别交、外角的平分线于点E、F．
    若，，求OC的长；
    连接AE、问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】略
 

2.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，
，
由折叠的性质得：，，，，
，，
，是等腰三角形，选项A成立；
在和中，，
≌，选项B成立；
若BE平分，则，因此选项C不一定成立；
，
，
则折叠后的图形是轴对称图形，BD的垂直平分线是对称轴，选项D成立；
故选：C．
由矩形的性质和折叠的性质得出，得出，是等腰三角形，选项A成立；证明≌，选项B成立；若BE平分，则，选项C不一定成立；由，得出，则折叠后的图形是轴对称图形，BD的垂直平分线是对称轴，选项D成立．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、轴对称图形等知识；熟练掌握翻折变换和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

3.【答案】C
 

【解析】解：如图，由作图可知，EF垂直平分线段AC，AE平分，
，，
，
故选：C．
根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理解决问题即可．
本题考查线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，，，
过点E作，

由三角形面积公式得：，
解得，
，
由图2可知当时，点P与点D重合，
，
矩形的面积为
故选：C．
过点E作，由三角形面积公式求出，由图2可知当时，点P与点D重合，则，可得出答案．
本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．
 

5.【答案】B
 

【解析】解：连接AC，作于G，
则，，
的面积与的面积比为1：3，
：：3，
设，则，
，，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
故选：B．
连接AC，作于G，根据三角形的面积公式得到DN：：3，设，根据勾股定理用a表示出MN，计算即可．
本题考查的是矩形的性质、翻转变换的性质、勾股定理，掌握翻转变换的性质、灵活运用勾股定理是解题的关键．
 

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了平行线性质，矩形性质，三角形外角性质的应用，关键是求出和得出根据矩形性质得出，推出，代入求出即可． 

【解答】

解：如下图所示：

，
，
，，，
，
故选C

7.【答案】B
 

【解析】解：由折叠可得，，，
，G分别为AD，CD的中点，
设，，则，，，，
，
中，，
即，
，
即，
，
的值为，
故选：B．
由折叠可得，E，G分别为AD，CD的中点，设，，根据中，，可得即，进而得出的值．
本题主要考查了折叠问题，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
 

8.【答案】B
 

【解析】解：，，，
，
四边形AEPF是矩形，
，AP互相平分．且，
，AP的交点就是M点，
当AP的值最小时，AM的值就最小，
当时，AP的值最小，即AM的值最小．
，
，
在中，由勾股定理，得，
，，
，
，
，
故选：B．
根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且，根据垂线段最短的性质就可以得出时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，垂线段最短的性质的运用，解答时求出AP的最小值是关键．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：如图，取BC中点O，连接OE，OF，
四边形ABCD是矩形，
，，，
点F是CD中点，点O是BC的中点，
，，
，
点O是的斜边BC的中点，
，
根据三角形三边关系可得：，
当点O，点E，点F共线时，EF最大值为．
故选：B．
取BC中点O，连接OE，OF，根据矩形的性质可求OC，CF的长，根据勾股定理可求OF的长，根据直角三角形的性质可求OE的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，EF有最大值，即．
本题考查了矩形的性质，三角形三边关系，勾股定理，直角三角形的性质，找到当点O，点E，点F共线时，EF有最大值是本题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故A选项不能判定四边形是矩形；
B、两条对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故B选项不能判定四边形是矩形；
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项不能判定四边形是矩形；
D、两条对角线相互平分且相等的四边形是矩形，故D选项能判定四边形是矩形；
故选：D．
根据矩形的判定即可得到结论．
本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
 

11.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，
，
，
，
．
故选：C．
由矩形的性质得，，由折叠的性质得，，根据平行线的性质，可得，即可得出答案．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及平行线的性质；熟练掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
即，
由勾股定理得：，
故选：C．
根据矩形的性质得出，，，，求出，求出是等边三角形，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出BC即可．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出是等边三角形是解此题的关键．
 

13.【答案】
 

【解析】略
 

14.【答案】
 

【解析】解：由题意可知，r必须大于或等于AD，且小于AC，
而，
，
所以r的范围为：．
故答案为．
点B离A最近，点C离A最远，要想矩形的四个顶点恰好有一个在外，若r小于AD则必有两点在外，那么r必须大于或等于AD，且小于AC．
本题涉及矩形和直角三角形的相关性质，难度中等．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，Q是矩形ABCD的边AB，CD的中点，
，，，
点B，G，H在同一条直线上，且点P是AB的中点，
经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分另一边，
由折叠知，，
，
，
，
由折叠知，，即：，
，
，
是等边三角形，
，，即：，
在中，，，
设，则，
根据勾股定理得，，
即：，
，
，
即：，
故答案为．
先判断出，进而判断出，即得出，即：是等边三角形，即可得出，在最后用勾股定理求出BH即可得出结论．
此题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，解本题的关键是判断出是等边三角形．
 

16.【答案】
 

【解析】解：添加的条件是，
理由是：，四边形ABCD是平行四边形，
平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：
根据矩形的判定定理对角线相等的平行四边形是矩形推出即可．
本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
 

17.【答案】
 

【解析】解：连接AC交OD于F，则F到E、C的距离之和最小，
四边形ABCD是矩形，
，，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，，，，
设直线OD的解析式为，则，
直线OD的解析式为，
设直线AC的解析式为，则，
解得：，
直线AC的解析式为，
解方程组得：，
点F的坐标为，
故答案为：
连接AC交OD于F，则F到E、C的距离之和最小，由矩形的性质得出，，，由折叠的性质得出，，，由勾股定理得出，求出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程得出，得出，，，由待定系数法求出直线OD的解析式为，直线AC的解析式为，解方程组求出两条直线的交点即可．
本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、坐标与图形性质、待定系数法求直线的解析式等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质是解题的关键．
 

18.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，则由折叠性质可知，，，所以，，在中利用勾股定理列式求出x的值即可求解．
【解答】
解：设，则由折叠性质可知，，，
在中，，，
由勾股定理得，
，
在中，，
即，
解得，
故答案为．  

19.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，．
，
．
．
四边形AFED是平行四边形．
，
．
四边形AFED是矩形   

．

【解析】见答案．
 

20.【答案】证明：，，
，．
在▱DBCE中，，，
，．
四边形ADCE是平行四边形．
又，
四边形ADCE是矩形．
 

【解析】先证得四边形ADCE是平行四边形；然后由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．
考查了矩形的判定，平行四边形的性质，等腰三角形的性质．主要运用了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法，解题的关键是牢记矩形的三种判定方法，难度不大．
 

21.【答案】解：旋转中心为点A；
四边形ABCD为长方形，
，
旋转后能与重合
旋转角等于，即旋转角的度数为；
顺时针旋转后能与重合，
，，
为等腰直角三角形，
，
的面积．
 

【解析】利用旋转的定义求解；
利用旋转的性质得旋转角等于，即旋转角的度数为；
由旋转的性质得，，则可判断为等腰直角三角形，所以，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

22.【答案】解：是等腰直角三角形；理由如下：
四边形ABCD是矩形，
，，
，
平分，
，
，
，，
，
，且，
是等腰直角三角形；
证明：四边形ABCD是矩形，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，，
≌，
；
 

【解析】先证明，得出，，得出，再证出，即可得出结论；
证明，即可得出结论；
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键．
 

23.【答案】解：有两个不相等的实数根，理由如下：
，，
．
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；

在矩形ABCD中，，则满足关于x的一元二次方程．
所以．
所以．
则该方程为，
整理，得．
解方程，得，．
故BC．
在直角中，，，则由勾股定理，得．
所以矩形ABCD的周长．
 

【解析】根据根的判别式的符号进行判断；
根据矩形的性质得到，即是关于x的一元二次方程的一个根，根据方程解的定义求得a的值，进而求得方程的另一根，再由勾股定理求得AB的长度；最后由矩形的周长公式解答．
考查了勾股定理和矩形的性质，利用矩形的对角线相等且互相平分求得BC的长度是解题的关键．
 

24.【答案】解：四边形OABC是长方形，

，，．

为OA的中点，．

当时，点P在OD的垂直平分线上，

点P的坐标为．

当时，如解图，则，
，

点P的坐标为．

当时，过点P作于点E，则，．

分两种情况讨论：当点E在点D的左侧时，如解图，

此时，点P的坐标为．

当点E在点D的右侧时，如解图，

此时，点P的坐标为．

综上所述，点P的坐标为或或或．

【解析】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果由矩形的性质得出，，，求出，分情况讨论：当时；当时；当时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．
 

25.【答案】证明：交的平分线于点E，交的外角平分线于点F，
，，
，
，，
，，
，，
；
，
，
在中，由勾股定理得：，
；
解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，，
，
四边形AECF是平行四边形，
，
平行四边形AECF是矩形．
 

【解析】根据平行线的性质以及角平分线的性质得出，，证出，，由勾股定理求出EF，即可得出答案；
根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
此题主要考查了矩形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出是解题关键．