初中数学冀教版九年级上册第24章 一元二次方程24.2 解一元二次方程测试题

24.2解一元二次方程同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 定义一种新运算“”，规定：对于任意实数a，b，，如，若为实数是关于x的方程，则它的根的情况为   

A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根 D. 无实数根

2. 方程根的情况是

A. 有两个相等的实数根 B. 只有一个实数根
C. 没有实数根 D. 有两个不相等的实数根

3. 用配方法解方程，下列配方正确的是

A.  B.  C.  D.

4. 若关于x的一元二次方程有一个根是0，则m的值是

A. 2 B.  C. 2或 D.

5. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为

A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4

6. 方程的左边配成完全平方后所得方程为

A.  B.  C.  D.

7. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 一元二次方程的解为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为

A.  B.  C. 2或3 D.

10. 若关于x的方程没有实数根，则m的值可以是

A.  B.  C. 0 D. 1

11. 用配方法解方程，配方后可得

A.  B.  C.  D.

12. 古希腊数学家丢番图公元250年前后在算术中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．欧几里得的原本记载，形如的方程的图解法是如图：画，使，，，再在斜边AB上截取则该方程的一个正根是

A. CD的长 B. AC的长 C. AD的长 D. BC的长

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是______．
14. 方程的解是______．
15. 已知关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是______．
16. 方程的根为______．
17. 一元二次方程的解为______．
18. 一元二次方程的根是______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
    【问题】解方程：．
    【提示】可以用“换元法”解方程．
    解：设，则有，
    原方程可化为：，
    【续解】
    
    
    
    
    
    
     
20. 先化简，再求值：，其中x为方程的解．
    
    
    
    
    
    
     
21. 关于x的方程．
    求证：方程总有两个实数根；
    请你选择一个合适的m的值，使得方程的两个根都是整数，并求此时方程的根．
    
    
    
    
    
    
     
22. 解方程：
    ．
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知关于x的一元二次方程．
    求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
    若等腰的一边长，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？
    
    
    
    
    
    
     
24. 已知关于x的方程．
    当m取何值时，这个方程没有实数根；
    选取m的一个非零整数值，使这个方程有两个实根，并求这两个实根．
    
    
    
    
    
    
     
25. 已知：关于x的方程．
    试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
    如果方程有一个根为2，试求的值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】解：由新定义得，
，
方程有两个不相等的实数根．
故选C．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：，
方程有两个不相等的实数根．
故选：D．
先计算判别式的值，然后根据判别式的正负判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：方程变形得：，
配方得：，即，
故选：A．
方程常数项移到右边，两边加上9变形得到结果即可．
此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

4.【答案】B
 

【解析】解：原方程可变形为，
把代入可得到，
解得或，
当时，，一元二次方程不成立，故舍去，
所以．
故选：B．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题容易出现的错误是忽视二次项系数不等于0这一条件．
 

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
解一元二次方程求出方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．
【解答】
解：

解得：或，
当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，
故选A．  

6.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查一元二次方程的解法，掌握配方法的步骤是解题的关键．
根据配方法的步骤进行配方即可．
【解答】
解：移项得：，
配方可得：，
即，
故选：A．  

7.【答案】A
 

【解析】解：由原方程，得
，
，
，
故选：A．
先把常数项移到等号的右边，再化二次项系数为1，等式两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可解答．
本题考查了解一元二次方程--配方法．配方法的一般步骤：把常数项移到等号的右边；把二次项的系数化为1；等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
 

8.【答案】D
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．利用因式分解法解方程．
【解答】
解：，
或，
所以，．
故选D．

9.【答案】A
 

【解析】解：，，，
，
方程有两个相等的实数根，
，
，
解得，
故选：A．
把，，代入进行计算，然后根据方程有两个相等的实数根，可得，再计算出关于k的方程即可．
本题考查了一元二次方程a，b，c为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查根的判别式．
根据方程无实数根可得，列式计算即可．
【解答】
解：
关于x的方程没有实数根，
，
，
的值可以取，
故选A．  

11.【答案】A
 

【解析】解：，
，
，
，
故选：A．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：，，，
，
；
用求根公式求得：，
，；
的长就是方程的正根，
故选：C．
先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长，利用求根公式求得方程的解，即可判断该方程的一个正根是AD的长．
本题考查了一元二次方程的解法公式法，解一元二次方程的方法有：直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法，要根据方程的特点进行选择即可．
 

13.【答案】
 

【解析】解：一元二次方程没有实数根，
，即，解得．
故答案为．
根据的意义得到，即，然后解不等式即可得到k的范围．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

14.【答案】，
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了．
首先移项，把等号右边化为0，再分解因式可得，从而可得，，再解一元一次方程即可．
【解答】
解：，
，
，
则，，
，，
故答案为：，．  

15.【答案】
 

【解析】解：关于x的一元二次方程有两个相等实数根，
，，
解得：，
除以m得：，
，
故答案为：．
根据一元二次方程的定义和根的判别式得出，，求出，再求出答案即可．
本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据根的判别式求出是解此题的关键．
 

16.【答案】，
 

【解析】

【分析】
此题考查了直接开平方法解一元二次方程．根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】
解：，
，
，．
故答案为，．  

17.【答案】，
 

【解析】解：


或
解得，．
故答案为：，．
根据因式分解法解一元二次方程即可．
本题考查了一元二次方程因式分解法，解决本题的关键是掌握因式分解法．
 

18.【答案】，
 

【解析】解：或，
所以，．
故答案为，．
利用因式分解法把方程化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

19.【答案】解：，
，
或，
，，
当时，，此方程无解；
当时，，则，配方得，解得，；
经检验，原方程的解为，．
 

【解析】本题考查了解一元二次方程，解无理方程：解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．注意：用乘方法来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．
利用因式分解法解方程得到，，再分别解方程和方程，然后进行检验确定原方程的解．
 

20.【答案】解：



，
，
，
或
，，
当时，原分式无意义，
当时，原式．
 

【解析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后求得的解，将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．
本题考查分式的化简求值、解一元二次方程的方法，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
 

21.【答案】证明：，
，
无论m取任何实数，，即，
原方程总有两个实数根．
解：，由求根公式，得
，，
原方程的根为：，，
方程的两个根都是整数，
取，方程的两根为，．
 

【解析】先求出判别式的值，再根据“”的意义证明即可；
根据求根公式得出，，即可求出m的值和方程的根．
本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．
 

22.【答案】解：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，；
，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
 

【解析】各方程利用因式分解的方法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

23.【答案】证明：
一元二次方程，
，
无论k取何实数值，方程总有实数根；
解：
为等腰三角形，
有、或三种情况，
当或时，可知为方程的一个根，
，解得或，
当时，方程为，解得或，
三角形的三边长为4、6、6，
当时，方程为，解得或，
三角形的三边长为6、6、10，
当时，则方程有两个相等的实数根，
，即，解得，
方程为，解得，
此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去，
综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10．
 

【解析】计算方程的判别式大于等于0即可；
由等腰三角形的性质有、或三种情况，当或时，可知为方程的一个根，代入可求得k的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得k，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长．
本题主要考查方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握根的判别式与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键．
 

24.【答案】解：关于x的方程没有实数根
，
，
当时，原方程没有实数根；

由可知，时，方程有实数根，
当时，原方程变为，
解得：，．
 

【解析】要使原方程没有实数根，只需即可，然后可以得到关于m的不等式，由此即可求出m的取值范围；
根据中求得的范围，在范围之外确定一个m的值，求得方程的根．
本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
 

25.【答案】解：，
无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
因为方程有一个根为2，
所以，即，
所以．
 

【解析】本题考查根的判别式，一元二次方程的根的定义，求代数式的值，解题的关键是记住判别式，有两个不相等实数根，有两个相等实数根，没有实数根，属于中考常考题型．
由可得答案；
将代入方程得，整体代入原式计算可得．