初中数学冀教版九年级上册25.4 相似三角形的判定测试题

这是一份初中数学冀教版九年级上册25.4 相似三角形的判定测试题，共19页。试卷主要包含了0分），【答案】D，【答案】B，【答案】C等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90∘，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是( )
A. ∠A=55∘，∠D=35∘
B. AC=9，BC=12，DF=6，EF=8
C. AC=3，BC=4，DF=6，DE=8
D. AB=10，AC=8，DE=15，EF=9
在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
A. B.
C. D.
如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列哪个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADB( )
A. ∠C=∠ABDB. ∠CBA=∠ADB
C. ABAC=ADABD. ABAC=BCBD
如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有( )
A. 8对B. 6对C. 4对D. 2对
下列说法正确的是( )
A. 任意两个等腰三角形相似B. 任意两个直角三角形相似
C. 任意两个等腰直角三角形相似D. 任意两个钝角三角形相似
如图，已知D是△ABC中的边BC上的一点，∠BAD=∠C，∠ABC的平分线交边AC于E，交AD于F，那么下列结论中错误的是( )
A. △BDF∽△BEC
B. △BFA∽△BEC
C. △BAC∽△BDA
D. △BDF∽△BAE
如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为( )
A. 2411s
B. 95s
C. 2411s或95s
D. 以上均不对
如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED=∠B；②DE//BC；③ADAC=AEAB；④AD⋅BC=DE⋅AC；⑤∠ADE=∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( )
A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对
下列能判定△ABC∽△A′B′C′的条件是( )
A. ABA′B′=ACA′C′B. ABA′B′=ACA′C′且∠A=∠A′
C. ABBC=A′B′A′C′且∠B=∠C′D. ABA′B′=ACA′C′且∠B=∠B′
如图在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC=1∶3，AE=BE，则有( )
A. △AED∽△BEDB. △AED∽△CBD
C. △AED∽△ABDD. △BAD∽△BCD
如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6，AC=3，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不构成相似的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）
如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB.(写出一个即可)
如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6，AD=2.当AB= 时，△ABC与△ACD相似．
如图，线段BE、CD相交于点A，连接DE、BC，请添加一个条件，使△ADE与△ABC相似，且点B的对应点为点D，这个条件可以是______.(写出一个条件即可)
如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似．你添加的条件是______．
如图，AB与CD相交于点O，OA=3，OB=5，OD=6.当OC= 时，△OAC∽△OBD．
如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为__________．
如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动.如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么经过 s后，△PBQ与△ABC相似．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）
从三角形(不是等腰三角形)的一个顶点引一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
(1)如图 ①，在△ABC中，∠A=48∘，CD是△ABC的完美分割线，且AD=CD，求∠ACB的度数;
(2)如图 ②，在△ABC中，AC=2，BC=2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求CD与BD之间的数量关系．
如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8m，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
(1)如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时△PCQ的面积为8cm2？
(2)如果点P，Q同时出发，经过几秒钟时以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
如图，在△ABC中，AB=8，BC=16，点P从点A开始沿AB向点B以2m/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4m/s的速度移动，如果P，Q分别从AB，BC同时出发，经过几秒△PBQ与△ABC相似？
如图，在等腰△ABC中，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E.求证：△ACD∽△BCE．
如图，在△ABC中，AD=DB，∠1=∠2.求证：△ABC∽△EAD．
如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
(1)当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ．
(2)当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似？说明理由；若BP=1，CQ=92，求PQ的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】选项A∵∠A=55∘，∴∠B=90∘−55∘=35∘，∵∠D=35∘，∴∠B=∠D，
∵∠C=∠F=90∘，∴△ABC∽△EDF;
选项B∵AC=9，BC=12，DF=6，EF=8，∴ACDF=BCEF=32，∵∠C=∠F=90∘，∴△ABC∽△DEF;
选项C.由AC=3，BC=4，∠C=90∘可得AB=5，由DF=6，DE=8，∠F=90∘可得EF=27，不满足三边对应成比例，故两个三角形不相似;
选项D.由AB=10，AC=8，∠C=90∘可得BC=6，由DE=15，EF=9，∠F=90∘可得DF=12，∴ABDE=BCEF=ACDF=23，∴△ABC∽△DEF．
故选C．
2.【答案】D
【解析】三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6．
D项，2BC=24=12，∠B=∠B，BCAB=48=12，由相似三角形的判定定理可知，沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似，故D选项符合题意.故选D．
3.【答案】D
【解析】解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB．
B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB．
C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB．
D、无法判断三角形相似，
故选：D．
根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴△BEC∽△GEA，△ABE∽△CEF，△GDF∽△GAB，△DGF∽△BCF，
∴△GAB∽△BCF，
还有△ABC≌△CDA(是特殊相似)，
∴共有6对．
故选：B．
根据平行四边形的性质，得到平行四边形的对边平行，即AD//BC，AB//CD；再根据相似三角形的判定方法：平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似，进而得出答案．
此题考查了相似三角形的判定方法(平行于三角形一边的直线与三角形另两边或另两边的延长线所构成的三角形相似)与平行四边形的性质(平行四边形的对边平行).解题的关键是要注意数形结合思想的应用，注意做到不重不漏．
5.【答案】C
【解析】解：A、不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不相似；
B、不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不相似；
C、正确，因为其三对角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似；
D、因为没有说明角或边相等的条件，故不相似；
故选：C．
根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
本题考查了相似三角形的判定：一组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．
6.【答案】A
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角．
根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断．
【解答】
解：∵∠BAD=∠C，
∠ABC=∠DBA，
∴△BAC∽△BDA.故C正确．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴△BFA∽△BEC.故B正确．
∴∠BFA=∠BEC，
∴∠BFD=∠BEA，
∴△BDF∽△BAE.故D正确．
而不能证明△BDF∽△BEC，故A错误．
故选：A．

7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，注意数形结合思想与分类讨论思想．
首先设t秒钟△ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t，CQ=2t，BQ=BC−CQ=6−2t，然后分两种情况当△BAC∽△BPQ和当△BCA∽△BPQ讨论．
【解答】
解：设运动时间为t秒．
BP=t，CQ=2t，BQ=BC−CQ=6−2t，
当△BAC∽△BPQ时，BPAB=BQBC，
即t8=6−2t6，
解得t=2411；
当△BCA∽△BPQ时，BPBC=BQAB，
即t6=6−2t8，
解得t=95，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为2411s或95s，
故选：C．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
根据相似三角形的判定定理逐一分析判断即可．
【解答】
解：①∵∠B=∠AED，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②∵DE//BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③∵ADAC=AEAB，且夹角∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD⋅BC=DE⋅AC可得ADAC=DEBC，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；
故④不符合题意，
⑤∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；
故选C．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
考查相似三角形的判定定理：(1)两角对应相等的两个三角形相似．(2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．(3)三边对应成比例的两个三角形相似．
根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形．
【解答】
解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽△CBD，
△ABC∽△CBD，
所以有三对相似三角形，
故选C．
10.【答案】B
【解析】
【分析】由相似三角形的判定方法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；即可得出结论． 本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
【解答】解：能判定△ABC和△A′B′C′相似的条件是B．
理由是两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
故选B．

11.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理： (1)两角对应相等的两个三角形相似； (2)两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； (3)三边对应成比例的两个三角形相似．根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可判定△AED∽△CBD.
【解答】
解：∵AD：AC=1：3，
∴AD：DC=1：2；
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC=AC；
∵AE=BE，
∴AE：BC=AE：AB=1：2
∴AD：DC=AE：BC；
∵∠A=∠C=60°，
∴△AED∽△CBD；
故选B．

12.【答案】C
【解析】解：A、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形的对应角不一定相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
13.【答案】∠ADE=∠ACB(答案不唯一)
【解析】 已知∠DAE=∠CAB(公共角)，添加∠ADE=∠ACB或∠AED=∠ABC，可利用两角对应相等判定△ADE∽△ACB;添加ADAC=AEAB，可利用两边对应成比例及其夹角相等判定△ADE∽△ACB．
14.【答案】3或32
【解析】 ∵∠ACB=∠ADC=90∘，AC=6，AD=2，∴CD=2．
当△ABC∽△ACD时，AC:AD=AB:AC，∴62=AB6，解得AB=3;
当△ABC∽△CAD时，AB:CA=AC:CD，∴AB6=62，解得AB=32．
故当AB=3或32时，△ABC与△ACD相似．
15.【答案】∠B=∠D
【解析】解：∵∠DAE=∠BAC，且点B的对应点为点D，
根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可证明两三角形相似，
∴可加∠B=∠D或∠E=∠C，或ADAB=AEAC，
故答案为：∠B=∠D(或∠E=∠C，或ADAB=AEAC).
由图形可知△ADE和△ABC中已知有一组对顶角相等，所以可以加∠B=∠D，或∠E=∠C，或ADAB=AEAC都可．
本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键，注意对应点．
16.【答案】∠AED=∠C或∠ADE=∠B或AE：AC=AD：AB
【解析】解：∵∠A=∠A
∴当∠AED=∠C或∠ADE=∠B或AE：AC=AD：AB时，△ADE∽△ABC．
要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．
本题考查相似三角形的判定的理解及运用．
17.【答案】185
【解析】略
18.【答案】(4,4)或(5,2)
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的判定以及直角三角形的性质．注意分类讨论思想的应用．
要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可．
【解答】
解：根据题意得：OA=2，OB=1，AB=5，
∴当AB与AC对应时，有ABAC=OAAB或者ABAC=OBAB，
∴AC=52或AC=5，
∵C在格点上，
∴AC=52(不合题意)，则AC=5，
又∵AC为斜边，即∠ABC=90°，
∴C点坐标为(4,4)，
同理当AB与BC对应时，可求得BC=52或者BC=5，
也是只有后者符合题意，此时又因为BC为斜边，即∠BAC=90°，
∴C点坐标为(5,2)
∴C点坐标为(5,2)或(4,4)．
故答案为：(4,4)或(5,2)．
19.【答案】1或2.5
【解析】略
20.【答案】解：(1)∵AD=CD，∴∠ACD=∠A=48∘，
由题意知，△BDC∽△BCA，
∴∠BCD=∠A=48∘，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96∘．
(2)由题意知，△BCD∽△BAC，
∴CDAC=BDBC，∴CDBD=ACBC=2，
∴CD=2BD．
【解析】见答案
21.【答案】解：(1)设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2．
由题意得，AP=xcm，PC=(6−x)cm，CQ=2xcm，
则12(6−x)⋅2x=8，
整理得x2−6x+8=0，
解得x1=2，x2=4．
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2．
(2)设t秒后以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，则PC=6−t，QC=2t．
当△PCQ∽△ACB时，PCAC=QCBC，即6−t6=2t8，
解得：t=125．
当△PCQ∽△BCA时，PCBC=QCAC，即6−t8=2t6，
解得：t=1811．
综上所述，当t=125或t=1811时，以P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
【解析】(1)设P、Q同时出发，x秒钟后，AP=xcm，PC=(6−x)cm，CQ=2xcm，依据△PCQ的面积为8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值．
(2)分两种情况讨论，依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．
本题主要考查的是相似三角形的性质，三角形的面积公式，依据题意列出方程是解题的关键．
22.【答案】解：设t秒时，则BP=8−2t，BQ=4t，
当△ABC∽△PBQ时，
则ABPB=BCQB，
即88−2t=164t，
解得：t=2，
当△ABC∽△QBP时，
则ABQB=BCBP，
即84t=168−2t，
解得：t=0.8，
综上所述：经过2或0.8秒△PBQ与△ABC相似．
【解析】分别利用当△ABC∽△PBQ时以及当△ABC∽△QBP时，分别得出符合题意的答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，熟练利用分类讨论得出是解题关键．
23.【答案】证明：∵AD是等腰△ABC的顶角∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵BE是腰AC边上的高，
∴∠BEC=90°，
∵∠ACD=∠BCE，∠ADC=∠BEC，
∴△ACD∽△BCE．
【解析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则∠ADC=90°，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似得到结论．
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了相似三角形的判定．
24.【答案】证明：∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD．
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，
又∵∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【解析】根据已知得出∠C=∠ADE，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．
此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
(2)△BPE∽△CEQ；理由如下：
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，
即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
∴BPCE=BECQ，
∵△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，
∴BE=CE，
∴1CE=CE92，
解得：BE=CE=322，
∴BC=32，
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴AB=AC=22BC=22×32=3，
∴AQ=CQ−AC=92−3=32，AP=AB−BP=3−1=2，
在Rt△APQ中，PQ=AQ2+AP2=(32)2+22=52．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质得出∠B=∠C=∠DEF=45°，由三角形外角性质得出∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，推出∠BEP=∠EQC，即可得出结论；
(2)由三角形外角性质得出∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，推出∠BEP=∠EQC，又∠B=∠C，得出△BPE∽△CEQ；得出BPCE=BECQ，由题意得出BE=CE，则1CE=CE92，解得BE=CE=322，推出BC=32，在Rt△ABC中，AB=AC=22BC=3，得出AQ=CQ−AC=32，AP=AB−BP=2，在Rt△APQ中，由勾股定理即可求出PQ的长．
本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．