初中数学冀教版九年级上册26.4 解直角三角形的应用同步达标检测题

26.4解直角三角形的应用同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知B港口位于A观测点北偏东方向，且其到A观测点正北方向的距离BM的长为，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行到达C处，测得C处位于A观测点北偏东方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为   

A.  km B.  km C.  km D.  km

2. 已知水库的拦水坝斜坡的坡度为，则这个拦水坝的坡角为   

A.  B.  C.  D.

3. 如图，某建筑物的顶部有一块标识牌CD，小明在斜坡上B处测得标识牌顶部C的仰角为，沿斜坡走下来在地面A处测得标识牌底部D的仰角为，已知斜坡AB的坡角为，米，则标识牌CD的高度是   

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
 

4. 如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东方向上，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为   

A.
B.  m
C.  m
D.  m

5. 如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是，若，则此斜坡的水平距离AC为

A. 75m B. 50m C. 30m D. 12m

6. 如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度或坡比：，山坡坡底C点到坡顶D点的距离，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为参考数据：，，

A.  B.  C.  D.

7. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西方向，则河宽的长可以表示为

A. 米 B. 米 C. 200sin 米 D. 米

8. 下列说法：
   把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为米；
   如果两个相似三角形的对应中线比是3：2，那么它们的对应角平分线比是3：2；
   已知两个相似多边形的面积比是9：16，其中较小多边形的周长为36cm，则较大多边形的周长为54cm；
   如果一斜坡的坡比是1：，那么该斜坡坡角的余弦值是
   其中正确的有个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

9. 如图，从点C观测点D的仰角是

A.
B.
C.
D.

10. 如图，某天然气公司的主输气管道从A市的北偏东60方向沿直线延伸到C，M小区在A市的北偏东方向，且M小区位于点C的北偏西方向，若AM的长是800米，则AC的长约是参考数据：，

A. 960米 B. 1000米 C. 1080米 D. 1240米

11. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶40海里到达B处，测得灯塔C在北偏西的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离即BC的长为

A. 海里 B. 海里
C. 80海里 D. 海里

12. 如图，一艘船由A港沿北偏东方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏东方向，则A，C两港之间的距离为
     

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 下课后，嘉琪站在教室窗前看向地面上的旗杆底部，若俯角为，教室窗户到旗杆底部的水平距离是15米，则此时嘉琪的眼睛距离地面的高度是          米
14. 做课间操时，嘉怡在新月的北偏东方向上，美玲在新月的正东方向5米处，嘉怡在美玲的正北方向上，那么美玲与嘉怡的距离是          ．
15. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为，B处的俯角为若斜面AB的坡度为，则斜面AB的长是          米

16. 如图，海中有一小岛A，它周围海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行在B点测得小岛A在北偏东方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东方向上如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行          海里就开始有触礁的危险．

17. 如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角是，沿斜坡走米到达斜坡上点D处，在此处测得大树顶端B的仰角为，且斜坡AF的坡比为，则小明从点A走到点D的过程中，他上升的高度为          米大树BC的高度为          米结果保留根号

18. 如图，建筑物的高CD为10m，在其楼顶C测得旗杆底部B的俯角为，旗杆顶部A的仰角为，则旗杆AB的高度约为          结果精确到，参考数据：，，
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，建筑物C在观测点A的北偏东方向上，从观测点A出发向南偏东方向走了130m到达观测点B，此时测得建筑物C在观测点B的北偏东方向上，求观测点B与建筑物C之间的距离结果精确到，参考数据：
     

20. 速滑运动受到许多年轻人的喜爱如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知，滑台的高DG为5米，且坡面BC的坡度为后来为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为．
    
    求新坡面AC的坡角及AC的长
    原坡面底部BG的正前方10米处即米是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米请问：新的设计方案能否通过试说明理由参考数据：
    
    
    
    
    
    
     
21. 某条道路上通行车辆限速为60千米时，在离道路50米的点P处建一个监测点，道路AB段为检测区如图在中，已知，，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内时，可认定为超速精确到秒，参考数据：，，

22. 某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面的高度为，为了解自己的有效测温区间，身高的小聪做了如下试验：当他在地面N处时，测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为求小聪在地面的有效测温区间MN的长度额头到地面的距离以身高计，结果精确到，，，

23. 如图，水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶，坡面AD的坡度i为，坡面BC的坡角为，坝高为
    
    求坝底AB的长精确到
    水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度如图，使新坡面DE的坡度i为，原水坝底部正前方处有一棵千年古树，此加固工程对古树是否有影响请说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路．请结合，，千米，，等数据信息，解答下列问题：
    公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米？
    为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

25. 如图1和图2，在中，，，点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且点P从点M出发沿折线匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持．
    当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离；
    若点P在MB上，且PQ将的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长；
    设点P移动的路程为x，当及时，分别求点P到直线AC的距离用含x的式子表示；
    在点P处设计并安装一扫描器，按定角扫描区域含边界，扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若，请直接写出点K被扫描到的总时长．

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】，， km，
 km，
，
如图，过点B作，交AC的延长线于D，

在中，，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
货轮与A观测点之间的距离AC的长为．
故选A．
 

2.【答案】A
 

【解析】设这个拦水坝的坡角为，
水库的拦水坝斜坡的坡度为，
，
，
这个拦水坝的坡角为．
故选A．
 

3.【答案】A
 

【解析】过点B作，交直线AE于点M，过点B作于点N，如图所示，

则，，
在中，米，米．
在中，米，
在中，米，，
米，
米．
故选A．
 

4.【答案】A
 

【解析】由题意得，

故选A．
 

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查解直角三角形的应用坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．
【解答】
解：，，，
，
解得，，
故选A．  

6.【答案】B
 

【解析】解：如图，由题意得，，，，
在中，
山坡CD的坡度：，
，
设，则，由勾股定理可得，
又，即，
，
，，
，
在中，
，
，
故选：B．
构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE、EC、BE、DF、AF，进而求出AB．
本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
 

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】
此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及的度数，进而得到的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
【解答】
解：在中，
，，
，
，
，
即河宽米，
故选：B．  

8.【答案】B
 

【解析】解：把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长线段的长为，故说法错误．
相似三角形对应中线的比是2：3，则它们的相似比为2：3，所以它们对应角平分线的比是2：故说法正确．
设较大多边形的周长为c，则所以，故说法错误．
如图所示：由题意，得：，
设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，
则斜边，
则．
故说法正确．
故选：B．
根据黄金比值是计算即可．
根据相似三角形对应高线的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比解答即可．
根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比解答即可．
根据坡比坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．
此题主要考查相似图形，黄金分割，坡比、坡角的关系以及解直角三角形的应用；注意：坡角的正切等于坡比．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：从点C观测点D的视线是CD，水平线是CE，
从点C观测点D的仰角是，
故选：B．
根据仰角的定义进行解答便可．
本题主要考查了仰角的识别，熟记仰角的定义是解题的关键．仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：如图：过点M作于点N，
根据题意得：，，，
，
在中，米，
，米，
在中，米，
米．
故选：C．
首先过点M作于点N，由题意可求得，，然后设，由三角函数的性质，可表示出AN与CN，继而可得方程：，解此方程即可求得答案．
此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并能借助于解直角三角形的知识求解是关键，注意数形结合思想与方程思想的应用．
 

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，将已知条件和所求结论转化到同一个直角三角形中求解是解直角三角形的常规思路．
先添加垂线，根据题意得出和的度数，根据直角三角形的性质可得AH，利用勾股定理求出BH，根据角之间的关系可得，从而得出BC的长度．
【解答】解：过点A作于点H．

由题意，得，．
在中，海里，
所以海里．
又，
所以．
所以海里．
所以海里．  

12.【答案】B
 

【解析】

 【分析】
根据题意得，，，，过B作于E，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题关键是利用特殊角的三角函数求解．
【解答】
解：根据题意得，，，，
过B作于E，

，
在中，，，
，
在中，，
，
，
，C两港之间的距离为，
故选B．  

13.【答案】
 

【解析】嘉琪的眼睛距离地面的高度是米．
 

14.【答案】米
 

【解析】用A、B、C分别表示嘉怡、新月、美玲的位置，如图所示，

则米，，
米
 

15.【答案】
 

【解析】如图所示，过点A作于点F，

斜面AB的坡度为，
，
，
在P处测得A处的俯角为，B处的俯角为，
，，
，
，
，
，
米，
，
米，
故AB米
 

16.【答案】
 

【解析】如图，过A作，交直线BD于点C，则AC的长是A到BD的距离，

，，
， ，
，
海里， 
，，
海里，
由勾股定理，得海里，
设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点时有触礁的危险，
在中，由勾股定理，得，
解得或舍，
渔船还需航行海里就开始有触礁的危险．
 

17.【答案】2；
 

【解析】如图，过点D作于K，于H，则四边形DHCK为矩形，
故DK，，

在直角三角形AHD中，，米，
米，米，
米，
设米，则米，
在中，米，
米，
在中，，
，
解得，
 米，
上升的高度为2米，大树BC的高度为米．
故答案为2；
 

18.【答案】
 

【解析】如图，过C作，垂足为E，则四边形CDBE是矩形，

，，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，，
，
．
 

19.【答案】解：如图，过A作于D．

根据题意，得，．

在中，，

，，
，
，
 m，
．
故观测点B与建筑物C之间的距离约为．

【解析】见答案．
 

20.【答案】解：如图，过点C作，垂足为H，
 

由已知可得，米，
新坡面AC的坡度为，
，
，
即新坡面AC的坡角为，
米．
新的设计方案不能通过．
理由如下：
坡面BC的坡度为，
米，
，
米，
米，
米米，
新的设计方案不能通过．

【解析】见答案．
 

21.【答案】解：如图，过点P作于点C．
 

在直角中，，

则米，

同理，米，

则米，

千米时米秒，

秒．

答：车辆通过AB段的时间在秒以内时，可认定为超速．

【解析】见答案．
 

22.【答案】解：如图，延长BC交AD于点E，

则，
，，
．
答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为．
 

【解析】见答案．
 

23.【答案】解：如图，分别过C、D作，，垂足分别为F、H，则四边形CDHF是矩形，

，，

在中，由坡度，得，
在中，，
，
，
则坝底AB的长约为．

此加固工程对古树没有影响．
理由：在中，，
，
，
，
此加固工程对古树没有影响．

【解析】见答案．
 

24.【答案】解：过点C作AB的垂线CD，垂足为D，
在直角中，，，千米，
千米，
千米，
在直角中，千米，
千米，
千米，
从A地到景区B旅游可以少走：
千米．
答：从A地到景区B旅游可以少走35千米；
设施工队原计划每天修建x千米，
依题意有，，
解得，
经检验是原分式方程的解．
答：施工队原计划每天修建约千米．
 

【解析】本题考查解直角三角形的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角中，解直角三角形求出CD的长度和BD的长度，在直角中，解直角三角形求出AD的长度和AC的长度，再求出AB的长度，进而求出从A地到景区B旅游可以少走多少千米；
本题先由题意找出等量关系即原计划的工作时间实际的工作时间，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．
 

25.【答案】解：如图1中，过点A作于H．

，，
，，
，
，．
当点P在BC上时，点P到A的最短距离为3．

如图1中，，
，
∽，
将的面积分成上下4：5，
，
，
，
．

当时，如图中，过点P作交CA的延长线于J．

，
，，
，
，
，
．
当时，如图2中，过点P作于J．

同法可得．

由题意点P的运动速度单位长度秒．
当时，设．
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
时，y有最大值，最大值，
，

当时，，
解得，
点K被扫描到的总时长秒．
 

【解析】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决CQ的最值问题，属于中考压轴题．
如图1中，过点A作于解直角三角形求出AH即可．
利用相似三角形的性质求解即可．
分两种情形：当时，当时，分别画出图形求解即可．
求出CK的长度，以及CQ的最大值，利用路程与速度的关系求解即可．