初中数学冀教版九年级上册28.2 过三点的圆当堂检测题

28.2过三点的圆同步练习冀教版初中数学九年级上册

一、选择题（本大题共14小题，共42.0分）

1. 如图，中，，AD是的平分线，EF所在直线是AC的垂直平分线，交AD于点若，则外接圆的面积为   

A.
B.
C.
D.

2. 下列说法正确的是

A. 三角形外接圆的圆心是三边中线的交点
B. 三角形外接圆的圆心是内角平分线的交点
C. 三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点
D. 三角形外接圆的圆心是三条高的交点

3. 如图，内接于，若度，则的度数为

A.
B.
C.
D.

4. 三角形的外心是

A. 三角形三条边上中线的交点 B. 三角形三条边上高线的交点
C. 三角形三条边垂直平分线的交点 D. 三角形三条内角平行线的交点

5. 三角形的外心是

A. 三条边中线的交点 B. 三条边高的交点
C. 三条边垂直平分线的交点 D. 三个内角平分线的交点

6. 直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的

A. 三角形内 B. 三角形外 C. 斜边的中点 D. 不能确定

7. 如图，平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上任意一点，，，则当点A在y轴上运动时，的外心不可能在 

A. 第三象限
B. 第一象限
C. 第四象限
D. x轴上

8. 下列关于确定一个圆的说法中，正确的是   

A. 三个点一定能确定一个圆 B. 以已知线段为半径能确定一个圆
C. 以已知线段为直径能确定一个圆 D. 菱形的四个顶点能确定一个圆

9. 如图，的外接圆的半径为1，点D，E分别为AB，AC的中点，BF为AC边上的高若则的值为

A. 1
B.
C.
D. 2

10. 如图，圆O的半径为6，是圆O的内接三角形，连接OB、OC，，则

A.
B.
C.
D.

11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且，，则OD的最大值是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，，，，，过点A作BC的平行线1，P为直线l上一动点，为的外接圆，直线BD交于E点，则AE的最小值为

A.  B.  C.  D. 1

13. 如图，中，，AD是的平分线，EF垂直平分AC，交AD于点若，则外接圆的面积为   

A.
B.
C.
D.

14. 如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在的外部，判断下列叙述不正确的是

A. O是的外心
B. O是的外心
C. O是的外心
D. O是的外心
 

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

15. 在平面直角坐标系中，有，，三点现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为          ．
16. 已知一个三角形的三边长分别为，，，则此三角形的外接圆半径为          cm．
17. 如图，AD是的外接圆的直径，若，则______
    
    
     

18. 已知等腰内接于半径为5cm的，若底边，则的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴上

用直尺和圆规作图：在图中作出外接圆保留作图痕迹，不写作法

若的度数为30，则点D坐标为          






 

20. 如图，已知等腰直角三角形ABC，点P是斜边BC上一点不与B，C重合，PE是的外接圆的直径．
    求证：是等腰直角三角形；
    若的直径为2，求的值．
    
     

21. 如图，为锐角的外接圆，半径为5．
    用尺规作图作出的平分线，并标出它与劣弧的交点保留作图痕迹，不写作法；
    若中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有A，B，C三棵树，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，回收站要建在离三个小区都相等的某处，如果你是工程师，你将如何选址尺规作图，保留痕迹，不写作法
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．
    求证：四边形AECD为平行四边形；
    连BE，若，，求的半径．
     

25. 如图，已知中，，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹．
    
    在图1中，作的外接圆，通过测量，计算得到外接圆的周长约为______结果保留一位小数；
    在图2中，作出关于直线DE对称的；
    在的条件下，若，，，则AF的长为______如需画草图，请使用图．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】D
 

【解析】解：，AD是的平分线，
，，
所在直线是AC的垂直平分线，
点O是外接圆的圆心，
，
外接圆的面积．
故选D．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点．
故选C，
根据三角形的外心是三边中垂线的交点，即可判断．
本题考查三角形外接圆与外心，三角形的角平分线、三角形的高、三角形的中线等知识，解题的关键是记住三角形的外心是三边中垂线的交点，属于基础题．
 

3.【答案】B
 

【解析】解：如图，连接OC

度，
度

度
故选：B．
由同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可得度，由等腰三角形的性质可求的度数．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆的有关知识，等腰三角形的性质，熟练运用同弧所对的圆心角是圆周角的2倍是本题的关键．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：三角形的外心是三角形中三边垂直平分线的交点，
故选：C．
利用圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质分析判断即可．
此题主要考查了圆的有关性质和三角形外接圆以及外心的性质，熟练掌握相关定义是解题关键．
 

5.【答案】C
 

【解析】解：三角形的外心是三条边垂直平分线的交点，
故选：C．
根据三角形外心的定义可以解答本题．
本题考查三角形外接圆与外心，解答本题的关键是明确三角形外心的定义．
 

6.【答案】C
 

【解析】解：直角三角形的外接圆圆心在斜边中点
可得直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．
故选C．
垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
 

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查坐标与图形的性质，三角形的外心定义，解答的关键是熟知三角形的外心位置与三角形的形状关系，当三角形为锐角三角形时，三角形的外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，三角形的外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，三角形的外心在三角形斜边中点处．
根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即是三边垂直平分线的交点，由B、C坐标可知，边BC的垂直平分线在y轴的右侧，结合三角形的形状判断即可．
【解答】
解：，，
边BC的垂直平分线在y轴的右侧，
三角形的外心在不可能在第二象限或第三象限，故A错误；
当为锐角三角形时，三角形的外心在三角形内部，并在第一象限，故B正确；
当为钝角三角形时，三角形的外心在三角形外部，并在第四象限，故C正确；
当为直角三角形时，三角形的外心在三角形斜边中点处，即在x轴上，故D正确，
故选：A．  

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了确定圆的条件，属于基础题，解答本题的关键是仔细分析各个选项能否满足确定一个圆的条件．
不在同一直线上的三点可确定一个圆，根据选项所描述的进行判断．
【解答】
解：不在同一直线上的三点可确定一个圆，没有强调不在同一直线上，故本选项错误；
B.以已知线段为半径能确定2个圆，分别以线段的两个端点为圆心，故本选项错误；
C.以已知线段为直径能确定一个圆，此时圆心为线段的中点，半径为线段长度的一半，故本选项正确；
D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆，故本选项错误；
故选：C．  

9.【答案】B
 

【解析】解：如图，连接AO、BO，
的外接圆的半径为1，
，
，
为直角三角形，
，
，
为高，
，
、E分别为AB、AC的中点，
，
，
．
故选：B．
连接AO、BO，根据的外接圆的半径为1，，可得为直角三角形，可得，再根据三角形中位线定理可得，进而可得结论．
本题考查了三角形外接圆与外心，三角形中位线定理，解决本题的关键是证明为直角三角形．
 

10.【答案】A
 

【解析】解：过点O作，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
直接利用垂径定理得出BD的长，再利用锐角三函数关系得出，则，再利用圆周角定理得出答案．
此题主要考查了垂径定理以及三角形的外心，正确得出是解题关键．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：点A在一次函数图象上，
，
作的外接圆，连接OP、PA、PB、PD，作，交AB于H，垂足为G，
四边形ABCD是矩形，
，四边形AHGD是矩形，
，，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的最大值为，
故选：B．
作的外接圆，连接OP、PA、PB、PD，作，交AB于H，垂足为G，易得，解直角三角形求得，然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，，据此即可求得．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆心角和圆周角的关系，垂径定理以及勾股定理的应用，三角形三边关系等，作出辅助线是解题的关键．
 

12.【答案】D
 

【解析】解：如图，连接CE．
，
，
，
，
点E在以为圆心，为半径的上运动，
连接OA交于，此时的值最小．此时与交点为．

所对圆周角为，
，
是等腰三角形，，
，
，，
；
，
．
故选：D．
如图，连接首先证明，由此推出点E在以为圆心，为半径的上运动，连接交于，此时的值最小．
本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题．
 

13.【答案】D
 

【解析】 ，AD是的平分线，
，，
垂直平分AC，
点O是外接圆的圆心，
，
外接圆的面积．
故选D．
 

14.【答案】D
 

【解析】解：连接OB、OD、OA，
为锐角三角形ABC的外心，
，
四边形OCDE为正方形，
，
，
，即O不是的外心，
，即O是的外心，
，即O是的外心，
，即O不是的外心，
故选：D．
根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可．
本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等．
 

15.【答案】
 

【解析】分别作线段AB、BC的垂直平分线，两直线的交点坐标是，圆心坐标为．
 

16.【答案】
 

【解析】解：，

此三角形是直角三角形，斜边长为，

直角三角形的斜边为它的外接圆的直径，

这个三角形的外接圆的半径是．

故答案为．

17.【答案】50
 

【解析】解：是的外接圆的直径，
点A，B，C，D在上，
，
，
故答案为：50．
根据圆周角定理即可得到结论．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
 

18.【答案】8或32
 

【解析】解：连接AO，并延长与BC交于一点D，连接OC，
，的半径为5cm，，
，
，，
的面积为32，
同理当BC在圆心O的上方时，三角形的高变为，
的面积为8．
故填：8或32．
根据等腰三角形的性质，以及垂径定理的性质，作出三角形的高，即可求出，应注意底边BC与圆心可能存在两种位置关系可能．
此题主要考查了垂径定理与等腰三角形的性质，题目有一定代表性，容易出错．
 

19.【答案】解；
如图，点D即为外接圆得圆心，



垂直平分AB，，
点D得横坐标为2，，
，
，
又，
为等边三角形，
，
在中，，

 

【解析】本题主要考查三角形得外接圆以及坐标与图形的性质．
分别作AC和AB得垂直平分线，两直线得交点即为所求做的圆心D；
先确定点D得横坐标，再证为等边三角形，最后利用勾股定理求出DM得长即可．
 

20.【答案】证明：，，
，
，
是直径，
，
，
，
是等腰直角三角形．

，，
，
≌，
，，
，
．
 

【解析】只要证明，即可解决问题；
作于M，于N，则四边形PMAN是矩形，可得，由，都是等腰直角三角形，推出，，可得；
本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】解：如图，AE为所作；

连接OE交BC于F，连接OC，如图，
平分，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，．
 

【解析】本题考查了作图作角平分线，圆周角定理，垂径定理及勾股定理等．
利用基本作图作AE平分；
连接OE交BC于F，连接OC，如图，根据圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，则，，然后在中利用勾股定理计算出CF，在中利用勾股定理可计算出CE．
 

22.【答案】解：如图，即为所求作的花坛的位置．

 

【解析】本题考查确定圆的条件，找到圆心和半径是解题的关键．
作出两边AC、BC垂直平分线的交点即为的外接圆圆心，再以此点为圆心，以此点到点A的长度为半径画圆，此圆即为花坛的位置．
 

23.【答案】如图，在G处建垃圾回收站．

【解析】见答案
 

24.【答案】证明：，
，
，，
，
，
，
四边形AECD为平行四边形；
解：作于H，连接OE、OC，如图，则，
，
，
，
而，
，
在中，，
，
即的半径为．
 

【解析】利用平行线的性质得到，再利用圆周角定理得，则，根据三角形内角和得到，所以，然后根据平行四边形的判断方法得到结论；
解：作于H，连接OE、OC，如图，利用垂径定理得到，则，再利用圆周角定理可等腰三角形的性质得，然后在中利用正弦的定义求出OE即可．
本题考查了三角形外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和平行四边形的判定．
 

25.【答案】解： 
如图，即为所求作．


 

【解析】解：如图，即为所求作．测量可知，的周长．
故答案为：．


见答案；
如图，设DE交AF于点设过点E作于H．

，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理可得，，
解得不符合题意的已经舍弃，
．
故答案为：．
作线段AB的垂直平分线，可得AB的中点O，以O为圆心，OA为半径作即可．
根据要求作出图形即可．
如图，设DE交AF于点设过点E作于构建方程组求解即可．
本题考查作图轴对称变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．