初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数30.3 由不共线三点的坐标确定二次函数巩固练习

30.3由不共线三点的坐标确定二次函数同步练习冀教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 设函数h，k是实数，，当时，；当时，，

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

2. 已知抛物线与直线只有一个公共点，且过点，，过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，则四边形AMNB的周长为

A. 18 B. 20 C. 21 D. 22

3. 抛物线的顶点为，与y轴交于点，则该抛物线的解析式为

A.  B.
C.  D.

4. 如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，则h的取值范围是

A.  B.  C.  D.

5. 将二次函数化为的形式，结果为

A. yx B. yx
C. yx D. yx

6. 把二次函数变成一般形式后，其二次项系数和一次项系数分别为

A. ， B. ，1 C. ，7 D. ，

7. 用配方法将二次函数化为的形式为

A.  B.
C.  D.

8. 用配方法将二次函数化为的形式为

A.  B.
C.  D.

9. 将二次函数化为的形式，下列结果正确的是

A.  B.
C.  D.

10. 二次函数的图象经过，，三点，则它的解析式为

A.  B.
C.  D.

11. 将二次函数化成的形式应为

A.  B.
C.  D.

12. 如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 二次函数，用配方法化为的形式为______．
14. 二次函数的图象经过点，且当时，有最大值，则该二次函数解析式为______．
15. 老师给出一个二次函数，甲、乙两名同学各指出这个函数的一个性质．
    甲：函数图象的顶点在x轴上；
    乙：抛物线开口向下；
    已知这两位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式______．
16. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式______．
17. 二次函数的图象的顶点坐标是______．
18. 如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
    现将抛物线：向右平移得到新抛物线，如果“平衡点”为，那么新抛物线的表达式为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 已知二次函数的图象经过点，且顶点坐标为，求此二次函数的解析式．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知抛物线经过，，三点，对称轴是直线关于x的方程有两个相等的实数根．
    求抛物线的解析式；
    若，试比较与的大小；
    若B，C两点在直线的两侧，且，求n的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 设二次函数b是常数，．
    判断该二次函数图象与x轴的交点的个数，说明理由．
    若该二次函数图象经过，，三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．
    若，点在该二次函数图象上，求证：．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，抛物线经过点，，交y轴于点C；
    求抛物线的解析式用一般式表示；
    点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D使？若存在请直接给出点D坐标；若不存在请说明理由；
    将直线BC绕点B顺时针旋转，与抛物线交于另一点E，求BE的长．

23. 如图1，已知抛物线的顶点为A，且经过点．
    求顶点A的坐标
    若P是抛物线上且位于直线OB上方的一个动点，求的面积的最大值及比时点P的坐标；
    如图2，将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

24. 在平面直角坐标系中，设二次函数，b是实数，．
    若函数的对称轴为直线，且函数的图象经过点，求函数的表达式．
    若函数的图象经过点，其中，求证：函数的图象经过点．
    设函数和函数的最小值分别为m和n，若，求m，n的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点在该函数图象上．
    当时，求n的值．
    当时，若点A在第一象限内，结合图象，求当时，自变量x的取值范围．
    作直线AC与y轴相交于点当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键．
当时，；当时，；代入函数式整理得，将h的值分别代入即可得出结果．
【解答】
解：当时，；当时，；
代入函数式得：，
，
整理得：，
若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C正确；
若，则，故D错误；
故选：C．  

2.【答案】B
 

【解析】解：抛物线与直线只有一个公共点，
抛物线顶点的纵坐标是，
，即，
又过点，，
抛物线对称抽为，
，
，
抛物线解析式为，
将点A与B代入抛物线解析式有：，
解得，
，，
又过点A，B分别作x轴的垂线，垂足为M，N，
四边形AMNB为长方形，
四边形AMNB的周长为．
故选：B．
由抛物线与直线只有一个公共点，，两点坐标特点，确定抛物线顶点，进而求出函数解析式，A，B两点坐标，即可求解．
本题考查二次函数的对称性，待定系数法求二次函数解析式，矩形周长．能够根据条件确定函数的顶点是解题的关键．
 

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为，代入点可求出a值，进而可得出抛物线的解析式．
【解答】
解：设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为．
故选：A．  

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与菱形的边AB、BC均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点C是解题解题的关键．将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得，于是可得到抛物线的解析式为，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与菱形的边AB、BC均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．
【解答】
解：将与联立得：，解得：．
点B的坐标为．
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为．
将，，代入得得：，解得，
抛物线的解析式为
如图1所示：当抛物线经过点C时．

将代入得：，解得：舍去，．
如图2所示：当抛物线经过点B时．

将代入得：，整理得：，解得：，舍去．
综上所述，h的范围是．
故选：A．

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二次函数的三种形式，本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】
解：．
故选D．  

6.【答案】D
 

【解析】解：


，
故二次项系数和一次项系数分别为：，．
故选：D．
直接利用多项式乘法运算化简，得到二次函数一般式，再利用二次函数的定义得出答案．
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确将二次函数化成一般式是解题关键．
 

7.【答案】B
 

【解析】解：

．
故选：B．
直接利用配方法进而将原式变形得出答案．
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．
 

8.【答案】C
 

【解析】

【分析】
此题考查的是二次函数解析式的变形，熟练掌握将二次函数一般式变形为顶点式的步骤是关键．
利用配方法的步骤变形即可．
【解答】
解：

．
故选C．  

9.【答案】D
 

【解析】解：
，
，
即．
故选：D．
利用配方法整理即可得解．
本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟练掌握和运用配方法是解题的关键．
 

10.【答案】D
 

【解析】略
 

11.【答案】A
 

【解析】解：，
故选：A．
运用配方法把一般式化为顶点式即可．
本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
 

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式．
先利用抛物线与x轴的交点坐标为，，则可设交点式为，然后把代入求出a的值即可．
【解答】
解：因为抛物线与x轴的交点坐标为，，
可设交点式为，
把代入，
可得：，
解得：，
所以解析式为：，
故选：B．  

13.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接利用配方法表示出顶点式即可．
此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设二次函数的解析式为，
把点代入得：，
解得，
．
故答案为．
根据题意设出函数的顶点式，代入点，根据待定系数法即可求得．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：根据题意知，满足上述所有性质的二次函数可以是：，
故答案为：，答案不唯一．
根据已知条件知，此二次函数解析式形为，且，，据此可得．
本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及及其解析式．
 

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
先确定抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
【解答】
解：抛物线的顶点坐标为，
点先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为，
所以新抛物线的解析式为，
故答案为．  

17.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了抛物线的顶点式，抛物线的顶点式，顶点坐标为．
利用配方法将一般式转化为顶点式，可求顶点坐标．
【解答】
解：，
抛物线顶点坐标为．
故答案为．  

18.【答案】或
 

【解析】解：设将抛物线：向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是，
将代入，得．
整理，得
解得，．
故新抛物线的表达式为或．
故答案是：或．
设将抛物线：向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是，然后将代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
 

19.【答案】解：设抛物线的解析式为：，
把代入解析式得，，
解得，
则抛物线的解析式为：．
 

【解析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：，再把代入，求出a的值，即可得出二次函数的解析式．
本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线顶点坐标的情况下，通常用顶点式设二次函数的解析式．
 

20.【答案】解：抛物线经过，
，
对称轴是直线，
，
关于x的方程有两个相等的实数根，
，
由可得：，
抛物线的解析式为；
，
，
点B，点C在对称轴直线的左侧，
抛物线，，
当时，y随x的增大而增大，
，
，
；
若点B在对称轴直线的左侧，点C在对称轴直线的右侧时，
由题意可得，
，
若点C在对称轴直线的左侧，点B在对称轴直线的右侧时，
由题意可得：，
不等式组无解，
综上所述：．
 

【解析】由题意可得，，，联立方程组可求a，b，c，即可求得解析式；
由，可得点B，点C在对称轴直线的左侧，由二次函数的性质可求解；
分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
本题考查了二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 

21.【答案】解：设，
，
，
方程有两个不相等实数根或两个相等实根．
二次函数图象与x轴的交点的个数有两个或一个；
当时，，
抛物线不经过点C，
把点，分别代入得，
，
解得，
抛物线解析式为；
当时
，
，
，
相加得：
，
．
 

【解析】本题考查了二次函数图象性质及数形结合思想．解答时，注意将相关的点坐标代入解析式．
利用一元二次方程根的判别式进行判断即可；
当时，，所以抛物线过A、B两点，然后根据待定系数法求解析式即可；
把代入，用a、b表示m，由m的范围结合可解．
 

22.【答案】解：抛物线经过点，，
，解得，
抛物线解析式为；
由题意可知，，，
，，
，
，
，
设，
，解得，
当时，由，解得或，此时D点坐标为或；
当时，由，解得舍去或，此时D点坐标为；
综上可知：存在满足条件的点D，其坐标为或或；
，，，，
，，
，
为直角三角形，即，
如图，设直线AC与直线BE交于点F，过F作轴于点M，

由题意可知，
，
，
，即，解得，，即，解得，
，且，
设直线BE解析式为，则可得，解得，
直线BE解析式为，
联立直线BE和抛物线解析式可得，解得或，
，
．
 

【解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、勾股定理及其逆定理、平行线分线段成比例、函数图象的交点、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在中注意待定系数法的应用，在中求得D点的纵坐标是解题的关键，在中由条件求得直线BE的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，有一定的难度．
由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
由条件可求得点D到x轴的距离，即可求得D点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得D点坐标；
由条件可证得，设直线AC和BE交于点F，过F作轴于点M，则可得，利用平行线分线段成比例可求得F点的坐标，利用待定系数法可求得直线BE解析式，联立直线BE和抛物线解析式可求得E点坐标，则可求得BE的长．
 

23.【答案】解：把代入得：，
解得，
，
顶点A的坐标是；

过点P作y轴的平行线PQ，交直线与点Q，
直线OB的解析式为，
故设，，
，
，
当时，的最大值为．
此时，
；


线段CD的长度是定值，
直线OA的解析式为，
可设新的抛物线解析式为，
联立
，
，，
即C、D两点间的横坐标的差为1，
．
 

【解析】把点B的坐标代入函数解析式，求得m的值；然后将二次函数解析式转化为顶点式，可以直接得到答案；
直线OB的解析式为，故设，，由三角形的面积公式得到，根据二次函数最值的求法得到答案；
直线OA的解析式为，可设新的抛物线解析式为，联立，解得，，即C、D两点间的横坐标的差为1，由勾股定理求得CD的长度．
考查了二次函数综合题型．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
 

24.【答案】解：由题意，得到，解得，
函数的图象经过，
，
解得或3，
函数或．

函数的图象经过点，其中，
，
，
即，
是方程的根，
即函数的图象经过点．

由题意，，，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
利用待定系数法解决问题即可．
函数的图象经过点，其中，可得，推出，即，推出是方程的根，可得结论．
由题意，，，根据，构建方程可得结论．
 

25.【答案】解：当时，，
当时，．

当时，将代入函数表达式，得，
解得或舍弃，
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．

点A与点C不重合，
，
抛物线的顶点A的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点B的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，，
解得或，
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
点在线段OD上时，m的取值范围是：或．



 

【解析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考常压轴题．
利用待定系数法求解即可．
求出时，x的值即可判断．
由题意点B的坐标为，求出几个特殊位置m的值即可判断．