黑龙江省伊春市2020年中考数学试卷（农垦、森工用）及参考答案

这是一份黑龙江省伊春市2020年中考数学试卷（农垦、森工用）及参考答案，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷（农垦、森工用）
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
4．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数据x是（　　）
A．1 B．2 C．0或1 D．1或2
5．（3分）已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
6．（3分）系统找不到该试题
7．（3分）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．72 B．24 C．48 D．96
9．（3分）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：
①∠ECF＝45°；
②△AEG的周长为（1+）a；
③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是a2；
⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为　 　．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　 　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．

14．（3分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为　 　．
15．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解是x＞1，则a的取值范围是　 　．
16．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝　 　°．

17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　 　cm．
18．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为　 　．

19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为　 　．
20．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标　 　．

三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

23．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．

24．（7分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少．
（2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围．
（3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．

25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求ME的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间；
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
26．（8分）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；
（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝　 　；
（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．


2020年黑龙江省伊春市中考数学试卷（农垦、森工用）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，满分30分）
1．（3分）下列各运算中，计算正确的是（　　）
A．a2+2a2＝3a4 B．x8﹣x2＝x6
C．（x﹣y）2＝x2﹣xy+y2 D．（﹣3x2）3＝﹣27x6
【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是3a2，故本选项不符合题意；
B、x8和﹣x2不能合并，故本选项不符合题意；
C、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；
D、结果是﹣27x6，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方和积的乘方等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
2．（3分）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符号题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）如图，由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和左视图，则所需的小正方体的个数最少是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】左视图底面有2个小正方体，主视图底面有2个小正方体，则可以判断出该几何体底面最少有2个小正方体，最多有4个．根据这个思路可判断出该几何体有多少个小立方块．
【解答】解：左视图与主视图相同，可判断出底面最少有2个，第二层最少有1个小正方体，第三层最少有1个小正方体，
则这个几何体的小立方块的个数最少是2+1+1＝4个．
故选：C．
【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数．
4．（3分）一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，则数据x是（　　）
A．1 B．2 C．0或1 D．1或2
【分析】根据众数的定义得出正整数x的值即可．
【解答】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4，
∴数据x是1或2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了众数的定义，根据众数是一组数据中出现次数最多的数得出x的值是解题的关键．
5．（3分）已知2+是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的一个实数根，则实数m的值是（　　）
A．0 B．1 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把x＝2+代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．
【解答】解：根据题意，得
（2+）2﹣4×（2+）+m＝0，
解得m＝1；
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
6．（3分）系统找不到该试题
7．（3分）已知关于x的分式方程﹣4＝的解为非正数，则k的取值范围是（　　）
A．k≤﹣12 B．k≥﹣12 C．k＞﹣12 D．k＜﹣12
【分析】表示出分式方程的解，由解为非正数得出关于k的不等式，解出k的范围即可．
【解答】解：方程﹣4＝两边同时乘以（x﹣3）得：
x﹣4（x﹣3）＝﹣k，
∴x﹣4x+12＝﹣k，
∴﹣3x＝﹣k﹣12，
∴x＝+4，
∵解为非正数，
∴+4≤0，
∴k≤﹣12．
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法和一元一次不等式的解法是解题的关键．
8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（　　）

A．72 B．24 C．48 D．96
【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∵DH⊥AB，
∴∠BHD＝90°，
∴BD＝2OH，
∵OH＝4，
∴BD＝8，
∵OA＝6，
∴AC＝12，
∴菱形ABCD的面积＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，关键是根据直角三角形的性质求得BD．
9．（3分）学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，A种每个15元，B种每个25元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（　　）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，根据学校计划用200元钱购买A、B两种奖品，其中A种每个15元，B种每个25元，钱全部用完可列出方程，再根据x，y为非负整数可求出解．
【解答】解：设购买了A种奖品x个，B种奖品y个，
根据题意得：15x+25y＝200，
化简整理得：3x+5y＝40，得y＝8﹣x，
∵x，y为非负整数，
∴，，，
∴有3种购买方案：
方案1：购买了A种奖品0个，B种奖品8个；
方案2：购买了A种奖品5个，B种奖品5个；
方案3：购买了A种奖品10个，B种奖品2个．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为非负整数确定出x，y的值．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：
①∠ECF＝45°；
②△AEG的周长为（1+）a；
③BE2+DG2＝EG2；
④△EAF的面积的最大值是a2；
⑤当BE＝a时，G是线段AD的中点．
其中正确的结论是（　　）

A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS）即可解决问题．
②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS）即可解决问题．
④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．
⑤正确．当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，利用勾股定理构建方程可得x＝即可解决问题．
【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．
∵BE＝BH，∠EBH＝90°，
∴EH＝BE，
∵AF＝BE，
∴AF＝EH，
∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠FAE＝∠EHC＝135°，
∵BA＝BC，BE＝BH，
∴AE＝HC，
∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB＝90°，
∴∠AEF+∠CEB＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB＝∠DCH，
∴∠ECH＝∠BCD＝90°，
∴∠ECG＝∠GCH＝45°，
∵CG＝CG，CE＝CH，
∴△GCE≌△GCH（SAS），
∴EG＝GH，
∵GH＝DG+DH，DH＝BE，
∴EG＝BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，
设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，
∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，
∵﹣＜0，
∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，
当BE＝a时，设DG＝x，则EG＝x+a，
在Rt△AEG中，则有（x+a）2＝（a﹣x）2+（a）2，
解得x＝，
∴AG＝GD，故⑤正确，
故选：D．


【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题（每题3分，满分30分）
11．（3分）2019年1月1日，“学习强国”平台全国上线，截至2019年3月17日，某市党员“学习强国”客户端注册人数约1180000，将数据1180000用科学记数法表示为　1.18×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1180000＝1.18×106，
故答案为：1.18×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x＞1.5　．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得2x﹣3＞0，
解得x＞1.5．
故答案为：x＞1.5．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
13．（3分）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件　AB＝ED答案不唯一　，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．

【分析】根据全等三角形的判定解答即可．
【解答】解：∵Rt△ABC和Rt△EDF中，
∴∠BAC＝∠DEF＝90°，
∵BC∥DF，
∴∠DFE＝∠BCA，
∴添加AB＝ED，
在Rt△ABC和Rt△EDF中
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDF（AAS），
故答案为：AB＝ED答案不唯一．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
14．（3分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为　　．
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【解答】解：∵盒子中共装有5个小球，其中标号为偶数的有2、4这2个小球，
∴从中随机摸出一个小球，是偶数的概率为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15．（3分）若关于x的一元一次不等式组的解是x＞1，则a的取值范围是　a≤2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大可得答案．
【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，
解不等式2x﹣a＞0，得：x＞，
∵不等式组的解集为x＞1，
∴≤1，
解得a≤2，
故答案为：a≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．（3分）如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝　50　°．

【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴点A，B，C，D在⊙O上，
∵∠BCA＝50°，
∴∠ADB＝∠BCA＝50°，
故答案为：50．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
17．（3分）小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　10　cm．
【分析】先根据扇形的面积公式：S＝l•R（l为弧长，R为扇形的半径）计算出扇形的弧长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，利用圆的周长公式计算出圆锥的底面半径．
【解答】解：∵S＝l•R，
∴•l•15＝150π，解得l＝20π，
设圆锥的底面半径为r，
∴2π•r＝20π，
∴r＝10（cm）．
故答案为：10．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长；也考查了扇形的面积公式：S＝l•R（l为弧长，R为扇形的半径）．
18．（3分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD方向平移，得到△EFG，连接EC、GC．求EC+GC的最小值为　　．

【分析】根据菱形的性质得到AB＝1，∠ABD＝30°，根据平移的性质得到EG＝AB＝1，EG∥AB，推出四边形EGCD是平行四边形，得到ED＝GC，于是得到EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，根据平移的性质得到点E在过点A且平行于BD的定直线上，作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于AE，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△EGF，
∴EG＝AB＝1，EG∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴EG＝CD，EG∥CD，
∴四边形EGCD是平行四边形，
∴ED＝GC，
∴EC+GC的最小值＝EC+GD的最小值，
∵点E在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点M，连接CM交定直线于E，
则CM的长度即为EC+GC的最小值，
∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝，
∴DM＝1，
∴DM＝CD，
∵∠CDM＝∠MDG+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠M＝∠DCM＝30°，
∴CM＝2×CD＝．
故答案为：．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，菱形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，正确地理解题意是解题的关键．
19．（3分）在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a，连接AE，将△ABE沿AE折叠．若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则折痕的长为　或　．
【分析】分两种情况：①当点B'落在AD边上时，证出△ABE是等腰直角三角形，得出AE＝AB＝；
②当点B'落在CD边上时，证明△ADB'∽△B'CE，得出＝，求出BE＝a＝，由勾股定理求出AE即可．
【解答】解：分两种情况：
①当点B'落在AD边上时，如图1所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝90°，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的AD边上，
∴∠BAE＝∠B'AE＝∠BAD＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝1，AE＝AB＝；
②当点B'落在CD边上时，如图2所示：

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝a，
∵将△ABE沿AE折叠．点B的对应点B′落在矩形ABCD的CD边上，
∴∠B＝∠AB'E＝90°，AB'＝AB＝1，BE'＝BE＝a，
∴CE＝BC﹣BE＝a﹣a＝a，B'D＝＝，
在△ADB'和△B'CE中，∠B'AD＝∠EB'C＝90°﹣∠AB'D，∠D＝∠C＝90°，
∴△ADB'∽△B'CE，
∴＝，即＝，
解得：a＝，或a＝0（舍去），
∴BE＝a＝，
∴AE＝＝＝；
综上所述，折痕的长为或；
故答案为：或．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和矩形的性质是解题的关键．
20．（3分）如图，直线AM的解析式为y＝x+1与x轴交于点M，与y轴交于点A，以OA为边作正方形ABCO，点B坐标为（1，1）．过B点作直线EO1⊥MA交MA于点E，交x轴于点O1，过点O1作x轴的垂线交MA于点A1．以O1A1为边作正方形O1A1B1C1，点B1的坐标为（5，3）．过点B1作直线E1O2⊥MA交MA于E1，交x轴于点O2，过点O2作x轴的垂线交MA于点A2．以O2A2为边作正方形O2A2B2C2，…，则点B2020的坐标　（2×3n﹣1，3n）　．

【分析】由B坐标为（1，1）根据题意求得A1的坐标，进而得B1的坐标，继续求得B2，B3，B4，B5的坐标，根据这5点的坐标得出规律，再按规律得结果．
【解答】解：∵点B坐标为（1，1），
∴OA＝AB＝BC＝CO＝CO1＝1，
∵A1（2，3），
∴A1O1＝A1B1＝B1C1＝C1O2＝3，
∴B1（5，3），
∴A2（8，9），
∴A2O2＝A2B2＝B2C2＝C2O3＝9，
∴B2（17，9），
同理可得B4（53，27），
B5（161，81），
…
由上可知，，
∴当n＝2020时，．
故答案为：（2×3n﹣1，3n）．

【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，规律变化，关键是求出前几个点的坐标得出规律．
三、解答题（满分60分）
21．（5分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝sin30°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，
【解答】解：当a＝sin30°时，
所以a＝
原式＝•
＝•
＝
＝﹣1
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
22．（6分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将△ABC向下平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°后得到的△A2B2C1，并写出点A2的坐标；
（3）在（2）的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．

【分析】（1）依据△ABC向下平移5个单位，即可得到△A1B1C1，进而写出点A1的坐标；
（2）依据△A1B1C1绕点C1逆时针旋转90°，即可得到的△A2B2C1，进而写出点A2的坐标；
（3）依据扇形面积公式和三角形面积公式，即可得到△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（5，﹣3）；
（2）如图所示，△A2B2C1即为所求，点A2的坐标为（0，0）；

（3）如图，△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积为：+＝8π+6．
【点评】本题考查了利用平移变换和旋转变换作图、扇形面积的计算等，利用平移变换作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
23．（6分）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．

【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；
（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得交点坐标是解题的关键．
24．（7分）某公司工会组织全体员工参加跳绳比赛，工会主席统计了公司50名员工一分钟跳绳成绩，列出的频数分布直方图如图所示，（每个小组包括左端点，不包括右端点）．
求：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是多少．
（2）该公司一名员工说：“我的跳绳成绩是我公司的中位数”请你给出该员工跳绳成绩的所在范围．
（3）若该公司决定给每分钟跳绳不低于140个的员工购买纪念品，每个纪念品300元，则公司应拿出多少钱购买纪念品．

【分析】（1）要求平均次数至少是多少，可每组都取最小值计算平均数即可；
（2）找出中位数所在的成绩范围，
（3）样本中获奖的有7人，求出费用即可．
【解答】解：（1）该公司员工一分钟跳绳的平均数为：＝＝100.8，
答：该公司员工一分钟跳绳的平均次数至少是100.8个；
（2）把50个数据从小到大排列后，处在中间位置的两个数都在100～120这个范围；
（3）300×（5+2）＝2100（元），
答：公司应拿出2100元钱购买纪念品．
【点评】考查频数分布直方图的意义和制作方法，理解频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．
25．（8分）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求ME的函数解析式；
（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间；
（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）
【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法分别求出BC与FG的解析式，再联立解答即可；
（3）根据题意列式计算即可．
【解答】解：（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：
，解得，
∴ME的解析式为y＝50x+50；

（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：
，解得，
∴BC的函数解析式为y＝100x﹣400；
设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：
，解得，
∴FG的函数解析式为y＝﹣50x+450，
解方程组得，
同理可得x＝7h，
答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；

（3）（9﹣7）×50＝100（km），
答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，读懂题目信息，理解两车的运动过程是解题的关键．
26．（8分）以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．
（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；
（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．

【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠MAC＝45°，证得∠EAN＝∠NAG，由等腰三角形的性质得出结论；
（2）如图1，2，证明方法相同，利用“AAS”证明△ABM和△EAP全等，根据全等三角形对应边相等可得EP＝AM，同理可证GQ＝AM，从而得到EP＝GQ，再利用“AAS”证明△EPN和△GQN全等，根据全等三角形对应边相等可得EN＝NG．
【解答】解：（1）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴∠MAC＝45°，
∴∠EAN＝∠MAC＝45°，
同理∠NAG＝45°，
∴∠EAN＝∠NAG，
∵四边形ABDE和四边形ACFG为正方形，
∴AE＝AB＝AC＝AG，
∴EN＝GN．
（2）如图1，∠BAC＝90°时，（1）中结论成立．

理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠EAP，
在△ABM和△EAP中，
，
∴△ABM≌△EAP（AAS），
∴EP＝AM，
同理可得：GQ＝AM，
∴EP＝GQ，
在△EPN和△GQN中，
，
∴△EPN≌△GQN（AAS），
∴EN＝NG．
如图2，∠BAC≠90°时，（1）中结论成立．

理由：过点E作EP⊥AN交AN的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，
∵四边形ABDE是正方形，
∴AB＝AE，∠BAE＝90°，
∴∠EAP+∠BAM＝180°﹣90°＝90°，
∵AM⊥BC，
∴∠ABM+∠BAM＝90°，
∴∠ABM＝∠EAP，
在△ABM和△EAP中，
，
∴△ABM≌△EAP（AAS），
∴EP＝AM，
同理可得：GQ＝AM，
∴EP＝GQ，
在△EPN和△GQN中，
，
∴△EPN≌△GQN（AAS），
∴EN＝NG．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线，构造全等三角形，运用全等三角形的性质是解题的关键．
27．（10分）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．
（1）该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元．求m，n的值．
（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案．
（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．
【分析】（1）根据“该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元；购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，根据总价＝单价×数量结合投入资金不少于1160元又不多于1168元，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出各购买方案；
（3）设超市获得的利润为y元，根据总利润＝每千克的利润×销售数量可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质可得出获得利润最多的方案，由总利润＝每千克的利润×销售数量结合捐款后的利润率不低于20%，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）依题意，得：，
解得：．
答：m的值为10，n的值为14．
（2）设购买甲种蔬菜x千克，则购买乙种蔬菜（100﹣x）千克，
依题意，得：，
解得：58≤x≤60．
∵x为正整数，
∴x＝58，59，60，
∴有3种购买方案，方案1：购买甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案2：购买甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案3：购买甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克．
（3）设超市获得的利润为y元，则y＝（16﹣10）x+（18﹣14）（100﹣x）＝2x+400．
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝60时，y取得最大值，最大值为2×60+400＝520．
依题意，得：（16﹣10﹣2a）×60+（18﹣14﹣a）×40≥（10×60+14×40）×20%，
解得：a≤1.8．
答：a的最大值为1.8．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，找出利润最大的购物方案．
28．（10分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA以每秒个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）线段CN＝　3　；
（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；
（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．

【分析】（1）解方程求出AB的长，由直角三角形的性质可求BD，BC的长，CN的长；
（2）分三种情况讨论，由三角形的面积可求解；
（3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵AB长是x2﹣3x﹣18＝0的根，
∴AB＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，AB＝CD＝6，∠BCD＝90°，
∵∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝12，BC＝CD＝6，
∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，
∴CN＝BC＝3，
故答案为：3．
（2）如图，过点M作MH⊥BD于H，

∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝30°，
∴MH＝MD＝t，
∵∠DBC＝30°，CN⊥BD，
∴BN＝CN＝9，
当0＜t＜时，△PMN的面积s＝×（9﹣2t）×t＝﹣t2+t；
当t＝时，点P与点N重合，s＝0，
当＜t≤6时，△PMN的面积s＝×（2t﹣9）×t＝t2﹣t；
（3）如图，过点P作PE⊥BC于E，

当PN＝PM＝9﹣2t时，
∵PM2＝MH2+PH2，
∴（9﹣2t）2＝（t）2+（12﹣2t﹣t）2，
∴t＝3或t＝，
∴BP＝6或，
当BP＝6时，
∵∠DBC＝30°，PE⊥BC，
∴PE＝BP＝3，BE＝PE＝3，
∴点P（3，3），
当BP＝时，
同理可求点P（，），
当PN＝NM＝9﹣2t时，
∵NM2＝MH2+NH2，
∴（9﹣2t）2＝（t）2+（t﹣3）2，
∴t＝3或24（不合题意舍去），
∴BP＝6，
∴点P（3，3），
综上所述：点P坐标为（3，3）或（，）．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，三角形的面积公式，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
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日期：2020/7/21 8:40:31；用户：智翰文化；邮箱：zhwh998@xyh.com；学号：37494973