八年级数学下册知识点复习专题讲练二次根式特殊求值法含解析学案

二次根式特殊求值法

一、二次根式具有双重非负性

1. 非负性：是一个非负数。

包含双重非负性：a≥0；

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到。

2. 二次根式基本性质：

3. 公式与的区别与联系

    （1）表示一个数的平方的算术平方根，a的范围是一切实数；

    （2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数；

    （3）和的运算结果都是非负的。

二、二次根式整数部分、小数部分

确定一个二次根式的整数部分与小数部分，应先判断已知二次根式的取值范围，从而确定其整数部分，然后再确定其小数部分，小数部分=原数－整数部分。

如，是整数部分为2，小数部分为。

总结：

  1. 注意使用根式性质进行化简；

  2. 化简时要注意被开方数中含有完全平方时开方结果是本身还是相反数，同时更要注意根号外的式子向根号内移动时，整体的正负性。

例题1  把二次根式（x－1）中根号外的因式移到根号内，结果是（    ）

A.       B. −     C. −      D.

解析：根据二次根式的性质及二次根式的化简将括号外的数移到括号内时，要考虑正负数带来的影响。

答案：解：∵≥0且1－x≠0，∴1－x＞0，∴x－1＜0，

∴（x－1）=－=−。故选B。

点拨：利用二次根式的性质与化简，注意被开方数大于等于0，分母不为0。

例题2  已知a为实数，则代数式的最小值为（    ）

A. 0          B. 3              C. 3        D. 9

解析：把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值。

答案：解：∵==，

∴当（a－3）2=0，即a=3时代数式的值最小为即3，故选B。

点拨：用配方法对多项式变形，根据非负数的意义解题，是常用的方法，需要灵活掌握。

双重值非负性的应用

二次根式的定义及化简、非负数的性质、三角形三边关系定理等。需注意的是二次根式的双重非负性≥0，a≥0。

例题  下列说法错误的是（    ）

A. 要使表达式有意义，则x≥1

B. 满足不等式－＜x＜的整数x共有5个

C. 当1，x，3分别为某个三角形的三边长时，有＝成立

D. 若实数a、b满足+|b－2|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为10

解析：根据算术平方根和绝对值应不能为负数来进行解答。

答案：A. 若表达式有意义，则x－1≥0且x+1≥0，解得x≥1；故A正确；B. 满足不等式－＜x＜的整数x可取：－2、－1、0、1、2，共五个，故B正确；C. 根据三角形三边关系定理可知：3－1＜x＜3+1，即2＜x＜4；而＝成立，需满足的条件为x－3≥0且x－2＞0，解得x≥3；因此只有在3≤x＜4时，所给的等式才成立；故C错误；D. 根据非负数的性质，得：a=4，b=2；当2为腰长、4为底长时，2+2=4，不能构成三角形，故此种情况不成立；当4为腰长、2为底长时，4－2＜4＜4+2，能构成三角形，所以这个等腰三角形的周长为：4+4+2=10；故D正确。因此本题只有C选项的结论错误，故选C。

特殊根式化简

利用二次根式的性质进行化简。

例题  实数a、b、c、d满足：a+b+c+d=1001，ac=bd=4，则：=（    ）

A. 1001        B. 2002          C. 2003         D. 2004

解析：由题意a+b+c+d=1001，ac=bd=4，将式子进行化简，用（a+b+c+d）和ac、bd表示出来，然后再进行计算。

答案：解：因为ac=bd=4，∴abcd=4×4=16，

原式=

=

=

=

=·

=

=

=2（a+b）（1+）

=2（a+b+c+）

=2（a+b+c+d）

=2×1001=2002，故选B。

（答题时间：45分钟）

一、选择题

1. k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，正确的是（    ）

A. k＜m=n      B. m=n＜k     C. m＜n＜k    D. m＜k＜n

2. 已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|− 的结果为（    ）

A. 0   B. －2a   C. 2b   D. －2a－2b

*3. 一个三角形的三边长分别为1，k，3，则7−−|2k−3|的结果是（    ）

A. －5   B. 1   C. 13   D. 19－4k

**4. 若y＝++ ，则y的最小值是（    ）

A. 0   B. 1   C. 2   D. 3

**5. 正整数a、m、n满足= ，则这样的a、m、n的取值（    ）

A. 有一组  B. 有两组  C. 多于两组  D. 不存在

二、填空题

*6. 对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b=，那么12※4=            。

*7. 观察下列各式，然后填空：＝；＝；＝；那么=                    。

**8. 已知△ABC的三边为a、b、c，试化简：+ − =         。

**9. 已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简− =           。

三、解答题

*10. 观察下列各式＝2，＝3，＝4…按照上述三个等式及其变化过程，①猜想=           。=              。

②试猜想第n个等式为               ，并给出证明过程。

**11. 设 的小数部分为b，求证：＝2b+。

**12. 一列二次根式：①，②，③…是按一定规律排列的。

（1）请直接写出这3个二次根式的整数部分。

（2）用已经学过的数学知识，求第8个符合规律的二次根式的整数部分。

（3）写出第n（n是正整数）个符合规律的二次根式，猜想它的整数部分，并说明理由。

1. D  解析：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n。故选D

2. B  解析：由数轴知：a＞0，b＜0，a+b＜0，∴|a+b|−=－（a+b）－（a－b）=－a－b－a+b=－2a，故选B。

3. B  解析：∵一个三角形的三边长分别为1，k，3，∴2＜k＜4，又∵4k2－36k+81=（2k－9）2，∴2k－9＜0，2k－3＞0，∴原式=7－（9－2k）－（2k－3）=1。故选B。

4. C  解析：当－1≤x≤0时，y=－x+x+1+1－x=－x+2，此时y的最小值是2；当0≤x≤1时，y=x+x+1+1－x=x+2，此时y的最小值是2；当x＞1时，y=3x，此时y的最小值大于3；当x＜－1时，y=－x－x－1－x+1=－3x，此时y的最小值大于3。综上所述y的最小值为2。故选C。

5. A  解析：∵4=1×2×2×=2×2×=2×1×2，∵=，

∴a2－4=m+n－2，∴m+n=a2，=，∵a、m、n为正整数，又∵8=1×8=2 ×4，

∴①若8=1×8，则a2=m+n=9，∴a=3满足，又m＞n，∴m=8，n=1，a=3；

②若8=2×4，则a2=m+n=6，∴a=，不满足题意，舍去；∴这样的a、m、n的取值有一组，故选A。

6.   解析：12※4===。

7.  

解析：=。答案是：。

8. －a+b+3c  解析：根据三角形的三边关系，b+c＞a，a+b＞c，∴a－c－b＜0，c－a－b＜0，∴+ − =a+b+c+c+b－a－（a+b－c）=a+b+ c+c+b－a－a－b+c=－a+b+3c。

9. c－6  解析：由三角形三边关系定理，得3+5＞c，5－3＜c，即2<c<8，

− =−=c－2－（4－c）=c－2－4+c=c－6。

故答案为c－6。

10. 解：①═5。=15。②=（n+1）

证明：====（n+1）

11. 证明：∵设的小数部分为b，∵=6－，4＜6－＜5，

∴b=6－－4=2－，∴2b+=4－2+=4－2+2+=6－，

∴＝2b+，即证。

12. 解：（1）∵①=，②=2，③=，

∴3个二次根式的整数部分分别为1，2，3；

（2）依此类推，第8个符合规律的式子为=，

∵64＜80＜81，∴8＜＜9，则的整数部分为8；

（3）归纳总结得：第n（n是正整数）个符合规律的式子为，∵n2＜n2+2n＜n2+2n+1，∴n＜＜n+1，则的整数部分为n。