湘教版九年级下册第2章 圆2.1 圆的对称性优秀课时练习

2.1圆的对称性同步练习湘教版初中数学九年级下册

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 一个圆的内接正多边形中，一边所对的圆心角为，则该正多边形的边数是

A. 6 B. 5 C. 4 D. 3

2. 如图，中，如果，那么

A.
B.
C.
D.

3. 如图，半径为R的的弦，且于E，连结AB、AD，若，则半径R的长为

A. 1
B.
C.
D.

4. 如图，已知A，B，C，D是上的点，，则下列结论：中，正确的有   

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

5. 下列说法中，不正确的是

A. 圆既是轴对称图形又是中心对称图形
B. 圆的每一条直径都是它的对称轴
C. 圆有无数条对称轴
D. 圆的对称中心是它的圆心

6. 如图，A、B是上的两点，，C是的中点，则四边形OACB是   

A. 梯形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形

7. 点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

8. 如图，在中，AB、DC是的直径，若，则

A.
B.
C.
D.

9. 下列说法中，正确的是

A. 等弦所对的弧相等
B. 在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C. 圆心角相等，所对的弦相等
D. 弦相等所对的圆心角相等

10. 下列图形中表示的角是圆心角的是

A.  B.  C.  D.

11. 下列说法：大于半圆的弧叫优弧
    长度相等的弧是等弧
    圆的任意一条弦把圆分成两条弧，一条优弧，一条劣弧
    大小不相等的两个圆中不存在等弧．
    其中正确的有   

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

12. 下列说法中，正确的是   

A. 弦是直径 B. 长度相等的弧是等弧
C. 半圆是弧 D. 过圆心的线段是直径

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13. 如图所示，正方形的边长均是a，以图、、呈现的规律类推，图中阴影部分的面积是________．

14. 如图，AB是的直径，BC，CD，DA是的弦，且，则____ 
    
     

15. 如图：P是O的直径BA延长线上一点，PD交O于点C，且PCOD，如果P，则DOB          ．
     

16. 如图，点A，B把分成的两条弧，则____．
    
     

17. 如图，以点A为端点的弦是_______________，以点A为端点的优弧是___________．
    
    
     

18. 如图，直线与坐标轴交于A、B两点，的半径为2，点P是上动点，面积的最大值为______ ．
    
    
     

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）

19. 如图，在中，点C是的中点，D、E分别是半径OA和OB的中点，求证：．
    
     

20. 如图，中，弦AB与CD相交于点E，，连接AD、BC．
    
    求证：；
              ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，的弦AB、CD的延长线相交于点P，且求证：．

22. 如图，点B、C、E、D在同一个圆上，点A为圆外一点，若，求证：．
    
    
     

23. 如图所示，在中，，M，N分别是OA，OB的中点，判断CM与CN的数量关系，并说明理由．
    
    
     

24. 已知，如图，在中，C，D分别是半径OA，BO的中点，求证：．
    
    
    
     

25. 已知，如图，二次函数的图象经过点，，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆与BC交于点R．
    

求这个二次函数关系式；

当周长最大时．

求此时点E点坐标及周长；

点P为上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：设正多边形的边数为n．
由题意，
，
故选：B．
根据正多边形的中心角计算即可．
本题考查正多边形的有关知识，解题的关键是记住正多边形的中心角．
 

2.【答案】C
 

【解析】解：取弧AB的中点D，连接AD，DB，
，
，
在中由三角形的三边关系可知，
，
即，
故选：C．
取弧AB的中等D，连接AD，DB，由已知条件可知，在中由三角形的三边关系可知，即，问题得解．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，题目设计新颖，是一道不错的中考题．
 

3.【答案】A
 

【解析】解：弦，
，
，
，
；
连接OA，OD，

，，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
由弦，可得，，继而可得，然后由圆周角定理，证得，即可判定；连接OA，OD，由，，可求得，继而可得是等腰直角三角形，则可求得，可解答．
此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系、等腰直角三角形的性质与判定等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
 

4.【答案】D
 

【解析】略
 

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的对称性，熟练掌握圆的有关概念和性质是解题的关键．
结合圆的基本知识，逐一判断．
【解答】
解：圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确；
B.圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，故B错误；
C.圆有无数条对称轴，正确；
D.圆的对称中心是它的圆心，正确．
故选B．  

6.【答案】C
 

【解析】如图，连接OC，是的中点，，
 ．
，，和都是等边三角形，
，四边形OACB为菱形．
故选C．

7.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，正确的作出图形是解题的关键．过点B作直径，连接AC交BO于E，如图，根据D在直径的三等分点上，得到，根据菱形的性质，从而得到，连续利用两次勾股定理即可得到；如图，，求得，根据菱形的性质得到，求得，连续利用两次勾股定理即可得到．
【解答】

解：本题分两种情况讨论：如图1所示，，连结OA，AC，设AC交BD于点E，

图1

则，，，

在中，，

在中，，

，即此时菱形的边长为

如图2所示，，同理，有，

图2

在中，，

在中，，

，即此时菱形的边长为．

综上可知，该菱形的边长为或．

8.【答案】B
 

【解析】解：，
，
，
，
故选：B．
利用等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

9.【答案】B
 

【解析】解：如图，

弦弦AB，但是所对的两段弧不相等，故本选项不符合题意；
B.在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
C.如图，

，但是弦AB和弦CD不相等，故本选项不符合题意；
D.如图，

弦弦AB，但是圆心角和不相等，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据题意画出符合已知条件的图形，再逐个判断即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，能熟记圆心角、弧、弦之间的关系是解此题的关键，注意：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦，如果其中有一对量相等，那么其余两对量也分别相等．
 

10.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答．
【解答】
解：A、是圆心角，故符合题意；
B、是圆周角，故不符合题意；
C、顶点没在圆心，不是圆心角；
D、顶点没在圆心，不是圆心角，是圆周角；
故选A．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是牢记有关的定义及定理．
利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
长度相等的两条弧是等弧的前提是在同圆或等圆中，故不正确
圆的任意一条弦把圆分成两条弧，可以是两条相等的弧，故不正确．
则正确的为．
故选B．  

12.【答案】C
 

【解析】略
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
考查了规律型：图形的变化，认真观察图形，发现图形的变化规律，得出第n个正方形中圆的个数为个是此题的关键．观察上图可知第个图形圆的个数是，第个图形圆的个数是，第个图形圆的个数是，第个图形圆的个数是，第个图形圆的个数是，第个图形圆的个数是；由此可知第n个正方形中圆的个数为个，先计算阴影部分的面积得出规律后，从而得到结论．
【解答】

解：图形圆的个数是1，
图形圆的个数是4，
图形圆的个数是9，
图形圆的个数是16，
图形圆的个数是25，
图形圆的个数是36；
第n个正方形中圆的个数为个；
图圆的个数是100个，
正方形的边长均是a，
图中 S阴影；
图中 S阴影；
图中  S阴影，
三个图形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关．
第图形中阴影部分的面积是S阴影．
故答案为：．

14.【答案】4
 

【解析】

【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等是解题的关键．由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得AB的长度．
【解答】
解：连接OC、OD，



，

弦BC、CD、DA三等分半圆，
弦BC和CD和DA对的圆心角均为，
为等边三角形，
．
故答案为：4．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的认识：掌握圆的定义和与圆有关的概念，也考查了等腰三角形的性质和三角形外角性质．连结OC，由，得到，根据等腰三角形的性质得，再根据三角形外角性质得，由于，然后利用计算即可．
【解答】
解：连结OC，如图，

，
而，
，
，

，
而，
，
．
故答案为．

16.【答案】
 

【解析】解：的度数．
故答案为．
根据圆心角、弧、弦的关系，点A、B把分成2：7两条弧，则把360度的圆心角为分为2：7部分，然后计算的份即可得到的度数．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
 

17.【答案】弦AD，弦AB；或，或
 

【解析】

【分析】
本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等根据弦和优弧的定义求解即可．
【解答】
解：以点A为端点的弦是弦AD，弦AB；
以点A为端点的优弧是或，或
故答案为弦AD，弦AB；或，或  

18.【答案】11
 

【解析】

【分析】
此题考查了圆的性质，圆中最大的弦，一次函数图象上点的坐标特征，解本题的关键是确定出三角形PAB的AB边上的高．先求出OA，OB，进而求出AB，再判断出的AB边上的高最大时必过的圆心O，最后利用面积求出OC即可得出CP即可．
【解答】
解：如图，

直线与坐标轴交于A、B两点，
，，
，，
在中，根据勾股定理得，，
中，是定值，
要使的面积最大，即上的点到AB的距离最大，
过点O作于C，CO的延长线交于P，此时的面积最大，
，
，
的半径为2，
，
．
故答案为11．  

19.【答案】证明：连接CO，如图所示，

，且D、E分别是半径OA和OB的中点，
，
又点C是的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
．
 

【解析】连接OC，构建全等三角形和；然后利用全等三角形的对应边相等证得．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，以及全等三角形的判定与性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

20.【答案】证明，
，即，
；
，
，
又，，
≌，
．
 

【解析】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系，圆心角、弧、弦三者的关系可理解为：在同圆或等圆中，圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
由知，即，据此可得答案；
由知，结合，可证≌，从而得出答案．
 

21.【答案】证明：连接AC，

，
，
，即，
，
．
 

【解析】连接AC，由圆心角、弧、弦的关系得出，进而得出，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据等角对等边证得结论．
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：

即
，

 

【解析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，及等腰三角形的判定，熟知在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键，根据相等的弧对的圆周角相等，再根据在同一个三角形中，等角对等边求解
 

23.【答案】解：结论：．
理由：，
．
，N分别是OA，OB的中点，
，．
，
．
在与中

≌，
．


 

【解析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题利用圆心角、弧、弦的关系和全等三角形的判定证明≌即可解决问题．
 

24.【答案】解：、OB是的两条半径，
，
，D分别是半径OA，BO的中点，
，
在和中，

≌，
．
 

【解析】此题主要考查了圆的认识，以及全等三角形的判定与性质的应用．
先证明，再证明≌，进而得到．
 

25.【答案】解：用交点式函数表达式得：；
，
∽，
为等腰直角三角形
当周长最大时，EF最长，
设，，
，
当时，
，，
则中，，
周长为；
如图，连接OP，点为OB的中点，

是PB的中点，，且，
，，
点，
，
，
，
即HQ的最大值大为：．
 

【解析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、函数的最值等，其中，利用HQ是三角形的中位线，求解最大值，是本题的难点．
用交点式函数表达式，即可求解；
证明为等腰直角三角形，当周长最大时，EF最长，，即可求解；
，利用，即可求解．