湘教版七年级下册第3章 因式分解3.3 公式法同步训练题

这是一份湘教版七年级下册第3章 因式分解3.3 公式法同步训练题，共17页。试卷主要包含了0分），25a2C，【答案】D，【答案】C，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
下列多项式，不能用平方差公式分解因式的是( )
A. a2b2−1B. 4−0.25a2C. −x2+1D. −a2−b2
下列多项式中不能用公式法分解因式的有( )
①t2−t+14
②−x2+4y2
③−m2−n2
④a2+ab+b2
⑤x2+2xy−y2
⑥−y2+2y−1．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
下列因式分解正确的是
A. 3p2−3q2=3p+3qp−qB. m4−1=m2+1m2−1
C. 2p+2q+1=2p+q+1D. m2−4m+4=m−22
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是( )
A. (x+2(x−2)=x2−4B. x2−4+4x=(x+2)(x−2)+4x
C. x2−1y2=(x+1y)(x−1y)D. x2−12x+116=(x−14)2
下列多项式能用公式法分解因式的有( )
(1)x2−2x−1；(2)x24−x+1；(3)−a2−b2；(4)−a2+b2；(5)x2−4xy+4y2；(6)m2−m+1．
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个
已知x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为( )
A. −8B. ±4C. 8D. ±8
如果二次三项式x2+ax+2可分解为(x−1)(x+b)，则a+b的值为( )
A. −2B. −5C. 3D. 5
下列因式分解结果正确的是( )
A. x2+3x+2=x(x+3)+2B. 4x2−9=(4x+3)(4x−3)
C. a2−2a+1=(a+1)2D. x2−5x+6=(x−2)(x−3)
把x3−x分解因式正确的是( )
A. x (x2−1)B. x(x−1)2C. x(x+1)(x−1)D. (x2+1)(x−1)
下列各式从左到右的变形是分解因式的是( )
A. 2a2−b2=(a+b)(a−b)+a2B. 2a(b+c)=2ab+2ac
C. x3−2x2+x=x(x−1)2D. x2+x=x2(1+1x)
下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是( )
A. (x+y)(x−y)=x2−y2B. 42=2×3×7
C. x2−x−2=(x−2)(x+1)D. 2x2−x(2x−1)−1
将多项式16m2+1加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是( )
A. −2B. −15 m 2C. 8 mD. −8 m
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
因式分解：x3y−4xy3=______．
分解因式：−2a+2a3=______．
分解因式：3ax2−6axy+3ay2=______．
因式分解：m3n−mn3=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）
分解因式：
(1)−9x3y+6x2y2−xy3
(2)(x2+4)2−16x2
已知一个三位自然数，若满足百位数字等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“和数”，若满
足百位数字等于十位数字与个位数字的平方差，则称这个数为“谐数”.如果一个数即是“和数”，又是“谐数”，则称这个数为“和谐数”.例如321，∵3=2+1，∴321是“和数”，∵3=22−12，∴321是“谐数”，∴321是“和谐数”．
(1)最小的和谐数是______，最大的和谐数是______；
(2)证明：任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；
(3)已知m=10b+3c+817(0≤b≤7,1≤c≤4，且b，c均为整数)是一个“和数”，请求出所有m．
【知识生成】我们知道，通过不同方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式．2002年8月在北京召开的国际数学大会会标如图①所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．
(1)图中阴影部分的面积用两种方法可分别表示为______、______；
(2)你能得出的a，b，c之间的数量关系是______(等号两边需化为最简形式)．
【知识应用】(3)一直角三角形的两条直角边长为8和15，则其斜边长为______．
【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式
(4)如图②表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图2中图形的变化关系，以因式分解形式写出一个代数恒等式
阅读下列材料：
常用分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2−2xy+y2−16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．过程如下：
x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法解决下列问题：
(1)分解因式：x2−4y2−2x+4y；
(2)△ABC三边a，b，c满足a2+c2+2b2−2ab−2bc=0，判断△ABC的形状，并说明理由．
如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求下列各式的值：
(1)a2b+ab2；(2)a2+b2+ab
阅读下列题目的解题过程：
已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，试判断△ABC的形状．
解：∵a2c2−b2c2=a4−b4(A)
∴c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2) (B)
∴c2=a2+b2(C)
∴△ABC是直角三角形
问：(1)上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：______；
(2)错误的原因为：______；
(3)本题正确的结论为：______．
教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x−3=(x2+2x+1)−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；例如求代数式2x2+4x−6的最小值.2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+1)2−8.可知当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：m2−4m−5=______．
(2)当a，b为何值时，多项式2a2+3b2−4a+12b+18有最小值，并求出这个最小值．
(3)当a，b为何值时，多项式a2−4ab+5b2−4a+4b+27有最小值，并求出这个最小值．
分解因式：
(1)2ax2−2ay2
(2)a3+2a2(b+c)+a(b+c)2
因式分解：
(1)2x2−4x+2；
(2)(a2+b2)2−4a2b2；
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a2b2−1=(ab+1)(ab−1)，本选项不合题意；
B、4−0.25a2=(2+0.5a)(2−0.5a)，本选项不合题意；
C、−x2+1=(1−x)(1+x)，本选项不合题意；
D、−a2−b2不能分解因式，本选项符合题意．
故选：D．
利用平方差公式判断即可得到正确的选项．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：①t2−t+14=(t−12)2，②−x2+4y2=(2y−x)(2y+x)，⑥−y2+2y−1=−(y−1)2．
所以不能用公式法分解因式的有③④⑤，3个，
故选：B．
各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可得到结果．
本题考查了利用公式进行因式分解，熟练掌握公式结构是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了因式分解的概念，因式分解−运用公式法，提公因式法与公式法的综合运用，分别利用运用公式法，提公因式法与公式法的综合运用逐一计算判定，即可求得答案．
【解答】
解：A．3p2−3q2=3(p+q)(p−q)，原计算错误；
B.m4−1=(m2+1)(m+1)m−1，原计算错误；
C.2p+2q+1=2p+q+1，不是因式分解
D.m2−4m+4=m−22，正确．
故选D．
4.【答案】D
【解析】解：因式分解把一个多项式化为几个整式的积的形式，故A、B错，
C选项右边不是整式的积的形式，故C错，
D选项为完全平方式正确，
故选：D．
A、B选项不符合因式分解的概念，C等式不成立，D为完全平方式符合题意．
此题考查了因式分解的概念，熟练掌握和理解因式分解的概念是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：(1)x2−2x−1，不符合题意；
(2)x24−x+1=(x2−1)2，符合题意；
(3)−a2−b2，不符合题意；
(4)−a2+b2=(b+a)(b−a)，符合题意；
(5)x2−4xy+4y2=(x−2y)2，符合题意；
(6)m2−m+1，不符合题意，
故选：C．
利用平方差公式，以及完全平方公式判断即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握平方差公式与完全平方公式是解本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵x2+kx+16可以用完全平方公式进行因式分解，
∴k=±8，
故选：D．
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵二次三项式x2+ax+2可分解为(x−1)(x+b)，
∴x2+ax+2=(x−1)(x+b)
=x2+(b−1)x−b，
则−b=2，b−1=a，
解得：b=−2，a=−3，
故a+b=−5．
故选：B．
直接利用多项式乘法将原式变形进而计算得出答案．
此题主要考查了十字相乘法及多项式乘多项式，正确将原式变形是解题关键．
8.【答案】D
【解析】解：A.因为x2+3x+2=(x+1)(x+2)，故A错误；
B.因为4x2−9=(2x+3)(2x−3)，故B错误；
C.因为a2−2a+1=(a−1)2，故C错误；
D.因为x2−5x+6=(x−2)(x−3)，故D正确．
故选：D．
根据因式分解的方法进行计算即可判断．
本题考查了因式分解−十字相乘法、公式法，解决本题的关键是掌握因式分解的方法．
9.【答案】C
【解析】解：x3−x=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)，
故选C
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵(a+b)(a−b)+a2不是几个整式的积的形式，
∴从左到右的变形不是分解因式，
∴选项A不符合题意；
∵2ab+2ac不是几个整式的积的形式，
∴从左到右的变形不是分解因式，
∴选项B不符合题意；
∵x3−2x2+x=x(x−1)2，
∴∴从左到右的变形是分解因式，
∴选项C符合题意；
∵(1+1x)不是整式，
∴从左到右的变形不是分解因式，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
此题主要考查了因式分解的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
11.【答案】C
【解析】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、左边不是多项式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意；
C、左边是多项式，右边是整式的积的形式，符合因式分解的定义，故此选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据因式分解的定义即可求出答案．
本题考查因式分解的定义，解题的关键正确理解因式分解的定义，本题属于基础题型．
12.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了因式分解−运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握公式是解本题的关键．各项利用公式法分解，判断即可．
【解答】
解：A、16m2+1−2=16m2−1=(4m+1)(4m−1)，不符合题意；
B、16m2+1−15m2=m2+1，不能分解，符合题意；
C、16m2+1+8m=(4m+1)2，不符合题意；
D、16m2+1−8m=(4m−1)2，不符合题意．
故选：B．
13.【答案】xy(x+2y)(x−2y)
【解析】解：x3y−4xy3，
=xy(x2−4y2)，
=xy(x+2y)(x−2y)．
故答案为：xy(x+2y)(x−2y)．
先提取公因式xy，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
14.【答案】−2a(1−a)(1+a)
【解析】解：−2a+2a3
=−2a(1−a2)
=−2a(1−a)(1+a)．
故答案为：−2a(1−a)(1+a)．
首先提取公因式−2a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
15.【答案】3a(x−y)2
【解析】
【分析】
此题主要考查用提公因式法和公式法进行因式分解，先提取公因式3a，再利用完全平方公式“(a−b)²=a²−2ab+b²”进行因式分解即可。
【解答】
解：
故答案为3a(x−y)2。
16.【答案】mn(m+n)(m−n)
【解析】解：原式=mn(m2−n2)
=mn(m+n)(m−n)．
故答案为：mn(m+n)(m−n)．
原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
17.【答案】解：(1)−9x3y+6x2y2−xy3
=−xy(9x2−6xy+y2)
=−xy(3x−y)2；
(2)(x2+4)2−16x2
=(x2+4+4x)(x2+4−4x)
=(x+2)2(x−2)2．
【解析】(1)直接提取公因式−xy，进而运用完全平方公式进而分解因式即可；
(2)直接利用平方差公式分解因式，再运用完全平方公式进而分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
18.【答案】110 954
【解析】解：(1)最小的和谐数是110，最大的和谐数是954，
故答案为：110、954；
(2)设“谐数”的百位数字为x、十位数字为y，个位数字为z，(1≤x≤9、0≤y≤9、0≤z≤9且y>z，x、y、z均为正整数)，
由题意知x=y2−z2=(y+z)(y−z)，
∴x+y+z=(y+z)(y−z)+y+z=(y+z)(y−z+1)，
∵y+z、y−z的奇偶性相同，
∴y+z、y−z+1必然一奇一偶，
∴(y+z)(y−z+1)必是偶数，
∴任意“谐数”的各个数位上的数字之和一定是偶数；
(3)已知m=10b+3c+817(0≤b≤7,1≤c≤4，且b，c均为整数)是一个“和数”，请求出所有m．
∵0≤b≤7，
∴2≤b+2≤9，
∵1≤c≤4，
∴3≤3c≤12，
∴10≤3c+7≤19，
∴m=10b+3c+817
=8×100+(b+1)×10+(3c+7)
=8×100+(b+2)×10+(3c+7−10)
=8×100+(b+2)×10+(3c−3)
∵m为和数，
∴8=b+2+3c−3，即b+3c=9，
∴b=6c=1或b=3c=2或b=0c=3，
∴m=880或853或826．
(1)根据“和数”与“谐数”的概念求解可得；
(2)设“谐数”的百位数字为x、十位数字为y，个位数字为z，根据“谐数”的概念得x=y2−z2=(y+z)(y−z)，由x+y+z=(y+z)(y−z)+y+z=(y+z)(y−z+1)及y+z、y−z+1必然一奇一偶可得答案；
(3)先判断出2≤b+2≤9、10≤3c+7≤19，据此可得m=10b+3c+817=8×100+(b+2)×10+(3c−3)，根据“和数”的概念知8=b+2+3c−3，即b+3c=9，从而进一步求解可得．
本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意、熟练掌握“和数”与“谐数”的概念及整式的运算、不等式的性质．
19.【答案】c2−2ab (b−a)2 a2+b2=c2 17
【解析】解：(1)图中阴影部分的面积为：
大正方形的面积−四个直角三角形的面积=c2−4×12ab=c2−2ab．
小正方形的面积=(b−a)2．
故答案为c2−2ab、(b−a)2．
(2)c2−2ab=(b−a)2．
c2−2ab=b2−2ab+a2
∴a2+b2=c2
故答案为a2+b2=c2．
(3)∵直角三角形的两条直角边长为8和15，
∴c2=82+152=289，∴c=17，
故答案为17．
(4)根据题意，得
图②左边的图形体积为x3−x
右边的图形的体积为x(x+1)(x−1)．
∴x3−x=x(x+1)(x−1)．
答：恒等式为x3−x=x(x+1)(x−1)．
(1)阴影部分的面积可以用小正方形的面积表示，也可以用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积；
(2)令(1)中所得代数式相等通过分解因式，即可得a，b，c之间的数量关系；
(3)把已知两条直角边长代入(2)中所得等量关系即可求解；
(4)根据正方体和长方体的体积即可写出代数恒等式．
本题考查了因式分解的应用、完全平方公式的几何背景、勾股定理的证明，解决本题的关键是综合运用相关知识．
20.【答案】解：(1)x2−4y2−2x+4y
=(x+2y)(x−2y)−2(x−2y)
=(x−2y)(x+2y−2)；
(2)△ABC是等边三角形．
理由如下：
a2+c2+2b2−2ab−2bc
=(a2−2ab+b2)+(c2−2bc+b2)
=(a−b)2+(b−c)2
∵(a−b)2≥0；(b−c)2≥0，
而(a−b)2+(b−c)2=0
∴(a−b)2=(b−c)2=0
∴a−b=0且b−c=0
∴a=b=c
∴△ABC为等边三角形．
【解析】(1)根据所给代数式前两项一组，后两项一组，分组分解后再提公因式即可分解；
(2)将2b2分成两项，分别与其他项组成完全平方公式，然后利用非负数的性质进行解答．
本题考查了因式分解的应用，利用分组分解法时，关键要明确分组的目的，是分组分解后仍能继续分解，还是分组后利用各组本身的特点进行解题．
21.【答案】解：∵边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10
∴a+b=142=7，ab=10，
(1)a2b+ab2=ab(a+b)=70；
(2)∵a2+b2=(a+b)2−2ab=72−2×10=29，
∴a2+b2+ab=29+10=39．
【解析】本题考查代数式求值，因式分解的运用，根据已知条件，得出a+b及ab的值，
(1)利用提取公因式法分解因式得出答案；
(2)利用完全平方公式得出a2+b2，进而求a2+b2+ab即可．
22.【答案】(1)C；
(2)没有考虑a=b的情况；
(3)△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形 ．
【解析】
解：(1)由题目中的解答步骤可得，
错误步骤的代号为：C，
故答案为：C；
(2)错误的原因为：没有考虑a=b的情况，
故答案为：没有考虑a=b的情况；
(3)本题正确的结论为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形，
故答案为：△ABC是等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．
【分析】
(1)根据题目中的书写步骤可以解答本题；
(2)根据题目中B到C可知没有考虑a=b的情况；
(3)根据题意可以写出正确的结论．
本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，注意考虑问题要全面．
23.【答案】(1)(m+1)(m−5)．
(2)2a2+3b2−4a+12b+18=2(a2−2a)+3(b2+4b)+18=2(a2−2a+1)+3(b2+4b+4)+5=2(a−1)2+3(b+2)2+5，
当a=1，b=−2时，2a2+3b2−4a+12b+18有最小值，最小值为5；
(3)∵a2−4ab+5b2−4a+4b+27
=a2−4a(b+1)+4(b+1)2+(b−2)2+19
=(a−2b−2)2+(b−2)2+19，
∴当a=6，b=2时，多项式a2−2ab+2b2−2a−4b+27有最小值19．
【解析】
解：(1)m2−4m−5=m2−4m+4−9=(m−2)2−9=(m−2+3)(m−2−3)=(m+1)(m−5)．
故答案为(m+1)(m−5)；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】
(1)根据阅读材料，先将m2−4m−5变形为m2−4m+4−9，再根据完全平方公式写成(m−2)2−9，然后利用平方差公式分解即可；
(2)利用配方法将多项式a2+b2−4a+6b+18转化为(a−2)2+(b+3)2+5，然后利用非负数的性质进行解答；
(3)利用配方法将多项式a2−2ab+2b2−2a−4b+27转化为(a−b−1)2+(b−3)2+17，然后利用非负数的性质进行解答．
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
24.【答案】解：(1)2ax2−2ay2
=2a(x2−y2)
=2a(x+y)(x−y)；
(2)a3+2a2(b+c)+a(b+c)2
=a[a2+2a(b+c)+(b+c)2]
=a(a+b+c)2．
【解析】(1)直接提取公因式2a，再利用平方差公式分解因式得出答案；
(2)直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．
25.【答案】解：(1)原式=2(x2−2x+1)=2(x−1)2；
(2)原式=[(a2+b2)+2ab][(a2+b2)−2ab]=(a+b)2(a−b)2．
【解析】(1)根据提公因式法，完全平方公式，可得答案；
(2)根据平方差公式，完全平方公式，可得答案．
本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．