初中数学第二十四章 圆综合与测试巩固练习

这是一份初中数学第二十四章 圆综合与测试巩固练习，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第24章 圆（提高卷）
一、单选题
1．三角形的外接圆的圆心是指三角形什么线的交点（ ）
A．三边中线 B．三边垂直平分线 C．三边高线 D．三内角的平分线
【答案】B
【分析】根据外心的定义直接进行判断即可．
【详解】解：根据三角形的外心应到三角形三个顶点的距离相等和线段垂直平分线的性质知，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了三角形外心的性质．注意三角形重心、垂心、内心、外心的区别．
2．如图，点A，B，C在⊙O上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理求出，再利用扇形面积公式计算即可；
【详解】．．
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和扇形面积计算公式，准确分析计算是解题的关键．
3．的半径为5，同一个平面内有一点P，且OP=7，则P与的位置关系是(   )
A．P在圆内 B．P在圆上 C．P在圆外 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结果．
【详解】解：因为，所以点P与圆O的位置关系是点在圆外，
故选：C
【点睛】本题主要考查的是点与圆的位置关系，掌握点与圆的位置关系是解题的关键．
4．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　）

A． B．2 C．2 D．3
【答案】C
【分析】直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．
【详解】解：∵半径OC⊥弦AB于点D，
∴，
∴∠E=∠BOC=22.5°，
∴∠BOD=45°，
∴△ODB是等腰直角三角形，
∵AB=4，
∴DB=OD=2，
则半径OB等于：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．
5．如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )

A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】D
【详解】分析：由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
详解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选D．
点睛：本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
6．如图，在Rt中，∠BCA=90° 两分圆别以为半径画圆，则阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分
面积是：S1+S2+S4，
∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．
即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=π-4．
故选A.
7．如图物体由两个圆锥组成，其主视图中，．若上面圆锥的侧面积为1，则下面圆锥的侧面积为（ ）

A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】先证明△ABD为等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD＝AB，再证明△CBD为等边三角形得到BC＝BD＝AB，利用圆锥的侧面积的计算方法得到上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，从而得到下面圆锥的侧面积．
【详解】∵∠A＝90°，AB＝AD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，BD＝AB，
∵∠ABC＝105°，
∴∠CBD＝60°，
而CB＝CD，
∴△CBD为等边三角形，
∴BC＝BD＝AB，
∵上面圆锥与下面圆锥的底面相同，
∴上面圆锥的侧面积与下面圆锥的侧面积的比等于AB：CB，
∴下面圆锥的侧面积＝×1＝．
故选D．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质．
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B,C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F.连接BF,CF.若∠EDC=135°,CF=,则AE2+BE2的值为 （ ）

A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【分析】根据圆内接四边形的性质及邻补角的定义可得∠ADE=∠ABC=45°，再证得∠ADE=∠A=45°即可得AE=AD；根据直径所对的圆周角是直角可得∠FCE=90°，在Rt△EFC中求得EF=4；连接BD，可证得BD为为⊙O的直径，在Rt△BDE中根据勾股定理可得,由此即可得结论.
【详解】∵∠EDC=135°，
∴∠ADE=45°，∠ABC=180°-∠EDC =180°-135°=45°；
∵∠ACB=90°，
∴∠A=45°，
∴∠ADE=∠A=45°，
∴AE=AD，∠AED=90°；
∵EF 为⊙O的直径，
∴∠FCE=90°，
∵∠ABC=∠EFC=45°，CF=，
∴EF=4；
连接BD，

∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴BD 为⊙O的直径，
∴BD=4；
在Rt△BDE中，,
∴AE2+BE2=16.
故选C.
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、圆内接四边形的性质及勾股定理等知识点，会综合运用所学的知识点解决问题是解题的关键.
9．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(-3，a)(a > 3)，半径为3，函数y=-x的图像被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ( )

A．4 B． C． D．
【答案】B
【分析】如图所示过点P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，可得OC=3，PC=a，把x=-3代入y=-x得y=3，可确定D点坐标，可得△OCD为等腰直角三角形，得到△PED也为等腰直角三角形，又PE⊥AB，由垂径定理可得AE=BE=AB=2，在Rt△PBE中，由勾股定理可得PE=，可得PD=PE=，最终求出a的值.
【详解】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连结PB，如图，

∵⊙P的圆心坐标是（-3，a），
∴OC=3，PC=a，
把x=-3代入y=-x得y=3，
∴D点坐标为（-3，3），
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，
∴AE=BE=AB=×4=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=，
∴PD=PE=，
∴a=3+．
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，熟练掌握圆中基本定理和基础图形是解题的关键.
10．如图，、是的两条弦，且．，，垂足分别为点、，、的延长线交于点，连接．下列结论正确的个数是（ ）
①；②；③；④

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【详解】解：如图连接OB、OD；
∵AB=CD，
∴，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=MB，CN=ND，
∴BM=DN，
∵OB=OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND，
∴OM=ON，故②正确，
∵OP=OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，
∵AM=CN，
∴PA=PC，故③正确，
故选：D．

【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
11．圆锥的底面直径是8cm，母线长9cm，则圆锥的侧面积为__．
【答案】
【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积．
【详解】解：圆锥的侧面积=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
12．如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于_____．
【答案】18π
【分析】根据已知条件得到底面圆的周长，再根据扇形面积计算公式计算即可；
【详解】∵圆锥的底面半径为3cm，
∴底面周长，
又∵母线长为6cm，
∴；
故答案是18π．
【点睛】本题主要考查了扇形面积求解，准确判断圆锥与扇形之间的关系是解题的关键．
13．如图，⊙C半径为1，圆心坐标为（3，4），点P（m，n）是⊙C内或⊙C上的一个动点，则m2＋n2的最小值是___．

【答案】16
【详解】思路引领：由于圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），利用勾股定理可计算出OC＝5，OP，这样把m2+n2理解为点P点到原点的距离的平方，利用图形可得到当点运动到线段OC上时，点P离原点最近，即m2+n2有最小值，然后求出此时的PC长即可
答案详解：连OC交⊙O于P′点，如图，
∵圆心C的坐标为（3，4），点P的坐标为（m，n），
∴OC＝5，OP，
∴m2+n2是点P点原点的距离的平方，
∴当点运动到线段OC上时，即P′处，点P离原点最近，即m2+n2有最小值，
此时OP＝OC﹣PC＝5﹣1＝4，则m2+n2＝16．
故答案为16．
14．如图，的半径为6，弦垂直平分，则________，________．


【答案】
【分析】连接，设交于点，则垂直平分，证明四边形是菱形，进而证明是等边三角形，即可求得，，进而求得,．
【详解】连接，设交于点，则垂直平分，

弦垂直平分，
四边形是菱形，
,，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，菱形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，适当添加辅助线是解题的关键．
15．如图，在中，，，以为直径做半圆交于点，若，则图中阴影部分的面积为__．

【答案】
【分析】连接，，根据圆周角定理得到，解直角三角形求得，，，，然后根据扇形的面积和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，，
在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
为的直径，
，，
又∵，
，
∴，
∵，
，
阴影部分的面积


，
故答案为：．

【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，圆周角定理，含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，熟练掌握扇形的面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．
16．如图，在中，，，，将绕直角顶点顺时针旋转，当点的对应点落在边上时，停止转动，则点经过的路径长为__．

【答案】
【分析】首先根据勾股定理计算出长，再根据等边三角形的判定和性质计算出，进而可得，然后再根据弧长公式可得答案．
【详解】解：，，∠ACB=90°
∴，，
∴
，
是等边三角形，
，
，
弧长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长的计算、旋转的性质，等边三角形的性质与判定，掌握弧长公式及旋转的性质是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，以点为圆心的半径为1，直线上有一点P，过点P作的两条切线，切点分别为A、B，且，则点P的坐标为__________．

【答案】或
【分析】根据题意设，根据已知条件求得，根据平面直角坐标系两点距离求得，进而解方程求得的值，从而求得点的坐标．
【详解】如图，连接，

点在直线上，
设，
为的切线
,，








当时，
当时，
或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质，一次函数解析式，坐标中两点距离，含30度角的直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质求得是解题的关键．
18．如图，点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，P半径为2，，，点Q是P上的动点，点C是QB的中点，则AC的最大值是__________．

【答案】2+1
【分析】易求点P(4，4)，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，因为OA=AB，CB=CQ，所以
AC=OQ，所以当OQ最大时，AC最大，Q运动到Q'时，OQ最大，由此即可解决问题.
【详解】点P为函数的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，
∴可设P(x，x)( x>0)，则x=解得x=±4(负值舍去），
点P(4, 4)如图，连接OP交P于点Q'，连接BQ'，取BQ'的中点C'，连接AC'，此时A C'最大，
∵，，点C是QB的中点，
∴OA=AB，CB=CQ，AC=OQ，
当Q动到Q'时，OQ最大，此时AC的最大值AC'=OQ'= (OP+P Q') =2+1，
故答案为：2+1.

【点睛】本题考查点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.
19．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______．

【答案】
【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：由题意，设半径为r，
则，
∵，
∴，
∵是的直径，弦于点E，
∴点E是CD的中点，
∵，
∴，
在直角△OCE中，由勾股定理得
，
即，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和勾股定理进行解题．
20．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．当点从点运动到点时，线段扫过的面积是______．

【答案】48
【分析】首先根据对称性确定线段EF扫过的图形，然后探究出该图形与△ABC的关系，就可求出线段EF扫过的面积．
【详解】解：∵AC是半圆的
∴
∵，，
∴
∵点D与点E关于AC对称，
点D与点F关于BC对称，
∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称．
∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分．

∴S阴影=2S△ABC
=2×
=AC•BC
=6×8
=48
∴EF扫过的面积为48．
故答案为：48．
【点睛】此题主要考查了轨迹问题，圆周角定理的应用，以及轴对称的性质和应用，要熟练掌握．
三、解答题
21．如图，在半径为的中，弦长．求：

（1）的度数；
（2）点O到的距离．
【答案】（1）60°；（2）25mm
【分析】（1）证明是等边三角形，从而可得结论；
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，利用垂径定理求解 再利用勾股定理可得答案.
【详解】
解：（1）∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB＝50mm，
又∵AB＝50mm，
∴OA＝OB＝AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°．　　
（2）过点O作OC⊥AB，垂足为点C，如图所示，

由垂径定理得AC＝CB＝AB＝25mm，
在Rt△OAC中OC2＝OA2－AC2＝502－252＝252×3，
∴OC＝＝25（mm），
即点O到AB的距离是25mm．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，圆的性质，垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练垂径定理的运用是解题的关键.
22．如图，已知，，求的最大值．

【答案】最大值为1．
【详解】解：如解图，，则点在以为直径的上，过点作于点．
∵，
∴．
又∵，
∴如解图，当时，取最大值，最大值为1．

23．中，．把它分别沿三边所在直线旋转一周．求所得三个几何体的全面积．
【答案】所得三个几何体的全面积为76.8π．
【分析】绕直角边所在直线旋转一周，得到圆锥，根据圆锥的全面积=侧面积+底面积即可求解；沿斜边所在直线旋转一周，得几何体为两个圆锥底面重合的组合体，即可得出所得三个几何体的全面积．
【详解】解：∵中，；
∴；
过点C作CD⊥AB于点D，
SABC＝BC·AC＝AB·CD，
所以BC·AC＝AB·CD，
所以CD＝＝＝2.4，

①当沿AC所在直线旋转一周时，得到的是一个以BC为底面半径，AC为高，AB为母线的圆锥，此时圆锥的全面积是S＝S侧＋S底＝AB·（2π·BC）＋π·BC2＝×5×（2π×4）＋π×42＝36π
②当沿 BC所在直线旋转一周时，得到的是一个以AC为底面半径，BC为高，AB为母线的圆锥，此时圆锥的全面积是S＝S侧＋S底＝AB·（2π·AC）＋π·AC2＝×5×（2π×3）＋π×32＝24π
③当沿AB所在直线旋转一周时，得到的是一个复合几何体，这个几何体是由以AB边上的高线为底面半径的两个同底圆锥组成的，此时圆锥的全面积是S＝S侧＋S侧＝AC·（2π·CD）＋BC·（2π·CD）=＝BC·CD·π＋ AC·CD·π＝CD·π（BC＋AC）＝2.4π×（3＋4）＝16.8π
∴所得三个几何体的全面积S＝36π+24π+16.8π＝76.8π
【点睛】此题主要考查了圆锥的侧面积公式、圆的面积公式和勾股定理的应用，根据已知得出几何体的组成部分是解题关键．
24．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求被剪掉的部分的面积；如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是多少？

【答案】被剪掉的部分的面积为m2，圆锥的底面圆的半径是m．
【分析】连接AO，BC，先利用90度的圆周角所对的弦是直径，得到BC是直径，从而利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长和扇形面积公式进行求解即可．
【详解】解：连接AO，BC，
∵∠BAC＝90°，
∴BC是⊙O的直径，即BC＝1m，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴OA＝OC＝BC＝0.5m，
由勾股定理得AC＝＝＝（m），
∴＝＝π（m），S扇形ABC＝＝m2
∴被剪掉的部分的面积为π×－ ＝m2.
设圆锥的底面圆的半径为rm，则2πr＝，
∴r＝m.
答：被剪掉的部分的面积为m2，圆锥的底面圆的半径是m．

【点睛】本题主要考查了弧长和扇形面积，圆锥底面圆半径，90度的圆周角所对的弦是直径，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
25．如图所示，AB为的直径，点C为的中点，点M为OB的中点，连接CM并延长交于点D，若，求CD的长．

【答案】
【分析】方法1，求弦长，可以利用垂径定理，即过点O作于点H，利用已知条件求出CH的长．
方法2，依据直径所对的圆周角是直角构造以CD为边的直角三角形，在该直角三角形中直接求出CD的长．
【详解】方法1 如图所示，过点O作于点H，连接OC，则．

点M为OB的中点，，
．
点C为的中点，
．
在中，．
，即，，
．
方法2 如图所示，作直径CE，连接DE．

点M为OB的中点，，
．
CE是的直径，
，
点C为的中点，
．
在中，．
，即，
．
【点睛】本题考查垂径定理的应用、勾股定理的应用、圆周角的性质，关键是根据题意能分析出是利用垂径定理来解答，难点是分析作出辅助线的方法和灵魂运用勾股定理进行计算.
26．如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2），的半径为2，求阴影部分面积．

【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与OE垂直，故证明OEAD即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用可求得，再根据直角三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
∵平分，
∴，
，
，
，
，
，
∴．
，
是的切线；
（2）解：，，，
，，
，
阴影部分面积

．

【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，扇形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
27．如图，在中，，以为直径的⊙交于点，交于点，过点作，且．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，，求的长．

【答案】（1）见解析；（2）2
【分析】（1）利用平行线的性质，圆的性质和等腰三角形的性质，证明和全等即可得到结论；
（2）由勾股定理求出，根据全等三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）解：，，，
，
，
∵，
．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质及判定，勾股定理等知识点，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
28．已知：在中，，，将绕点顺时针旋转，点对应点为，点对应点为．设旋转过程中延长线与相交于点．
（1）如图所示，当点在边上时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；

（2）当由图的位置旋转到图的位置时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；

（3）如图，若，设点为的中点，连接，将绕点旋转一周，直接写出的最大值与最小值．

【答案】（1）；（2）依然成立，见解析；（3）的最大值为，最小值为．
【详解】解：（1）；
由旋转性质可得，．
∵，
∴和都是等边三角形．
∴．
∵，，
∴．
∵，∴．
∴，．
∴，．
∴．
（2）依然成立；
理由如下：如解图，在上截取，连接，
由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，．
∴．∴．
∴，．
∴．
∴，∴；

（3）的最大值为，最小值为．
根据题意，点在以为圆心，长为半径的圆|
上，如解图，
当，，三点在一条直线上时，时，有最小值．
当时，有最大值；
∵在中，，，，
∴．∴．∴．
∴的最大值为，的最小值为．