高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性教案

这是一份高中数学人教版新课标A必修11.3.2奇偶性教案，共10页。教案主要包含了问题导思，思路探究，自主解答，错因分析，防范措施等内容，欢迎下载使用。

1．3 函数的基本性质
1．3.2 奇偶性
●三维目标
1．知识与技能
(1)能从数和形两个角度认识函数奇偶性；
(2)能判断一些简单函数的奇偶性．
2．过程与方法
经历奇偶性概念的形成过程，提高抽象能力以及从特殊到一般的归纳概括能力．
3．情感、态度与价值观
(1)培养学生观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结合的数学思想；
(2)通过对函数奇偶性的研究，培养学生对数学美的体验、乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度．
●重点难点
重点：函数奇偶性的概念和几何意义．
难点：奇偶性概念的数学化提炼过程．
重难点的突破：函数的奇偶性实质就是函数图象的对称性，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略，先让学生观察一组图形(关于原点对称或y轴对称)，从中寻找它们的共性．由于“数”与“形”有着密切的联系，为了便于从数值角度研究图象的对称，可提示学生图形是由点组成的，找出其间的关系后，建立奇(偶)函数的概念，最后，通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解．让学生在“观察—归纳—检验—应用”的学习过程中，
在掌握知识的同时培养数形结合的意识．
【问题导思】
考察下列两个函数：
(1)f(x)＝－x2；(2)f(x)＝|x|.
1．这两个函数的图象有何共同特征？
【提示】 图象关于y轴对称．
2．对于上述两个函数，f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？
【提示】 f(1)＝f(－1)，f(2)＝f(－2)，f(3)＝f(－3)．
3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？
【提示】 若函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，则f(x)＝f(－x)．反之，若f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于y轴对称．
(1)定义：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)图象特征：图象关于y轴对称.
【问题导思】
函数f(x)＝x及f(x)＝eq \f(1,x)的图象如图所示．
1．两函数图象有何共同特征？
【提示】 关于原点对称．
2．对于上述两个函数f(1)与f(－1)，f(2)与f(－2)，f(3)与f(－3)有什么关系？
【提示】 f(－1)＝－f(1)，f(－2)＝－f(2)，f(－3)＝－f(3)．
3．一般地，若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(x)与f(－x)有什么关系？反之成立吗？
【提示】 若函数y＝f(x)的图象关于原点对称，则f(－x)＝－f(x)．反之，若f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图象关于原点对称．
(1)定义：对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)叫做奇函数．
(2)图象特征：图象关于原点对称.
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝eq \f(3x,x2＋3)；
(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；
(3)f(x)＝eq \f(2x2＋2x,x＋1)；
(4)f(x)＝0.
【思路探究】 eq \x(定义域是否关于原点对称)→eq \x(f－x是否等于±fx)→eq \x(下结论)
【自主解答】 (1)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝eq \f(3－x,－x2＋3)＝－eq \f(3x,x2＋3)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(2)f(x)的定义域是R，
又f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
(4)∵f(x)的定义域为R，又f(－x)＝0＝f(x)，且f(－x)＝0＝－f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
1．本题(3)在求解过程中，若先对f(x)化简得到f(x)＝2x，就会得出f(x)为奇函数的错误．
2．定义法判断函数奇偶性的步骤
下列函数中是奇函数的序号是________．
①y＝－eq \f(1,x)；②f(x)＝x2；③y＝2x＋1；④f(x)＝－3x，x∈[－1,2]．
【解析】 y＝－eq \f(1,x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以是奇函数；f(x)＝x2的定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以是偶函数；y＝2x＋1的定义域为R，图象既不关于原点对称，也不关于y轴对称，是非奇非偶函数；f(x)＝－3x，x∈[－1,2]，定义域不关于原点对称，不具备奇偶性．
【答案】 ①
若函数f(x)＝ax2＋(b－1)x＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1,2a]，则a＋b等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(4,3)D．2
【思路探究】
eq \x(fx为偶函数)eq \x(定义域[a－1，2a]关于原点对称)eq \x(f－x＝fx)
【自主解答】 因为定义域[a－1,2a]关于原点对称，所以(a－1)＋2a＝0，
解得a＝eq \f(1,3).所以f(x)＝eq \f(1,3)x2＋(b－1)x＋1＋b.
又因为f(－x)＝f(x)，所以eq \f(1,3)x2－(b－1)x＋1＋b＝eq \f(1,3)x2＋(b－1)x＋1＋b，
由对应项系数相等，得－(b－1)＝b－1.所以b＝1，所以a＋b＝eq \f(4,3).
【答案】 C
1．本题中由f(－x)＝f(x)求b时，运用了对应项系数相等的方法，这也是解决此类问题经常使用的方法．
2．利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求解策略
(1)定义域含参数：奇(偶)函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，可以利用a＋b＝0求参数．
(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数可解．
函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则a＝________.
【解析】 因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
即ax2－2x＝－ax2－2x，由对应项系数相等得，a＝0.
【答案】 0
已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求：
(1)f(0)；
(2)当x<0时，f(x)的解析式；
(3)f(x)在R上的解析式．
【思路探究】 (1)利用奇函数的定义求f(0)；
(2)eq \x(设x<0)eq \(――→,\s\up7(转化))eq \x(－x>0)eq \(――→,\s\up7(代入))eq \x(x>0的解析式)eq \(――→,\s\up7(定义))eq \x(求fx)
【自主解答】 (1)因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.
(2)当x<0时，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
(3)函数f(x)在R上的解析式为f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋3x＋1，x>0,0， x＝0,2x2＋3x－1，x<0.))
1．本题(1)在求解时，常犯f(0)＝1的错误．
2．已知函数奇偶性求解析式的步骤
一般步骤eq \x(一设)eq \x(设出所求区间上的自变量x)eq \x(二转)eq \x(把x转化为－x，代入已知)eq \x(把f－x转化为±fx,求出fx)
3．若函数f(x)的定义域内含有0且为奇函数时，则必有f(0)＝0，但若为偶函数，未必有f(0)＝0.
本例中若把“奇函数”换成“偶函数”，求x<0时f(x)的解析式．
【解】 设x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝－2x2－3x＋1，x<0.
忽略函数的定义域致误
判断函数f(x)＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)的奇偶性．
【错解】 因为f(－x)＝eq \r(－x＋1)·eq \r(－x－1)
＝eq \r(\a\vs4\al([－x＋1][－x－1]))＝eq \r(x＋1)·eq \r(x－1)＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
【错因分析】 错解中没有判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，而直接应用定义判断奇偶性．
【防范措施】 1.在判断函数奇偶性时，务必树立定义域优先的原则．
2．在定义域关于原点对称的前提下，判断f(－x)同f(x)的关系．
【正解】 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0,x－1≥0，))解得x≥1，即f(x)的定义域为[1，＋∞)，因为f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数f(x)定义域内的每一个值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．
2．函数的奇偶性是其相应图象特殊对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.
1．函数f(x)＝eq \f(1,x)，x∈(0,1)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【解析】 f(x)的定义域不关于原点对称，函数不具有奇偶性，是非奇非偶函数．
【答案】 C
2．函数f(x)＝x2的图象( )
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．关于y＝x对称
【解析】 ∵f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴图象关于y轴对称．
【答案】 B
3．已知函数f(x)是定义在区间[a－1,2a]上的奇函数，则实数a的值为( )
A．0 B．1 C.eq \f(1,3) D．不确定
【解析】 ∵奇函数f(x)的定义域为[a－1,2a]，∴a－1＋2a＝0，a＝eq \f(1,3).
【答案】 C
4．函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，当x≥0时f(x)＝x2－2x－3，求函数y＝f(x)的解析式．
【解】 令x<0，则－x>0，故f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3.
又f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(x)＝x2＋2x－3，
∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－3，x≥0,x2＋2x－3，x<0.))
一、选择题
1．下列图象表示的函数中具有奇偶性的是( )
【解析】 选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选B.
【答案】 B
2．已知f(x)是奇函数，且f(a)＝－2，则f(－a)＝( )
A．－2 B．2 C．±2 D．0
【解析】 f(－a)＝－f(a)＝2.
【答案】 B
3．下面为偶函数的是( )
A．y＝x2(x≥0)B．(x－1) eq \r(\f(x＋1,1－x))
C．y＝0D．y＝|x|(x≤0)
【解析】 对于选项A、D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又选项B中f(－1)＝0，而f(1)无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，无论x取何值都满足f(－x)＝f(x)＝0.
【答案】 C
4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝( )
A．x－x2B．－x－x2
C．－x＋x2D．x＋x2
【解析】 当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x－(－x)2＝－x－x2，
又f(－x)＝－f(x)，故f(x)＝x＋x2.
【答案】 D
5．一个偶函数定义在[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图1－3－7所示，下列说法正确的是( )
图1－3－7
A．这个函数仅有一个单调增区间
B．这个函数有两个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值是7
D．这个函数在其定义域内有最小值是－7
【解析】 结合偶函数图象关于y轴对称可知，这个函数在[－7,7]上有三个单调递增区间，三个单调递减区间，且定义域内有最大值7，无法判断最小值是多少．
【答案】 C
二、填空题
6．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x2－1，那么f(－1)＝________.
【解析】 ∵f(x)是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－(2×12－1)＝－1.
【答案】 －1
7．若y＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝________.
【解析】 ∵函数y＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，即(m－1)x2－2mx＋3＝(m－1)x2＋2mx＋3，∴－2m＝2m，得m＝0.
【答案】 0
8．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是________．
【解析】 因为当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，所以有f(2)＜f(3)＜f(π)．又f(x)是R上的偶函数，故f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，从而有f(－2)＜f(－3)＜f(π)．
【答案】 f(－2)三、解答题
9．已知函数f(x)＝x＋eq \f(m,x)，且f(1)＝3.
(1)求m；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
【解】 (1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq \f(2,x)，其定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋eq \f(2,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,x)))＝－f(x)，所以此函数是奇函数．
10．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，已知当x≤0时，f(x)＝x2＋4x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；
(3)求f(x)在区间[－1,2]上的值域．
图1－3－8
【解】 (1)∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，
∴对任意的x∈R都有f(－x)＝f(x)成立，∴当x>0时，－x<0即
f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3，∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3 x>0,x2＋4x＋3 x≤0.))
(2)图象如图所示，函数f(x)的单调递增区间为[－2,0]和[2，＋∞)．(写成开区间也可以)
(3)值域为[－1,3]．
11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间(－∞，0)上是减函数，实数a满足不等式f(3a2＋a－3)＜f(3a2－2a)，求实数a的取值范围．
【解】 ∵f(x)在区间(－∞，0)上是减函数，
∴f(x)的图象在y轴左侧递减．
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点中心对称，则在y轴右侧同样递减．
又f(－0)＝－f(0)，解得f(0)＝0，所以f(x)的图象在R上递减．
∵f(3a2＋a－3)＜f(3a2－2a)，
∴3a2＋a－3＞3a2－2a，解得a＞1. ∴实数a的取值范围为(1，＋∞).
课标解读
1.了解函数奇偶性的含义．(难点)
2．掌握判断函数奇偶性的方法．(重点、难点)
3．了解函数奇偶性与图象的对称性之间的关系．(易混点)
偶函数
奇函数
函数奇偶性的判断
利用函数的奇偶性求参数
利用函数的奇偶性求解析式