数学必修12.1.2指数函数及其性质教案

第2课时  指数函数及其性质(2)

导入新课

思路1.复习导入：我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数函数的概念、图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要讲的主要内容.教师板书课题.

思路2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2).

应用示例

思路1

例1已知指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）的图象过点（3,π）,求f(0),f(1),f(-3)的值.

活动：学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定a,一般用待定系数法,构建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方程,转化为将已知点的坐标代入指数函数f(x)=ax（a＞0且a≠1）求a的值,进而求出f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价.

解：因为图象过点（3,π）,

所以f(3)=a3=π,即a=π,f(x)=(π)x.

再把0,1,3分别代入,得

f(0)=π0=1,

f(1)=π1=π,

f(-3)=π-1=.

点评：根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用.

例2用函数单调性的定义证明指数函数的单调性.

活动：教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.

证法一：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则

y2－y1=ax2－ax1=ax1（ax2-x1－1）.

因为a＞1,x2－x1＞0，所以ax2-x1＞1,即ax2-x1－1＞0.

又因为ax1＞0,

所以y2－y1＞0,

即y1<y2.

所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数.

同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数.

证法二：设x1,x2∈R,且x1＜x2,则y2与y1都大于0,则==a.

因为a＞1,x2－x1＞0,所以a＞1,

即>1,y1<y2.

所以当a＞1时,y=ax,x∈R是增函数.

同理可证,当0＜a＜1时,y=ax是减函数.

变式训练

若指数函数y=（2a－1）x是减函数,则a的范围是多少？

答案：＜a＜1.

例3截止到1999年底,我国人口约13亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少（精确到亿）？

活动：师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题：

1999年底  人口约为13亿;

经过1年  人口约为13（1+1%）亿;

经过2年  人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿;

经过3年  人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿;

经过x年  人口约为13(1+1%)x亿;

经过20年  人口约为13(1+1%)20亿.

解：设今后人口年平均增长率为1%,经过x年后,我国人口数为y亿,则

y=13(1+1%)x,

当x=20时,y=13(1+1%)20≈16(亿).

答：经过20年后,我国人口数最多为16亿.

点评：类似此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间x后总量y=N(1+p)x,像y=N(1+p)x等形如y=kax(k∈R,a＞0且a≠1）的函数称为指数型函数.

思路2

例1求下列函数的定义域、值域：

(1)y=0.4;(2)y=3;(3)y=2x+1;(4)y=.

解：（1）由x-1≠0得x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由x≠得y≠1,

即函数值域为{y|y>0且y≠1}.

（2）由5x-1≥0得x≥,所以所求函数定义域为{x|x≥}.由≥0得y≥1,

所以函数值域为{y|y≥1}.

（3）所求函数定义域为R，由2x>0可得2x+1>1.

所以函数值域为{y|y>1}.

(4)由已知得：函数的定义域是R,且(2x+1)y=2x-2,即(y-1)2x=-y-2.

因为y≠1,所以2x=.又x∈R,所以2x>0,>0.解之,得-2<y<1.

因此函数的值域为{y|-2<y<1}.

点评：通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性.

变式训练

求函数y=()的定义域和值域.

解：要使函数有意义,必须x+3≠0,即x≠-3，即函数的定义域是{x|x≠-3}.

因为≠0,所以y=()≠()0=1.

又因为y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞).

例2

（1）求函数y=()的单调区间,并证明.

（2）设a是实数,f(x)=a(x∈R),试证明对于任意a,f(x)为增函数.

活动：（1）这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数y=()x与y=x2-2x的复合函数,（2）函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.

解法一：设x1<x2,则=()(),

因为x1<x2,所以x2-x1>0.

当x1,x2∈（-∞,1］时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0,

即>1,所以y2>y1,函数单调递增;

当x1,x2∈［1,+∞）时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0,

即<1,所以y2<y1,函数单调递减;

所以函数y在（-∞,1］上单调递增,在［1,+∞）上单调递减.

解法二：（用复合函数的单调性）：

设u=x2-2x,则y=()u,

对任意的1<x1<x2,有u1<u2,又因为y=()u是减函数,

所以y1<y2,所以y=()在［1,+∞）是减函数.

对任意的x1<x2≤1,有u1>u2,又因为y=()u是减函数,

所以y1<y2.所以y=()在（-∞,1］上是增函数.

引申：求函数y=()的值域（0<y≤2）.

点评：(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.

（2）此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题型的解答方法.

证明：设x1,x2∈R,且x1<x2,则

f(x1)-f(x2)===.

由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,

所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0.

又由2x>0得2x1+1>0,2x2+1>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

因为此结论与a取值无关,所以对于a取任意实数,f(x)为增函数.

点评：上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性.

知能训练

1.函数y=a|x|（a＞1）的图象是（    ）

图2-1-2-8

分析：当x≥0时,y=a|x|=ax的图象过（0,1）点,在第一象限,图象下凸,是增函数.

答案：B

2.下列函数中,值域为（0,+∞）的函数是（    ）

A.y=()2-x         B.y=       C.y=        D.y=+1

分析：因为（2－x）∈R,所以y=（）2－x∈（0,+∞）;y=∈［0,1］;y=∈［0,+∞);y=+1∈［2,+∞).

答案：A

3.已知函数f（x）的定义域是（0,1）,那么f（2x）的定义域是（    ）

A.（0,1）         B.（,1）        C.（－∞,0）        D.（0,+∞）

分析：由题意得0＜2x＜1,即0＜2x＜20,所以x＜0,即x∈（－∞,0）.

答案：C

4.若集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则（    ）

A.AB           B.AB           C.A=B             D.A∩B=

分析：A={y|y＞0},B={y|y≥0},所以AB.

答案：A

5.对于函数f(x)定义域中的任意的x1、x2(x1≠x2),有如下的结论:

①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2);

③>0;④<.

当f(x)=10x时,上述结论中正确的是.

分析:因为f(x)=10x,且x1≠x2,所以f(x1+x2)===f(x1)·f(x2),所以①正确;

因为f(x1·x2)=≠=f(x1)+f(x2),②不正确;

因为f(x)=10x是增函数,所以f(x1)-f(x2)与x1-x2同号,所以>0,所以③正确.

因为函数f(x)=10x图象如图2-1-2-9所示是上凹下凸的,可解得④正确.

图2-1-2-9

答案：①③④

另解：④

∵10x1>0,10x2>0,x1≠x2,∴>∴>,

即>∴>.

拓展提升

在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系.

(1)①y=3x,②y=3x+1,③y=3x-1;

(2)①y=()x,②y=()x-1,③y=()x+1.

活动：学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点.

答案：如图2-1-2-10及图2-1-2-11.

图2-1-2-10图2-1-2-11

观察图2-1-2-10可以看出,y=3x,y=3x+1,y=3x-1的图象间有如下关系:

y=3x+1的图象由y=3x的图象左移1个单位得到;

y=3x-1的图象由y=3x的图象右移1个单位得到;

y=3x-1的图象由y=3x+1的图象向右移动2个单位得到.

观察图2-1-2-11可以看出,y=()x,y=()x-1,y=()x+1的图象间有如下关系:

y=()x+1的图象由y=()x的图象左移1个单位得到;

y=()x-1的图象由y=()x的图象右移1个单位得到;

y=()x-1的图象由y=()x+1的图象向右移动2个单位得到.

你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考.

课堂小结

思考

我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上.

活动：教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一致.

本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、函数与方程的思想,加深了对问题的分析能力,形成了一定的能力与方法.

作业

课本P59习题2.1 B组  1、3、4.

设计感想

本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数,根据函数的单调性比较大小,有时要分a>1,0<a<1,这是分类讨论的思想,因此加大了习题和练习的量,目的是让学生在较短的时间内,掌握学习的方法,提高分析问题和解决问题的能力,要加快速度,多运用现代化的教学手段.